巧用角角探究相似構建

朱華慶

相似是我們初中數學圖形世界中重要的研究圖形關系的方法，沒有它，很多數學問題無法解決.相似更是我們初中升學考試的必考點，而且一定會在最后的綜合題中應用到.

本章的難點在于：如何在復雜的背景條件下找到相似三角形.而最大的困難在于：如果其中一個相似三角形不存在，或者兩個三角形都不存在，這時候，我們如何通過輔助線構建一個或者兩個三角形相似呢？今天我們就通過幾道例題，一起來尋找它的蛛絲馬跡，一一破解.

我們先來回憶一下，作為判定三角形相似的四種方法：方法（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；方法（2）判定定理1：兩組角對應相等的兩個三角形相似；方法（3）判定定理2：有兩組邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；方法（4）判定定理3：三邊對應成比例的兩個三角形相似.

對于第一種判定方法，我們也把它看成是角角判定一類方法.首先，平行也能得到角相等，有兩組角相等了是不是也相似呢？其次，平行有助于我們發現相似，如果在一個問題中一旦出現了平行這個條件，我們馬上要警覺起來，在解題陷入僵局的時候，是否考慮相似呢？就是說，平行可以看成尋找發現相似三角形的一個工具.最后，利用平行來解決相似問題，可以節省步驟.不過，由本質看，依然可以看成是角角的判定方法.本文重在探討如何構建三角形相似，并利用角角證明.

一、 通過作平行構建相似

例1 在△ABC中，CD是∠C的平分線，AD∶BD=2∶3，AC=10，求BC的長.

【分析】題意中主要條件是角平分線，在進行探究后發現，要么利用角平分線定理解決問題，要么利用三角形相似解決問題，而考慮到題意給出的線段成比例，便應該確定使用相似來解決問題，而圖形中不存在相似，自然想到構造相似三角形.

解：作DE∥BC交AC于點E，△ADE∽△ABC，易得 = = = ，把AC=10代入得AE=4，∴EC=AC-AE=6，又由已知易求DE=EC，∴DE=6，再次代入 = = 得到BC=15.

【點評】通過作一條平行線構建三角形相似，這是構建相似的基本方法.

二、 通過作中位線構建相似

例2 在△ABC中，AE、CD分別是BC邊和AB邊的中線，求DF∶FC的比值.

【分析】首先分析要求的解是線段的比，可以考慮相似，但是條件中中點比較多，這里是否是作平行線呢？中點比較多時能聯想到中位線，中位線又有平行，雖然不是直接作平行，其實是隱藏的平行線.

解：連接DE，由已知條件得到DE是中位線，于是DE∥AC，

∴△EDF∽△ACF，

∴DF∶FC=DE∶AC=1∶2.

【點評】構建相似三角形要看具體的已知條件，綜合來考慮.當已知中出現多處中點時，應該考慮三角形中位線.

三、 通過作直角三角形構建相似

例3 △ABC是圓O的內接三角形，BC邊上的高AD=3，AB=9，AC=5，求圓O的直徑.

【分析】此題初讀后會有困難，但從要求解的直徑出發，就會考慮先把直徑作出來，接著考慮，直徑有什么用處呢？常作的輔助性是體現直徑所對的圓周角是90°.因為圓中有“等對等”定理、圓周角定理，這就導致了很多角相等，很容易產生相似.

解：過點A作直徑AE，連接BE，

∵∠ACD=∠E，∠ADC=∠ABE=90°，

∴△ADC∽△ABE，∴AD∶AC=AB∶AE，代入已知條件得，AE=15.

【點評】這里通過作輔助線構建一個直角三角形和已知的直角三角形相似，這種方法比較少見，但是，也是有規律的，例如在圓中涉及直徑的問題，很有可能會出現直角三角形，其次，圓周角定理及其推論會出現很多的角相等，不經意間就出現了相似.

以上3個例題都是已知了一個三角形，需要構建另外一個三角形和已知三角形相似，還有些問題，需要構建兩個三角形相似.

四、 利用三角形外角的性質構建相似

例4 在圓C中，∠ACB=120°，△DEF是邊長為2的等邊三角形，E、F在AB上運動，當D點落在劣弧AB上時，求AE×BF的積.

【分析】 在讀題時，首先想到∠ACB=120°有何用處，這是一個難點.第二，探究線段的積，也有難度，但通常都是轉換為線段的比來解決.對于第一個難點，圓心角的度數知道了，可以求哪些角呢？抓住圓心角是主要的突破方向.其次，這里是有模型的，有的老師稱之為“三角一線”.我畫兩個模型圖，簡要說明，本文不作重點介紹.

當∠1=∠2=∠3時，就能證到兩個三角形相似.現在你了解為什么叫“三角一線”了嗎？知道它的規律了嗎？

解：連接AD、BD，∵∠ACB=120°，

∴劣弧AB度數為120°，

∴優弧AB度數為240°，∴∠ADB=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDF=60°，

∵∠DEF=60°，∴∠ADE+∠DAE=60°，

∴∠DAE=∠BDF，

又∵∠DEF=∠DFE=60°，

∴∠DEA=∠DFB=120°，

∴△DAE∽△BDF，∴ = ，

∴AE×FB=DF×DE=2×2=4.（積為定值）

【點評】這個題型不能完全看成是“三角一線”問題，但是，如果我們熟悉了“三角一線”模型，在連接了線段AD、BD后，很容易聯想到證明左右兩個位置的三角形相似，所以說，“三角一線”的模型對我們解題是很有幫助的.

五、 通過作垂直構建相似

例5 已知二次函數y=-2x2+4x+1的圖像如圖6，與y軸交于點A，與對稱軸相交于點C，射線AB與線段AC的夾角為45°，AB與對稱軸相交于點D，求點A、點C、點D的坐標.

【分析】已知二次函數解析式，易求與y軸的交點A的坐標和頂點C的坐標.在求點D坐標時，容易陷入困惑，沒關系，我們繼續來關注已知條件，發現有一個45°條件沒有使用，根據我們的所學知識，只有構建直角三角形，才能充分發揮45°的作用，但是從哪里作垂直構建直角三角形呢？其實，可以從點C、點B、點D分別嘗試，其中，點B、點C容易排除.繼續思考：我們要求的是點D坐標，因此希望求出關于點D的線段的長度，特別是CD的長，顯然Rt△ADF是等腰直角三角形，但是Rt△CDF還沒有探究，能否找到線索呢？在已知的條件中，C點坐標還沒有使用.于是圍繞點C開始思考，發現這里有平行啊，是否暗示我們可以構造出相似呢？再次整合信息，我們發現有AE∥CD，是否有三角形與Rt△CDF相似？

解：作CE⊥y軸垂足為E，作DF⊥AC垂足為F，當x=0時，y=1，即：A點坐標（0，1），由頂點坐標公式得：C點坐標（1，3），∴AE=2，EC=1，

由勾股定理得AC= ，在Rt△ADF中，

∵∠CAD=45°，∠AFD=90°，

∴∠ADF=45°，∴AF=FD，

在Rt△ACE和Rt△CDF中，

∵AE∥CD，∴∠FCD=∠EAC，

又∵∠CEA=∠CFD=90°，

∴Rt△ACE∽Rt△CDF，

∴ = = ，∴CF=2FD，

∵AF=FD，∴CF=2AF，∴AF=FD= AC，

∵AC= ，∴AF=FD= ，

∴FC= ，在Rt△CDF中，由勾股定理得CD= ，

∵點C坐標為（1，3），

∴點D的坐標為1， .

【點評】通過此題，我們至少有3個收獲：以后看到平行，要警覺是否要尋找相似，或者構造相似；關于特殊角要特別關注能否構建含有特殊角的直角三角形；最后，平面直角坐標系橫坐標軸與縱坐標軸是互相垂直的，所以作垂直構造直角三角形相似非常有效，應該引起足夠的重視.

以上5個例題，包括提到的“三角一線”問題，不管是添加平行線、作垂直、連接中點、作兩條垂直，還是連接直徑等等，它們的本質都是通過角角判定來證明三角形相似.在我們學習的過程中，大家會發現通過角角證明相似是最常見的方法，其次輔助線的添加，是有規律可以尋的，在作輔助線的時候，需要綜合題意，結合要求解的信息，才能在面對復雜相似問題的時候做出準確的判斷.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區堯塘中學）