聚焦數(shù)形尋突破建立模型巧解題

張偉俊

一、 試題呈現(xiàn)

（2015·江蘇常州）如圖1，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是________.

二、 解法探究

本題以圓為載體，隱含角平分線、等腰三角形等基本圖形.根據(jù)已知條件易得AC平分∠BAD，BC=DC，∠BCD=120°等結(jié)論.要求AC的長，很多同學(xué)感到束手無策，其主要原因在于無法應(yīng)用已知條件實(shí)現(xiàn)角度、線段之間的相互轉(zhuǎn)化.

1. 巧借幾何直觀，聯(lián)想已有模型

【思路突破】根據(jù)“點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)”可知：AC平分∠BAD，且BC=DC.由此可以聯(lián)想到：點(diǎn)C到AB、AD兩邊的距離相等，進(jìn)而想到過點(diǎn)C分別向AB、AD邊作垂線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形解決問題.

【解題過程】如圖2，過點(diǎn)C分別向AB、AD邊作垂線，垂足分別為P、Q.

【模型建構(gòu)】通過以上的探究，我們可以進(jìn)一步提煉關(guān)于角平分線的一個(gè)幾何模型，即以角平分線上的一點(diǎn)為圓心畫圓與角的兩邊相交于四點(diǎn)的幾何模型.如圖3，AP平分∠MAN，C為AP上的一點(diǎn)，以C為圓心畫⊙C，分別交AM于點(diǎn)B、D，交AN于點(diǎn)E、F.連接CB、CD、CE、CF，過點(diǎn)C分別向AM、AN邊作垂線，垂足分別為G、H.由此可得：△ACG≌△ACH，△CBG≌△CDG≌△CEH≌△CFH，△ACB≌△ACE，△ACD≌△ACF. 上述的全等三角形你能證明嗎？由此你能得到哪些結(jié)論呢？

2. 抓住數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)幾何模型

【思路突破】根據(jù)“點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)”可知BC=DC，由此想到：連接BD，形成等腰三角形BCD.又由“四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形”得到∠BCD=120°，從而可得到△BCD的三邊之比為1∶1∶.于是產(chǎn)生建立⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的四條邊以及兩條對(duì)角線之間的數(shù)量關(guān)系的想法.

【解題過程】如圖4，連接BD交AC于點(diǎn)E.∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，∴弧BC=弧DC，

【模型建構(gòu)】根據(jù)以上探究發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.這個(gè)結(jié)論能否推廣到任意的圓內(nèi)接四邊形呢？如圖6，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB·CD+BC·AD=AC·BD還成立嗎？受到上述探究的啟發(fā)，我們嘗試借助三角形相似來解決.在AC上取一點(diǎn)E，使∠EDC=∠ADB.

由①+②得AB·CD+BC·AD=BD·CE+BD·AE=BD·（CE+AE）=AC·BD.從而說明在一般情況下“圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積”也是成立的.事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論就是數(shù)學(xué)上著名的托勒密定理.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）