由一道考題引發的思考

藍雪敏

一、“好題壞題”引觀點之爭

數學試卷題，作為考查學生掌握數學知識和思想方法、思維的靈活性的重要手段，對教師的教和學生的學具有重要的示范性和導向性作用。平時，大多數教師都是根據教材內容而制定相應的教學預案，圍繞課本習題展開，滲透相關的數學思想方法。然而，一次考試的一道選擇題，引起了筆者對教材的重新思考。2014年衢州市六年級下冊期末試卷中有一道選擇題：見圖1，在給定的正方形點子圖上，找一點D，使ABCD是一個梯形，D點共有（ ）種不同的選法。

A.2 B.3 C.4 D.5

圖2中①至⑤為5種正確答案，⑥是平行四邊形。

考試后統計正確率只有20%（參加考試360人，錯誤288人），事后訪談學生解答錯誤原因：

1.讀不懂題意20%，計57人。

2.只考慮到以AB邊為上底，沒有考慮到BC也可以作為上底70%，計202人。

3.說題出錯了，一共有6種，沒有考慮到⑥是平行四邊形10%，計29人。

事后，教師們提出了自己的看法：

觀點一：此題太難，既要考慮已知邊AB和BC都可以作為梯形上底，又要排除其中平行四邊形這一特例，學生理解困難，要求過高。

觀點二：這是一道難得一見的好題，既綜合了梯形和平行四邊形的特征，又考查了學生的空間觀念和靈活解題能力。

二、“透過現象”析背后之因

這道選擇題屬于“空間與圖形”領域的知識，重在考查學生的空間觀念。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：在空間與圖形的教學中要“豐富對現實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維。”面對20%的得分率，如何在“空間與圖形”的教學中“把握知識本質特征，培養空間觀念”引起了筆者的深刻反思。

（一）教材層面

北師大版四年級下冊教材第29頁“四邊形分類”這一內容中先讓學生“分一分”，直接告訴學生①③和⑥為一類（平行四邊形），②④和⑦為一類（梯形），⑤和⑧為一類（一般四邊形），接著引導學生想一想“智慧老人為什么這樣分”，得出平行四邊形和梯形的概念，然后在比較中引出長方形和正方形都是特殊的平行四邊形。這樣安排的好處是充分考慮到四邊形之間的聯系，容易在大量的知識沖突中辨清圖形之間的聯系與區別，但缺點是學生對于平行四邊形和梯形的特征都是通過觀察獲得的，梯形只有一組對邊平行的特征的建立比較膚淺，學生建立的表象過于單一。

（二）教師層面

在教學中，部分教師仍然把“掌握梯形的特征”作為教學的主要任務，強調“只有一組對邊平行”，卻忽視“為什么”，把發展空間觀念當成教學的“附屬”。很多教師都認為，圖3中的③④和⑤位置發生了變化是學生最難理解的，⑥符合梯形的特征，學生不難理解。事實果真如此嗎？

（三）學生層面

在四年級教學梯形前，筆者以上圖做了前測，統計結果如下：

通過訪談，學生認為：圖6和生活中見過的梯形（堤壩、木梯）的樣子不像，圖7很像生活中見過的梯形。可見學生對于梯形的認知仍停留在生活經驗層面，導致認知的偏差。

以上種種原因，再碰到前文的題型靈活多變，得分率低也就不足為奇了。

三、“正本清源”尋有效之方

基于教材、教師和學生的真實情況，對于“梯形的認識”一課有必要進行整合調整，筆者認為可設計“起→承→引→合”的探究過程，由淺入深，課始重在明晰梯形“只有一組對邊平行的四邊形”這一本質特征；課中由靜到動，多角度各位置認識各類梯形，讓靜態的知識動起來。這樣方能有效培養學生空間觀念。

（一）起——巧妙鏈接，激活經驗

“起”則為開端。在這里是指巧妙鏈接，激活經驗，導入新課。

由于學生已經掌握了平行四邊形是“兩組對邊分別平行的四邊形”這一本質特征，因此，課始借助回憶平行四邊形的特征，用課件出示三角形和平行四邊形重疊而成的圖形引入新知（圖4），激活學生已有的生活經驗，有效導入新課，為后續的教學奠定基礎。

1.找準異同，合理組合

梯形與平行四邊形的本質區別在于，前者只有一組對邊平行且另外一組對邊不平行，后者有兩組對邊分別平行。在教材的安排中，學生對于梯形的特征都是通過觀察獲得的，表象建立單一，教師往往只是強調概念中的“只有一組對邊平行”，卻忽視“為什么”。運用平行四邊形和三角形重疊成梯形，梯形的本質特征躍然紙上，為新知的建構搭造了平臺。

2.基于教材，匠心獨具

在平行四邊形和三角形的重疊中引出梯形，學生發現這個四邊形的一組對邊是原來平行四邊形的一組對邊，所以它們是互相平行的，而另一組對邊是原來三角形的兩條邊，它們是不平行的。這樣的安排匠心獨具，創造性使用教材，學生既知其然，又知其所以然，學得輕松自然。

（二）承——妙引體驗，逐步感悟

“承”則為承接。在這里旨在承接導入的情境，進行靈活變換，解決相似的問題。在這個過程中，要循序漸進，以免學生的思維出現斷層；同時，為后續空間觀念的培養作鋪墊。

1.簡單變化，初步感知

動畫演示圖5兩種組合：重疊部分是梯形嗎？與平行四邊形有什么不同？明確這兩個梯形上下對邊平行，左右對邊延長線相交，初步認識“只有一組對邊平行的四邊形是梯形”的本質特征。

2.改變位置，理解本質

在梯形的判斷練習中，認識像“”這類梯形對于學生來說是個難點，因此，在初步感知梯形特征后，改變擺放位置，出示圖6：重疊部分是梯形嗎？為什么？在三角形與平行四邊形的重疊圖中認識梯形，形象地揭示了梯形“一組對邊平行，另一組對邊不平行”的本質特征，點出了梯形與平行四邊形的聯系與區別。科學地詮釋了梯形的意義，學生一目了然，印象深刻，梯形的特征自然深深地印在腦海中。為了防止思維定勢，既有常規圖，又有變化圖，普通梯形、直角梯形和等腰梯形一一呈現，為下面的學習埋下伏筆。

3.聯系生活，加深印象

在理解梯形本質特征后，與生活實際相聯系，引導學生從“形”的角度觀察周圍的事物，發現梯形就在我們生活中，加深對梯形特征的認識，體會到數學與生活的密切聯系：生活中你見到過哪些梯形？你能找出圖7中的梯形嗎？引導學生數一數木梯中梯形的個數，不著痕跡地滲透有序思考、合理遷移的數學方法。

（三）引——引學結合，深化新知

“引”則為引導。在“起”“承”的基礎上，進行有效的“引”，讓學生主動參與是關鍵，運用梯形本質特征學習新知，進一步培養學生的空間觀念。

1.火眼金睛，辨析明理

學生利用剛剛獲取的知識，在四邊形中尋找梯形：圖8中的圖形哪些是梯形？哪些不是？為什么？在觀察、思考、質疑中鞏固對梯形的認識，培養分析能力和綜合能力，在辯論中結合正反兩方面的例子加以說明，不斷完善對梯形的認識，在比較中加深對梯形本質特征的印象。

2.動手操作，突破難點

課件隱去上圖中圖④和圖⑧：梯形有什么相同點呢？（梯形都有一組對邊平行，另一組對邊不平行），在交流、討論中認識底和腰；引導學生認識梯形的高，找一找梯形的高后獨立畫高，在比較中明晰高的正確畫法；課件呈現三角尺在上下底之間來回移動：梯形的高有幾條？為什么？通過動手操作和比較，突破認識高和畫高難點，使抽象的知識形象化。

3.挑戰自我，一刀成形

根據梯形的特征，利用一張長方形紙，一刀剪出一個梯形：這個梯形有什么特征？這是一道開放題：這一刀不是任意的一刀，必須破壞一組對邊平行，第一種剪出直角梯形，特別是第二種剪法需要將長方形對折一次才能剪出一個等腰梯形。這一操作活動，增加了挑戰性！學生根據“梯形只有一組對邊平行”進行推理，在操作、想象、推理中，學生在長方形和梯形間來回“穿梭”，既鞏固了梯形的概念，又巧妙地引出了直角梯形、等腰梯形，在活動中自然發現了兩種梯形的特征（直角梯形有兩個角是直角；等腰梯形兩腰相等，底角相等，是軸對稱圖形），認知體系逐步建構和完善，空間觀念得以培養。

（四）合——活用練習，內化思想

“合”則為結合。在這里是指結合前后知識，內化本質特征，進一步培養空間觀念。空間觀念的培養需要一個循序漸進、由淺入深的過程。在這一過程中，能結合課堂內外，結合前后知識，不斷“撥動”學生的思維，就可讓學生的學習得以不斷地積累、感悟、明朗，直到主動應用。

1.分類建構，形成體系

學生形成的空間觀念應該是“整體的、深刻的、概括的”，即一旦需要提取這一觀念就應該是鮮明的形象，而且是總體、簡約地出現。學生回憶所學四邊形后，試著把圖10中的四邊形分分類，學生把所學過的平面圖形利用不同的標準分類，既利用了梯形與其他四邊形的區別進一步鞏固了梯形的特征，又將所學過的平面圖形的知識進行了整理，建構了平面圖形的知識體系。這一過程進一步促進了整體的、深刻的、概括的空間觀念的形成。

2.推陳出新，前后縱連

新授課的練習既要緊扣本課重點，又要推陳出新，帶有一定的挑戰性，同時兼顧生動有趣，易于理解。先后呈現：直線a與直線b互相平行，下圖中有幾個梯形？把它們指出來（圖11①）（圖11①中共有梯形ABFE、梯形BCGF、梯形ACGE、梯形BDGF四個和一個平行四邊形ADGE）；幾何畫板演示：BF不停地移動，可以看到哪些圖形？（圖11②）（設計圖11②的目的在于復習已學多邊形，圖形雖然不同，但每個圖形的高都是一樣的）兩題呈現了已學多邊形，需要學生擦亮雙眼、匯報分享、集體共議，使學生深刻認識所學多邊形的本質特征，溝通幾種多邊形之間的內在聯系，從而建立科學的認知結構，使得空間觀念的建立由靜態走向動態。

3.意猶未盡，延伸課外

數學學習首先要理解，然后在理解的基礎上運用所學知識解決問題。課末，同桌合作，在釘子板上圍一圍（如圖12）：找一點D，使ABCD是一個梯形，點D共有多少種不同的圍法？激發學生思考，并延伸到課外，掀起新一輪的探究，在反復實踐應用中，空間觀念得到培養。

總之，學生空間觀念的培養不是一蹴而就的，需要教師以生為本，準確定位。教學中從圖形的本質特征出發，采取多種教學措施，引導學生在活動中積累空間與圖形的學習經驗，引導有序思考，必能促進其空間觀念的增強。

（浙江省龍游縣教育局教研室 324400）