幾何圖形面積計(jì)算公式教學(xué)常見問題及對(duì)策

沈勤

一、問題的緣起

“圓的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中重要的課程內(nèi)容，它是平面圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量中，由直線圖形變?yōu)榍€圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，從研究直線圖形到研究曲線圖形，對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)很大的跨躍。人教版教材采用實(shí)驗(yàn)的方法推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式。推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式之后，教材安排了兩道例題，應(yīng)用圓的面積計(jì)算公式解決實(shí)際問題。例1是已知直徑，先求出半徑，再求面積；例2是求圓環(huán)的面積。在這樣的教學(xué)后，筆者對(duì)“圓的面積”進(jìn)行了教學(xué)后測(cè)。

后測(cè)試題：

（1）已知正方形的面積為36平方厘米，求圓的面積。（見下圖）

（2）已知正方形的面積為20平方厘米，求圓的面積。（見上圖）

筆者對(duì)兩個(gè)班級(jí)82名學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，答題情況見表1。

二、分析與診斷

透過錯(cuò)例現(xiàn)象，經(jīng)過思辨加工，從中梳理歸納其產(chǎn)生問題的原因。

（一）缺少面積意義的感悟體驗(yàn)

在學(xué)習(xí)“圓的面積”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方形、長(zhǎng)方形等平面圖形的周長(zhǎng)與面積，學(xué)生能用自己的語言表述出什么是圖形的周長(zhǎng)，什么是圖形的面積。因此，教師在教學(xué)“圓的面積”時(shí)會(huì)覺得學(xué)生對(duì)圓的面積意義的理解已經(jīng)沒有困難了，無須加以體會(huì)。從上述的后測(cè)中可以看到，正方形的面積為20平方厘米，學(xué)生想到了邊長(zhǎng)為5厘米。由此可見，在小學(xué)圖形與幾何教學(xué)中，往往容易混淆圓的周長(zhǎng)和面積的概念。

（二）缺少公式本質(zhì)的推理分析

從上述的后測(cè)中可知，學(xué)生會(huì)根據(jù)“36”這個(gè)特殊的數(shù)據(jù)很快知道正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，正方形的邊長(zhǎng)也就是圓的半徑，然后運(yùn)用圓面積公式S=πr2順利地求出圓的面積。但把題中的“36”改成“20”后，學(xué)生就顯得束手無策了。學(xué)生總是試圖先求出半徑，再利用S=πr2這一公式得出圓的面積。可在我們的教學(xué)中卻忽視了“圓的面積是r2的π倍”，其實(shí)圓的面積與r2有著更為直接的倍數(shù)關(guān)系。

（三）缺少豐厚多樣的探究經(jīng)歷

在教學(xué)中，很多教師考慮到小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，認(rèn)為小學(xué)階段學(xué)生只要能認(rèn)同圓的面積公式就可以了，不需要經(jīng)歷過長(zhǎng)的探索過程。“圓的面積”一課教材只要求學(xué)生把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開后用近似等腰三角形拼成一個(gè)近似的平行四邊形（長(zhǎng)方形），由平行四邊形或長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出圓面積公式。在幾何圖形面積公式的推導(dǎo)過程中，不能簡(jiǎn)單地用單一的方法獲取計(jì)算公式，還應(yīng)加強(qiáng)推導(dǎo)過程中求異思維訓(xùn)練，讓學(xué)生經(jīng)歷異中求同的探究計(jì)算公式的過程。

（四）缺少過程理解的運(yùn)用練習(xí)

在探究出圓的面積計(jì)算公式后，很多教師就把主要精力放在套用公式的計(jì)算上。在練習(xí)設(shè)計(jì)中，總是設(shè)計(jì)一些已知半徑或是直徑可以直接套用公式求圓面積的題目，或者是設(shè)計(jì)一些已知圓的周長(zhǎng)求圓面積的題目。這樣一來，通過觀察、操作、推理等手段推導(dǎo)出的計(jì)算公式，在練習(xí)中缺少了過程理解的運(yùn)用，只是機(jī)械地套用公式進(jìn)行計(jì)算，不利于學(xué)生對(duì)計(jì)算公式的深入理解，這不是我們教學(xué)的最終的目的。

三、對(duì)策和措施

新課改的數(shù)學(xué)課堂注重過程性學(xué)習(xí)，提高學(xué)生思維能力，關(guān)注學(xué)生個(gè)性體驗(yàn)，可在幾何圖形計(jì)算公式教學(xué)中，還陷入“公式化”教學(xué)模式：追求快速推導(dǎo)出公式，拘泥于“套用公式”的練習(xí)。怎樣才能真正讓幾何圖形計(jì)算公式“靈活”起來?，F(xiàn)以六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”一課為例，談?wù)劰P者的一些嘗試。

（一）重視情境操作，感悟“面積意義”

研究表明，適當(dāng)?shù)牟僮骱途唧w的圖像對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是對(duì)圖形的周長(zhǎng)、面積和體積等概念的理解是非常有幫助的。教學(xué)中應(yīng)重視結(jié)合一些具體操作情境，使學(xué)生對(duì)所要測(cè)量的量（如長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、體積）的實(shí)際意義與變化本質(zhì)加以體會(huì)。在“圓的面積”一課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)這樣的活動(dòng)：描一描下面圖形的周長(zhǎng)與面積，想一想圓的面積大小與什么有關(guān)？（見下圖）

1.描繪，感悟周長(zhǎng)、面積概念的本質(zhì)區(qū)別

導(dǎo)入活動(dòng)中利用4個(gè)大小不一的圓，讓學(xué)生用喜歡的方式表示圓的周長(zhǎng)與面積。學(xué)生能用多種表征方式（用筆來描、用線繞圓形、用手指筆畫、語言描述）來感悟圓的周長(zhǎng)；再用（用陰影表示、用手摸、語言描述）來理解圓的面積。通過用線繞圓形后將線拉直表示圓周長(zhǎng)與用陰影表示圓面積進(jìn)行比較，讓學(xué)生再次感受周長(zhǎng)與面積的本質(zhì)區(qū)別。

2.比較，感悟面積大小變化的主要因素

導(dǎo)入活動(dòng)中4個(gè)大小不一的圓也為學(xué)生“主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證”提供了充分的準(zhǔn)備。學(xué)生通過觀察、比較，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考：“圓的面積的大小跟圓的什么有關(guān)？”在交流中初步發(fā)現(xiàn)引起圓的面積大小變化的主要因素——直徑和半徑。在教學(xué)中充分運(yùn)用比較的方法，有助于凸顯面積變化的主要因素，提高辨別能力，發(fā)展邏輯思維能力。

通過描繪、比較活動(dòng)，幫助學(xué)生建立圖形認(rèn)知，豐富學(xué)生的表象，以進(jìn)一步理解圖形中周長(zhǎng)與面積的概念，更為學(xué)生深入地探究圓的面積計(jì)算公式奠定基礎(chǔ)。

（二）借助幾何直觀，聚焦“公式本質(zhì)”

在“圓的面積”探究中設(shè)計(jì)揭示圓面積與正方形面積的關(guān)系的幾何直觀活動(dòng)，深入計(jì)算公式的知識(shí)本質(zhì)。

1.猜想，初步感知圓與正方形面積的關(guān)系

研究圓與正方形之間的面積關(guān)系，有助于學(xué)生更好地理解圓面積公式的本質(zhì)，同時(shí)拓寬解題的路徑。教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)活動(dòng)：先后出示三個(gè)大小不等的正方形和一個(gè)圓，猜測(cè)它們之間的面積關(guān)系。（見下圖）

先讓學(xué)生比比圖2、圖3分別與圖1的面積關(guān)系，學(xué)生運(yùn)用計(jì)算、剪拼等方法得出圖2面積是圖1面積的4倍，圖3面積是圖1面積的2倍。進(jìn)而引起學(xué)生猜想，“圖4面積與圖1面積有什么關(guān)系？”發(fā)現(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑長(zhǎng)度相等，引發(fā)學(xué)生用重疊、比較等方法進(jìn)行估測(cè)。

2. 估測(cè)，深入感知圓與正方形面積的關(guān)系

“課件出示一個(gè)正方形，再以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫一個(gè)圓，估測(cè)：圓的面積大約是正方形面積的幾倍？（見下圖）

從學(xué)生熟悉的“數(shù)方格”初步驗(yàn)證猜想，借助圓內(nèi)接正方形，圓外切正方形得出圓的面積是正方形面積的（2～4）倍，讓學(xué)生理解，圓的面積與r2有著更為直接的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)所得結(jié)論與接下來用轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出來的公式相互印證，能使學(xué)生充分感受圓面積公式推導(dǎo)過程的合理性。

（三）凸顯多維策略，注重“探索驗(yàn)證”

推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，凸顯多維策略，注重動(dòng)手操作、直觀演示、抽象概括等探索驗(yàn)證活動(dòng)，才能引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握?qǐng)A的面積公式。

1.轉(zhuǎn)化，形式多樣的探索中體會(huì)數(shù)學(xué)思想

教學(xué)中筆者直接提示學(xué)生“你能用剪拼的方法把圓轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的圖形嗎？以小組為單位先討論方法，再把4個(gè)大小不一的圓進(jìn)行轉(zhuǎn)化”。由于圓的大小不同和平均分割的份數(shù)不同，給學(xué)生提供了豐富的研究素材。學(xué)生通過觀察、比較、分析發(fā)現(xiàn)，雖然圓的大小不一，但都可以轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方形。相等的圓等分的份數(shù)加倍與拼成圖形的變化趨勢(shì)，想象等分份數(shù)無限加倍時(shí)的“極限狀態(tài)”。學(xué)生通過觀察圓在轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方形的過程中，發(fā)現(xiàn)了變與不變的關(guān)系，從而得出圓面積的計(jì)算公式。

2.驗(yàn)證，方法多樣的推算中明確計(jì)算公式

作為教材，僅呈現(xiàn)了將圓等分拼成近似長(zhǎng)方形推導(dǎo)出圓的面積公式，教材提供的僅是一種研究方法。因此，在教學(xué)了這種研究方法后，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索：“將圓形16等分后還能轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的什么圖形？你們能運(yùn)用轉(zhuǎn)化的圖形推算出圓形的面積公式嗎？以小組為單位進(jìn)行探索研究?！保ㄒ娤聢D）

學(xué)生通過將圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形，呈現(xiàn)多種方法驗(yàn)證圓面積計(jì)算公式，既豐富了課程資源，更重要的是，讓學(xué)生經(jīng)歷了更多探索圓面積的公式推導(dǎo)過程，進(jìn)行了有效的思考，更好體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，驗(yàn)證了圓的面積是正方形面積的π倍，即≈π。

（四）運(yùn)用創(chuàng)意練習(xí)，體現(xiàn)“過程理解”

教材練習(xí)題的編排層次分明：基本圖形求面積（直接應(yīng)用公式）—文字信息求面積（正、逆間接運(yùn)用公式）—應(yīng)用圓面積公式解決實(shí)際問題。這樣的練習(xí)鞏固了面積公式，但缺少了過程理解的運(yùn)用，只是機(jī)械地應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算，不利于學(xué)生對(duì)計(jì)算公式推導(dǎo)過程的深入理解。在這一課的鞏固練習(xí)中，筆者在原有教材練習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)新練習(xí)的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)計(jì)算公式的“過程理解”。

1.再現(xiàn)，設(shè)計(jì)注重推導(dǎo)過程的練習(xí)

“圓的面積”一課，設(shè)計(jì)了再現(xiàn)推導(dǎo)過程的創(chuàng)新練習(xí)。

練習(xí)1：把一個(gè)圓沿著半徑剪成若干等份，拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形（見下圖），這個(gè)近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12.56厘米、寬是8厘米。你能求出圓的面積是多少平方厘米嗎？

這個(gè)練習(xí)的設(shè)計(jì)讓學(xué)生再次回顧了圓面積公式的推導(dǎo)過程，加深對(duì)轉(zhuǎn)化前后圖形一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，通過長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬與圓的周長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系計(jì)算圓的面積。通過在多種方法的展示比較中，既是對(duì)所學(xué)圓面積公式的推導(dǎo)過程的有效鞏固，又是對(duì)新知的拓展與延伸。

2. 追溯，設(shè)計(jì)凸顯知識(shí)本源的練習(xí)

推導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式后，教材練習(xí)題的編排都是兩類練習(xí)：一類運(yùn)用計(jì)算公式求圖形面積；另一類運(yùn)用計(jì)算公式解決生活中的問題。缺少凸顯知識(shí)本源的變式練習(xí)。為了突破單一思維習(xí)慣，達(dá)到多維目的，筆者設(shè)計(jì)了凸顯知識(shí)本源的練習(xí)。

練習(xí)2：下面三幅圖中正方形的面積都是20平方米（見下圖），每個(gè)圓的面積各是多少平方米？

這個(gè)練習(xí)的設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生克服思維定勢(shì)，進(jìn)行多維思考。追問學(xué)生“要求出圓的面積，需要先找到什么條件？”給學(xué)生解決問題提供了廣闊的空間，求圓的面積可以先找半徑，也可以先找半徑的平方是多少。知道了半徑的平方是多少（即圖中正方形的面積），再直接乘π的值就可以輕松求出圓的面積。這個(gè)練習(xí)深化了對(duì)圓與正方形面積比的理解，使學(xué)生意識(shí)到方法靈活運(yùn)用的重要性，真正關(guān)注公式本質(zhì)，打破了套用公式的思維定勢(shì)。

四、結(jié)束語

幾何圖形面積計(jì)算公式教學(xué)是“圖形與幾何”的重要支撐點(diǎn)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)重要的內(nèi)容。我們唯有抓住教學(xué)的要義，深刻理解教材編寫目的，創(chuàng)新練習(xí)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷凸顯知識(shí)本質(zhì)的探索過程，通過觀察、實(shí)踐、猜測(cè)、想象等探究方法，從而讓幾何圖形面積計(jì)算公式“活”起來，靈活地運(yùn)用計(jì)算公式解決問題，有效形成解決問題的基本策略。

（浙江省平湖市乍浦天妃小學(xué) 314201）