例談“圓”中滲透的思想方法

張靜

圓是一切美麗圖形的形象大使，因?yàn)樗碇鴮ΨQ、和諧和美滿.本文就帶領(lǐng)大家到“圓”的世界去挖掘一下它所蘊(yùn)含的思想方法.

一、 方程思想

方程是一種重要的解題策略，初中很多題目可以通過方程思想得到快速的解決，下面讓我們感受一下方程思想在圓中的魅力吧！

例1 如圖1，正方形ABCD邊長為4 cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切于F點(diǎn)，與DC相交于E點(diǎn)，則△ADE的面積為（ ）.

A. 12 B. 24 C. 8 D. 6

【分析】此題主要考查圓的切線長定理、正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識.解答本題的關(guān)鍵是運(yùn)用切線長定理得出AB=AF，EF=EC，然后把條件集中在△ADE中，由勾股定理來解決.

解：∵AE與圓O切于點(diǎn)F，根據(jù)切線長定理有AF=AB=4 cm，EF=EC.

設(shè)EF=EC=x cm，

則DE=（4-x） cm，AE=（4+x） cm，

在Rt△ADE中由勾股定理得：

（4-x）2+42=（4+x）2，

∴x=1 cm，∴CE=1 cm，DE=4-1=3（cm），

∴S△ADE=·AD·DE=×3×4=6（cm2）.

故選D.

二、 分類思想

分類思想在圓中運(yùn)用廣泛，分類時需注意“不重不漏”.

例2 如圖2，形如量角器的半圓O的直徑DE=12 cm，形如三角板的△ABC中∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12 cm，半圓O以2 cm/s的速度從左向右運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)D、E始終在直線BC上.設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t=0 s時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8 cm.當(dāng)t為何值時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？

【分析】隨著半圓的運(yùn)動分四種情況：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，AC與半圓相切；②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，AB與半圓相切；③當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，AC再次與半圓相切；④當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)時，AB的延長線與半圓所在的圓相切.

解：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6 cm，所以AC與半圓O所在的圓相切，此時點(diǎn)O運(yùn)動了2 cm，所求運(yùn)動時間為：t==1（s）.

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F.在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12 cm，則OF=6 cm，即OF等于半圓O的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切.此時點(diǎn)O運(yùn)動了8 cm，所求運(yùn)動時間為：t==4（s）.

③如圖5，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時，AC⊥OD，OC=OD=6 cm，所以AC與半圓O所在的圓相切. 此時點(diǎn)O運(yùn)動了14 cm，所求運(yùn)動時間為：t==7（s）.

④如圖6，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB=12 cm時，過點(diǎn)O作OQ⊥AB，垂足為Q.在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6 cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，所以直線AB與半圓O所在的圓相切. 此時點(diǎn)O運(yùn)動了32 cm，所求運(yùn)動時間為：t==16（s）.

綜上所述：當(dāng)t=1 s，4 s，7 s，16 s時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切.

三、 轉(zhuǎn)化思想

將未知圖形的面積轉(zhuǎn)化成我們熟悉的已知圖形的面積，這一轉(zhuǎn)化思想在圓的求值問題中運(yùn)用廣泛.

例3 已知：如圖7，半圓O的直徑AB=12 cm，點(diǎn)C，D是這個半圓的三等分點(diǎn).求圖中陰影部分的面積S.

【分析】本題主要考查了扇形面積公式應(yīng)用，關(guān)鍵是判斷出△OCD與△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等邊三角形，利用扇形的面積公式求解.

解：連接CO、OD、CD.

∵C、D是這個半圓的三等分點(diǎn)，

∴∠COD=60°，

∵OC=OD，

∴△OCD是等邊三角形，CD=OC=AB=6，

∵△OCD與△CDA是等底等高的三角形，

∴S陰影=S扇形OCD=π×62=6π（cm2）.

答：陰影部分的面積S是6πcm2.

例4 如圖8，扇形OAB與扇形OCD的圓心角都是90°，連接AC，BD.若圖中陰影部分的面積是π cm2，OC=3 cm，求OA的長.

【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算：S扇形=πR2或S扇形=lR，也考查了利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積. 這里就要用全等進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化.

解：∵∠COD=∠AOB=90°，

∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，

∴∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO，

∴△AOC≌△BOD，

∵∠COF=∠EOD，

∴S扇形COF=S扇形EOD，

而S△AOC=S△BOD，

∴S=S′，∴S陰影部分=S扇形AOB-S扇形EOF，

∴-=π，

∴OA=4（cm）.

深入挖掘圓中的數(shù)學(xué)思想，對于學(xué)好這一章乃至提升數(shù)學(xué)能力有著重要作用.掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，不管以后你們從事什么工作，銘記在心的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法和看問題的角度等，會隨時隨地發(fā)生著作用，會使你們受益終生.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）