小學數學中度量性概念的教學思考

王智明

數學概念是數學思維的起點，也是數學思維的節點。因此，在數學學習中概念的學習具有舉足輕重的地位，也歷來是教學研究的重點。有效數學學習要求教師讓學生了解概念的由來和發展。度量概念作為數學概念的一種，它的教學始于學生的活動，是學生從活動到活動經驗的提取、感知、形成表象的過程。所以數學活動與度量概念的學習是難舍難分的。度量概念與一般數學概念獲得的心理過程及教學特征有所不同，對此，筆者擬對小學數學中的度量性概念進行研究并嘗試給出度量性概念的教學建議。

一、度量性概念的概述

對于數學概念，有學者依據數學概念反映的屬性不同對數學概念加以分類。反映數學的基本元素的概念（如點、線、數等）、反映兩個及兩個以上數學元素關系的概念（如平行、相等等）、反映數學元素內部特性的概念稱之為對象性概念。還有一些概念，學習的意義不在于理解名詞的意思，而在于用這個概念的內蘊觀念或思想去解釋現象或者解決問題，這樣的概念稱作觀念性概念（如方程、概率等）。還有一些概念為了比較兩個事物某個方面的差異，往往需要對該方面的差異進行量化，借助某個量來進行比較，為此引入了相應的度量，我們稱之為度量性概念。就概念而言，度量性概念既包含了反映度量單位的概念，也表示了兩個事物進行差異性量化的概念。

對象性概念可以在生活或數學中找到原型，我們也正是從生活及數學中的大量原型出發，從具體的、直觀的例子中抽象出其共同的本質特征，同時人們為了交流說明的方便而給對象性概念賦予了一定的名稱，可以說對象性概念是對更多原型的一種抽象概括。觀念性概念在教學中會從豐富的背景中抽象出這些概念的定義，但是實際的教學會更關注這些概念的實際應用，會在眾多的實際背景的運用中體現觀念性概念的價值，形成相應的觀念和思想。而度量性概念來源于生活，產生于生活中的比較，需要對比較的差異進行量化，因此要讓學生經歷概念產生的過程、概念單位累加的過程，形成度量性概念的觀念，其名詞概念的給出完全是人類心智的產物，經歷了數學思維中的抽象、類比過程。

二、度量性概念獲得的心理過程

在概念的教學中，我們大都熟悉概念形成、概念同化兩種獲得概念的方式。數學中對象性概念的獲得主要依托這兩種概念獲得的方式。采用概念形成方式時，需要提供大量豐富的例子，概念的給出依賴豐富的原型；在運用概念同化方式時，在對新概念的反復辨析中改變了原有概念的內涵與外延，教學中也不自覺地應用于對象性概念。度量性概念則不同，它并不源于生活中的原型，而是基于任務的產生。學生在一定的任務情境中，通過“比”，利用人類的心智活動，產生了度量性概念，其產生的心理過程與概念形成和概念同化不同。

度量是因比較而存在的，沒有比較就沒有度量，因此度量性概念的產生大都來源于某種比較任務，在任務解決中感受建立比較標準（度量）的必要性。在適宜的任務情境下，通過認知沖突的激發，自然而然類比遷移、聯想與“創造”渾然一體。因此，度量性概念的獲得過程不是多種情境抽象概括的結果，而是人類在任務驅動下自主建構創造的過程。此時，度量性概念構建的心理過程可以描述為：

當學生沒有自主建構概念的能力，也可以選用明晰概念的教學方式。例如：在教學“認識公頃”一課時，教師給出：明孝陵的面積為1700000平方米，玄武湖的面積為 4710000平方米，紅山動物園的面積為830000平方米，奧體中心的面積為890000平方米等數據，讓學生讀一讀感受這些景點面積的大小，發現學生在讀這些景點的面積時得先數一數數位，數值太大讀起來較麻煩，同時學生又有以“萬”或“億”做單位可以方便讀數的知識經驗，所以需要一個合適的更大的面積單位的出現。這時學生知道了問題出在哪里，也知道需要出現一個合適的更大的面積單位，但是放手讓學生去建構，學生又說不出“平方××”，這時學生處在即將突破又很難突破的節點，就需要教師的幫助來捅破這層窗戶紙，“我們在測量大的土地面積時用‘公頃’為單位，如果你是小老師，你將會介紹哪些有關公頃的知識”，出示自學要求從而進行認識公頃的學習。接著教師帶領學生分別感受10米是多長，100米有多長，100平方米有多大。此時，學生的學習過程是一種有意義的接受過程，在這一過程中經歷了對概念的了解、檢驗、感知、確認的過程。此時，度量性概念構建的心理過程可以描述為：

在上述兩種概念的獲得過程中，長度、面積、體積、角度這些度量性概念都具有相應的共性，可以通過提出任務、質疑、多元化的感知過程，再創造或者再指導性建構的方法獲得概念。而刻畫數據平均水平的和波動水平的度量性概念需要在所創設的一種比較的情境下（這樣的比較可以是比較一般水平，也可以是比較差異水平）通過問題解決的方式，自主建構或者指導性建構獲得概念。

三、度量性概念的教學建議

根據日常度量性概念的教學以及度量性概念的心理過程，筆者不揣淺薄地提出度量性概念教學的一些建議。

（一）在認知沖突中感受度量單位的產生

對象性概念有著豐富的生活或數學背景，獲得概念是一種抽象概括的過程。觀念性概念是在教師的“揭示”與學生的實際應用感悟中獲得概念。而以往的度量性概念，往往采用了“掐去兩頭燒中段”的方式，學生不理解新知為何要學習，概念產生的源頭在哪里。度量性概念來源于實際應用，在實際中或萌生了創造或類比了創造，經歷了一番過程性的探究，感受了度量性概念的需要。通過度量沖突的創設，進行真正意義上的自主探究，解決新的問題是，原有的度量單位無法滿足需要，需要一種新的度量單位的介入，使對度量概念的學習成為學生內在生成的主動訴求。例如常見的面積單位的教學。在教學平方分米、平方米的過程中，教師（故意）提出請大家用平方厘米測量一下課桌面的面積。（學生度量時面有難色）教師說，這樣量，大家感到怎么樣？學生回答：這樣量太慢了。用平方厘米這個面積單位度量課桌面面積太小了。教師繼續問：那怎么辦呢？學生回答：我想有沒有大一點的面積單位呢？師：大家真會想問題！這大一點的面積單位，就請大家來創造一下，叫什么呢？通過認知沖突的激發，讓學生獲得度量單位產生的實際需要，一種新單位的產生是在認知沖突下發自學生內心的。同時有長度單位的鋪墊，讓面積單位的產生經歷了自然聯想創造的過程。

當度量單位的產生學生無法類比時，教師需要在創設的認知沖突的情境中，通過一組指向單位產生的發問引發學生的思考。如平均數的學習源自一種比較，需要體會在比較情境中感知一般數據的代表即平均數。在教學平均數時，教師先給學生提供一個3分鐘投籃比賽的情境。四位選手投中成績如下：（1）5 5 5，（2）3 5 4，（3）3 7 2，（4）5 4 6。讓學生在比較四位比賽選手投中個數的探究空間中，思考該用哪個數代表他們3分鐘投籃的一般水平呢；通過小組討論體會哪個投手的投籃水平更穩定。一個取自情境中的比較問題引發了學生圍繞數據一般水平的代表來思考，更加反映了平均數概念產生的本真意義。如何來找一般數據的代表呢？教學過程同樣在幾組簡單數據的探索中體會尋找數據代表的方法。通過直觀的進球條形統計圖，結合四組數據的比較，直觀圖示給學生一個暗示，第（1）組的3分鐘投籃成績是同一高度同一水平，所以學生選擇“5”來代表第（1）組的投籃水平。在有了同一高度同一水平的暗示后學生在尋找（2）（3）（4）組的數據代表時就有了突破口，（2）（4）組通過直觀的把多的移到少的上的操作，總結出移多補少的選擇數據代表的方法，在選擇（3）組的數據代表時不能通過一次的移多補少來解決，同時學生又有了選擇（1）（2）（4）組的數據代表與投籃總個數有關的感知，所以學生根據直觀圖示探究出先合再分的方法，在這樣一個自主探究的活動中獲得平均數的概念。同時角度的學習過程，也創設了為了精確地比較兩個角大小的度量沖突而發生的學習活動。因此，在教學中應盡可能多地給學生創設探究空間，激活學生的認知沖突，讓學生在探究中感悟度量性概念產生的必要性，激發他們主動接受或是積極“創造”的愿望。

（二）在創造及比較中建構度量性概念

度量性概念的獲得始于學生在探究空間的感知，在數學活動中積累經驗，建構概念，形成表象。學生在活動中獲得的數學活動經驗有助于學生深化知識，同時高質量的數學活動經驗的獲得，一定程度上取決于活動本身是否充分、完整、多樣。例如，有教師在教學完“認識面積單位”后，感悟到如果僅把活動目標定為感知每個面積單位的實際大小，學生獲得的感性經驗往往是不夠全面的，所以度量性概念的建構與組織高質量、合適的數學活動有著舉足輕重的關系。建構度量性概念需要強化感知和體驗，感知是體驗的前提，體驗是感知的深化。教學中需要通過創設多種活動調動學生的各種感官，從各個維度豐富對度量性概念的從識，促進學生個體對概念的理解與建構。例如，教學“升和毫升”時教師安排了玩一玩1毫升的水，數一數1毫升的水會有幾滴。玩一玩10毫升的水，用吸管吸10毫升的水擠入杯中，與1毫升比一比，有什么發現。玩一玩100毫升的水，倒在水杯中大概在什么位置。玩一玩1升的水，10個小組的組長將100毫升的水倒入空瓶中，感受1000毫升正好是1升。活動是經驗的源泉，沒有親歷實踐活動就談不上其中經驗的積累。在活動過程中，有觀察、有操作、有猜測、有驗證，這些富有實效、充滿情趣的體驗，讓學生不斷與新的度量單位“親密接觸”，學生正是在對學習材料的第一手直接感受、體驗中逐步獲得，在動手的操作中獲得了知識，豐富了個人的數學活動經驗，獲得了單位轉換的規律性。又如在角度的教學中，為了讓學生從實際生活體驗中感知角度，體驗角度的大小不同，教師首先給學生呈現三個角度不同的滑滑梯，第一個矮一些，最后一個最高，并提問：喜歡玩哪一個？學生不約而同選擇玩第三個，因為學生在平時的游戲活動中有玩滑滑梯的經歷，第三個最高玩起來速度快很刺激。學生在高低不同的滑滑梯活動中潛移默化地感知角度的不同，當教師再次追問還有什么不同，學生觀察出角有不同，這時教師就可以順勢引入這些角有大小，那么滑滑梯的角度到底有多大呢？我們就需要測出角的大小，接著進行認識量角器和角的度量的學習。教師在課堂上提供的相應的圖片，把學生置于玩滑滑梯的情境中，讓學生在情境中回調自己前期的活動經驗。學生經歷或者參與一些數學活動，并不是就一定能獲得充足有力的數學活動經驗，因此引導學生及時反思把獲得的活動經驗上升為數學思考是課堂教學的一個重要環節，也是幫助學生積累和提升數學活動經驗的一個重要渠道，這樣才能把學生從最近的數學活動的起點帶到最遠的數學活動經驗的終點，這才是一個完整和諧的教學過程。

（三）在應用中深化度量性概念的認知

準確建立度量性概念的表象，能幫助學生在新的問題情境中有意識地自覺喚醒已有認知，促進問題的解決。認識長度單位時，讓學生在通過完成某一測量任務的活動中認識長度單位，在測量的過程中豐富長度單位的表象。認識面積單位時，讓學生將面積與熟悉的事物聯系起來，使學生形成不同面積單位的明確表象。認識體積單位時，調動各種感官促進學生對度量單位的理解與建構。認識角度及平均數時，把學生置于游戲的情境中，讓學生在游戲體驗中感知角度和平均數，在尋找度量和計算方法的過程中讓其表象更加完整。表象的建立，一方面可以依托概念首次獲得時的體驗，形成概念的表象。另一方面還可以依托概念的應用以及概念的系統化的鞏固，形成概念的準確表象。例如，在教學“認識公頃”一課中，在認識公頃概念后，教師安排了利用課前的情境復習鞏固。回到課前的數據，明孝陵的面積、玄武湖的面積、紅山動物園的面積、奧體中心的面積改用公頃做單位如何表示。通過再次利用課前的情境，學生將生活中有所體驗的面積與表示的××公頃建立了一一對應的表象。接著教師再通過選擇填入合適的單位鞏固學生認知結構中的不同面積單位。填上合適的單位：南京師范大學的面積220（ ），拉薩路小學的面積6359 （ ），南京城區的面積76.34 （ ）。借著一組題目的練習鞏固，學生不斷地調動認知結構中的平方米、公頃的大致表象，并通過“百度”等網絡工具驗證大腦中的度量性概念的表象。對南京城區的面積而言，通過與大學面積作對照，學生開始疑惑了，“公頃是一種很大的面積單位，難道還有更大的面積單位，平方米，平方……”教師借著南京城區的面積引發了學生在完成公頃度量表象后思考更大的面積單位——平方千米。

度量性概念的教學有其共性的一面，如面積、體積、長度單位等概念的教學是有規律可循的。同時，概念的學習也是數學抽象的過程，為了降低概念學習的抽象程度，化抽象為形象直觀，就需要學生參與數學活動，在活動中建構數學活動經驗，形成對數學概念完善的表象，在這方面，筆者還需要進行更多的實踐探索和理性思考。

（江蘇第二師范學院 210013）