運(yùn)籌帷幄 決勝千里

陳志軍

概率是初中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，其多與實(shí)際生活緊密聯(lián)系在一起.概率問題的探究旨在讓同學(xué)們?cè)诮忸}的過程中初步感受概率的思想，進(jìn)而體驗(yàn)概率在進(jìn)行決策時(shí)的重要作用.掌握概率的計(jì)算方法和用列表法和樹狀圖法求概率是學(xué)好概率的關(guān)鍵，因此學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意掌握以下幾個(gè)要點(diǎn).

一、 概率的計(jì)算方法

等可能條件下的概率的計(jì)算方法：P（A）= （其中m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n表示一次試驗(yàn)所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）.

（1） 在P（A）= 中，由m和n的含義可知0≤m≤n，進(jìn)而0≤ ≤1，因此0≤P（A）≤1.

（2） 特別的：①當(dāng)A為必然事件時(shí)，P（A）=1；②當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P（A）=0.

例1 在一個(gè)不透明的布袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黃球共5個(gè)球，每個(gè)球除顏色不同外，其余均相同.從袋子中任意摸出一個(gè)球.

（1） P（摸到白球）=_______________，

P（摸到黃球）=_______________，

P（摸到紅球）=_______________，

P（摸到白球或黃球）=_________；

（2） P（摸到白球）_______P（摸到黃球）.（填“>”“<”或“=”）

【解析】所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：1號(hào)球、2號(hào)球、3號(hào)球、4號(hào)球、5號(hào)球，摸到白球可能出現(xiàn)的結(jié)果：1號(hào)球、2號(hào)球，摸到黃球可能出現(xiàn)的結(jié)果：3號(hào)球、4號(hào)球、5號(hào)球.

解：（1） P（摸到白球）= ，

P（摸到黃球）= ，

P（摸到紅球）=0，

P（摸到白球或黃球）= + =1；

（2） P（摸到白球）

二、 用列表法和樹狀圖法求概率

列表法和樹狀圖法求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果.

（1） 當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率.列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率.

（2） 當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法.樹狀圖法一般是選定一個(gè)元素和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n.

（3） 當(dāng)只有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹狀圖法列舉，也可用列表法列舉.

例2 連續(xù)擲一枚均勻的骰子，第一次正面朝上的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，第二次正面朝上的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在直線y=2x上的概率為_______.

【解析】將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，一共有36種不同結(jié)果，每種結(jié)果都是等可能的，其中縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的有（1，2），（2，4），（3，6）共3種.

解：連續(xù)擲兩次骰子出現(xiàn)的可能列表如下：

由表格可知共有36種可能，因?yàn)榭v坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的有3種，所以點(diǎn)P落在直線y=2x上的概率為 .

例3 在一個(gè)不透明的口袋里裝有3個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，攪勻后從中摸出一個(gè)球，記下第一個(gè)球的顏色，將它放回后攪勻再摸出第二個(gè)球，求下列各事件的概率：（1） 都是紅球；（2） 都是白球；（3） 一紅一白.

【解析】此題要分兩步完成，所以采用樹狀圖法或者列表法都比較簡(jiǎn)單.解題時(shí)要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)，此題屬于放回實(shí)驗(yàn)，列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可.

解：畫樹狀圖如下：

共有9個(gè)等可能的結(jié)果，其中都是紅球的有4種情況，都是白球有1種情況，一紅一白的有4種情況.

∴P（都是紅球）= ；P（都是白球）= ；P（一紅一白）= .

三、 面積和概率問題

一般地，設(shè)試驗(yàn)結(jié)果落在某個(gè)區(qū)域S中每一點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等，用A表示“試驗(yàn)結(jié)果落在S中的一個(gè)小區(qū)域M中”這個(gè)事件，那么事件A發(fā)生的概率為：P（A）= .解決這類問題的關(guān)鍵在于計(jì)算各個(gè)區(qū)域的面積在整個(gè)區(qū)域的面積所占的比例.

注意：圖形可以是規(guī)則的，也可以是不規(guī)則的，只要知道各部分占總體面積的比即可.

例4 如圖1，一個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成7個(gè)相同的扇形，顏色分別為紅黃綠三種，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€(gè)扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形），求下列事件的概率：

（1） 指針指向紅色；

（2） 指針指向紅色或黃色；

（3） 指針不指向紅色.

【解析】問題中可能出現(xiàn)的結(jié)果有7個(gè)，分別記為：紅1，紅2，紅3，綠1，綠2，黃1，黃2，即指針可能指向7個(gè)扇形中的任何一個(gè).由于這是7個(gè)相同的扇形，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤又是自由停止的，所以指針指向每個(gè)扇形的可能性相等.因此可以用列舉法求出概率.

解：（1） 指針指向紅色（記為事件A）的結(jié)果有3個(gè)，即紅1，紅2，紅3，因此P（A）= ；

（2） 指針指向紅色或黃色（記為事件B）的結(jié)果有5個(gè)，即紅1，紅2，紅3，黃1，黃2，因此P（B）= ；

（3） 指針指向不是紅色（記為事件C）的結(jié)果有4個(gè)，即綠1，綠2，黃1，黃2，因此P（C）= .

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）