讓易錯題在反思中消解

蔣超

同學們在學習“圓”的相關知識時，往往會因為一些題目的反復出錯而悔恨不已.因此，我們在平時學習中，錯題的收集和整理就顯得尤為重要.整理錯題，反思錯誤，理清解題思路和思想方法能夠更好地提升學習數學的效率，鞏固數學知識.下面我們就從一些典型的例題出發，歸納一些典型錯誤.

一、 圓中弦、弧、圓心角、等弧等概念理解不清

例1 下列說法中正確的是（ ）.

A. 長度相等的弧是等弧

B. 相等的圓心角所對的弧相等

C. 相等的弦所對的弧相等

D. 相等的弧所對的弦相等

【錯解】B或C.

【分析】本題是文字命題的選擇題，重點考查對等弧、等弦的理解.在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等弧，故A選項錯誤.

通過畫圖1可知，在同心圓中，∠DAE=∠BAC，而與不重合，故B選項錯誤.通過畫圖2可知，HG是⊙O和⊙I的公共弦，但在⊙O中弦GH所對的劣弧與在⊙I中弦GH所對的劣弧不重合，故C選項錯誤.D選項中等弧暗指這兩條弧在同圓或等圓中，所以它們所對的弦必然相等.

例2 如圖3，請找出圖3⊙O中的弦_______，優弧_______，圓心角_______.

【錯解】弦：AC、AB、BC、OB，

優弧：、、，

圓心角：∠AOB、∠BOC.

【分析】本題主要考查對弦、弧、圓心角的概念的理解.連接圓上任意兩點的線段叫作弦，所以圖中OB是半徑而不是弦.圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，同時弧又分為優弧和劣弧，大于半圓的弧叫作優弧，小于半圓的弧叫作劣弧，其中半圓既不是優弧也不是劣弧.所以直徑AC所對的不算在內，這樣圖中還有AB、BC兩條弦.我們知道圓中每一條非直徑的弦必然對應一條優弧和劣弧，所以圖中優弧有和.頂點在圓心的角叫作圓心角，在這里同學們容易把平角∠AOC遺漏.

二、 對圓周角的理解和運用出錯，在圓中添輔助線的意識不強

例3 如圖4，已知過A、C、D三點的圓的圓心為E，過B、E、F三點的圓的圓心為D，如果∠A=57°，那么∠ABC=________°.

【錯解】33°.

【分析】本題主要考查圓周角定理、連半徑構造等腰三角形等知識.大家在解決本題時容易受圖形的影響，誤將∠ACB、∠ABC當作是⊙E的圓周角，AB當作是⊙E的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，錯誤認為∠ACB=90°，然后利用三角形內角和定理求得∠ABC=33°.實際上在本題中，A、B、C三點并不是都在⊙E上，所以∠ABC并不是⊙E的圓周角.

【正確解法】連接EC、ED，如圖4，可設∠B=x，

∵DB=DE，

∴∠1=∠B=x，

∴∠2=∠1+∠B=2x，

而EC=ED，

∴∠3=∠2=2x，

∵EA=EC，

∴∠A=∠ACE，

∴∠4=180°-2∠A=180°-2×57°=66°，

∵∠4=∠3+∠B，

∴2x+x=66°，

得x=22°，即∠ABC=22°.

三、 對圓中的內心、外心的理解混淆不清

例4 如圖5，點O和點I分別是△ABC的外心和內心，若∠BOC=130°，則∠BIC=_______°.

【錯解】160°.

【分析】本題主要考查三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心的運用.此題正確求出∠A的度數是關鍵.點O是三角形的外心——外接圓的圓心，即三角形各邊中垂線的交點；點I是三角形的內心——內切圓的圓心，即三角形各內角平分線的交點.大家在運用條件時容易混淆，錯把點O當作內心，從而得到∠ABC+∠ACB=100°，求出∠A=80°，再錯把點I當作外心，得到∠BIC=2∠A=160°.

【正確解法】∵點O是△ABC的外心，∠BOC=130°，

∴∠A=65°，

∴∠ABC+∠ACB=115°，

∵點I是△ABC的內心，

∴∠IBC+∠ICB=×115°=57.5°，

∴∠BIC=180°-57.5°=122.5°.

四、 垂徑定理理解不透，解題時缺乏分類的意識

例5 如圖6，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8 cm，CD=3 cm，則⊙O的半徑為________.

【錯解】5.

【分析】本題主要考查勾股定理、垂徑定理等幾何知識及其應用.同學們在解本題時誤將CD長當作弦心距的長，進而利用勾股定理求得半徑長為5.在本題中CD長是弓形高，弦心距=半徑-弓形高.

【正確解法】如圖6，連接OB.

∵OD⊥AB，且AB=8，

∴AC=BC=4.

設⊙O的半徑為x，則OC=x-3，由勾股定理得：

x2=（x-3）2+42，

解得：x=.

故半徑為.

例6 已知⊙O的半徑是5，AB=8、CD=6是⊙O的兩條平行弦，則AB、CD間的距離是________.

【錯解】只有一解.

【分析】本題主要考查了垂徑定理的知識，特別要注意分類討論.同學們在解決這個問題的時候，由于沒有圖形，受慣性思維的影響，隨意畫出了其中的一種情況，利用勾股定理求出了距離.實際上，在解決與圓相關的問題時，由于圓的特殊性質，容易出現多解的現象，同學們在求解的過程中往往容易忽略，導致解題錯誤.

【正確解法】如圖7、圖8所示，連接OA，OC. 作直線OE⊥AB于E，交CD于F，

則OF⊥CD.

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴AE=AB=4，CF=CD=3.

根據勾股定理，得：

OE===3，

OF===4.

①當AB和CD在圓心的同側時，

EF=OF-OE=1；

②當AB和CD在圓心的兩側時，

EF=OE+OF=7.

綜上，AB與CD間的距離為1或7.

在文章的最后，希望同學們在平時的學習中能養成及時整理錯題的習慣，在整理的過程中感悟、體會問題的解法和思想方法，讓所有的錯題在自己的反思中得到改正.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）