關(guān)于凸函數(shù)教學(xué)的探討

韓亞洲　王雪健

摘 要： 凸函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用一直都是是分析教學(xué)的重點和難點，它在分析學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，因此由淺入深地系統(tǒng)學(xué)習(xí)凸函數(shù)的性質(zhì)是很有必要的.

關(guān)鍵詞： 凸函數(shù) 實變函數(shù) 不等式

凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，它在凸分析，數(shù)理經(jīng)濟學(xué)，最優(yōu)控制，函數(shù)論等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用.另外凸函數(shù)的性質(zhì)也是數(shù)學(xué)分析和實變函數(shù)中證明不等式的一個常用工具，它可以使不等式的證明更簡單，思路更清晰.

凸函數(shù)的定義和基本性質(zhì)在很多數(shù)學(xué)分析，高等數(shù)學(xué)，泛函分析，實變函數(shù)的教材中都有介紹.在不同版本的教材及參考書中，其定義形式區(qū)別也很大，條件有強有弱，彼此之間又密切相關(guān).在多數(shù)教材中對凸函數(shù)的性質(zhì)沒有系統(tǒng)的介紹，這使得大多數(shù)學(xué)生對凸函數(shù)的認(rèn)識只停留在最初的階段，以至于學(xué)生對凸函數(shù)的認(rèn)識不夠深刻，不能靈活應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)處理問題.本文在凸函數(shù)的定義出發(fā)從一個方面由淺入深地介紹了凸函數(shù)的一些基本性質(zhì)和等價定義.另外我們也期望通過對些性質(zhì)的學(xué)習(xí)能使大家對凸函數(shù)的認(rèn)識更深刻.

在介紹凸函數(shù)定義之前讓我們先回憶一下凸集的定義.設(shè)E為線性空間X中的子集，若對于任意的x，y∈E和0≤λ≤1有λx+（1-λ）y∈E，則稱E為凸集.

定義1[1].設(shè)f（x）為定義在凸集E上的函數(shù)，若對I上任意x，y∈E和實數(shù)0≤λ≤1，總有

參考文獻(xiàn)：

[1]匡繼昌.實分析與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，等.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007，第3版.

[3]周民強.實變函數(shù)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008，第2版.

[4]李遜.關(guān)于函數(shù)凸性的教學(xué)探討[J].華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1985，2：141-146.

基金項目：新疆大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新項目XJU-SRT-14048。