數據的集中趨勢和離散程度的“病理檔案”

尹平

在學習數據的集中趨勢和離散程度的過程中，同學們經常會犯一些錯誤，現將相關典型錯題整理如下，希望同學們能認真用好這些資源.

一、 “算”錯平均數，錯把算術平均數當加權平均數

例1 以下是某校九年級10名同學參加學校演講比賽的成績統計表：

則這組數據的平均數為（ ）.

A. 90 B. 89 C. 88 D. 87.5

【錯誤解答】==87.5，故選D.

【錯因診斷】平均數作為“一般水平”的代表，反映的是一組數據中各個數據的平均大小.一般地，若n個不同的數x1，x2，…，xn的權分別是w1，w2，…，wn，則=，叫作這n個數的加權平均數.本題并不是只有80，85，90，95這四個數據，而是由1個80、2個85、5個90和2個95組成的10個數據，將1、2、5、2分別作為80、85、90、95的權，利用加權平均數的計算方法進行計算.

【正確解答】==89，所以選B.

二、 “排”錯中位數，錯把無序當有序

例2 一組數據如下：3，6，7，2，3，4，3，

6，那么這組數據的中位數是（ ）.

A. 2.5 B. 3.5 C. 2或3 D. 3或4

【錯誤解答】因為共有8個數據，最中間兩個2和3的平均數為2.5，故選A.

【錯因診斷】中位數是將數據按大小順序依次排列（即使相等的數也應全部參加排序）后“排”出來的.當數據的個數是奇數時，中位數就是最中間的那個數；當數據的個數是偶數時，中間是空的，所以要將“最中間”的兩個數的平均數作為中位數.所以無論一組數據有多少個數，它的中位數只有一個.

【正確解答】將原數據從小到大排列為：2，3，3，3，4，6，6，7，共8個數據，所以中位數是=3.5，故選擇B.

三、 “數”錯眾數

（一） 錯把某數出現的次數當作眾數

例3 （2014·湖北武漢）在一次中學生田徑運動會上，參加跳高的15名運動員的成績如下表所示：

那么這些運動員跳高成績的眾數是（ ）.

A. 4 B. 1.75 C. 1.70 D. 1.65

【錯誤解答】1.65一共出現了4次，所以眾數為4，故選A.

【錯因診斷】眾數是一組數據中出現次數最多的數據，一組數據的眾數可能不止一個.對于眾數來說，在理解上要明確出現次數最多的那個數據，而不是出現的次數，也不是這組數據中最大的那個數據.本題研究對象是運動員的成績，所以眾數應圍繞運動員的成績.

【正確解答】這15個數據中出現次數最多的數據是1.65，一共出現了4次，所以眾數是1.65，故選擇答案D .

（二） 錯以為眾數是唯一的

例4 在一次數學競賽中，10名學生的成績（單位：分）如下：75，80，70，80，85，70，

95，60，70，80，則這組數據的眾數是_______.

【錯誤解答】80.

【錯因診斷】眾數是一組數據中出現次數最多的那個數據.作為一組數據的代表，眾數是“數”出來的，所以有時候一組數據中的眾數有可能不止一個.

【正確解答】本題數據中的80和70都出現3次，所以這組數據的眾數是80和70.

四、 求極差時漏解

例5 （2014·江蘇揚州）若一組數據-1，

0，2，4，x的極差為7，則x的值是（ ）.

A. -3 B. 6 C. 7 D. 6或-3

【錯誤解答】A.

【錯因診斷】極差是一組數據中最大數據與最小數據之差.在這組數據中，x可能是最大數，也可能是最小數，因此x的值就有兩種可能，需要分類討論.

【正確解答】分兩種情況討論：（1） 若x是最大數，最小數為-1，則x=-1+7=6；（2） 若x是最小數，最大數為4，則x=4-7=-3.因此x的值為6或-3，故選擇D.

五、 忘了方差定義

例6 一組數據的方差為s2，將這組數據中的每個數據都除以4，所得新數據的方差是_______.

【錯誤解答】s2.

【錯因診斷】方差是反映一組數據波動情況的統計數據，其大小與數據本身的大小無關，可能一組數據比較小，但方差比較大，也有可能一組數據比較大，但方差較小.本題原有每個數據都除以4，忽視方差公式的構成，直接就錯認為方差也除以4.

【正確解答】設原有一組數據為x1，x2，…，xn，平均數是，方差是s2，那么一組新數據x1，x2，…，xn的平均數是x1+

x2+…+xn=（x1+x2+…+xn）=，方差是x1- 2+x2- 2+ …

+xn-2=2[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=s2.

相信通過以上錯誤解答、錯因診斷，同學們會汲取教訓，構建好防護墻，增強解題的“免疫力”，從而鞏固“三數兩差”這一章的相關知識點，確保不失分！

小試身手

1. 一組數據-2，0，-3，-2，-3，1，x的眾數是-3，則這組數據的中位數是（ ）.

A. -3 B. -2 C. 1 D. 0

2. 一組數據：1，2，1，0，2，a，若它們的眾數為1，則這組數據的平均數為_______.

3. 某中學隨機調查了15名學生，了解他們一周在校參加體育鍛煉的時間，列表如下：

則這15名同學一周在校參加體育鍛煉的時間的中位數和眾數分別為（ ）.

A. 6，7 B. 7，7

C. 7，6 D. 6，6

4. 已知A樣本的數據如下：72，73，76，

76，77，78，78，78，B樣本的數據恰好是A樣本數據每個都加2，則A、B兩個樣本的下列統計量對應相同的是（ ）.

A. 平均數 B. 標準差

C. 中位數 D. 眾數

5. 某人在5次打靶測試中命中的環數如下：

5，9，7，10，9.

（1） 計算此人打靶成績的方差_______.

（2） 如果他再射擊1次，命中8環，那么他射擊成績的方差_______.（填“變大”、“變小”或“不變”）

答案：

1. B 2. 3. D 4. B 5. 3.2 變小

（作者單位：江蘇省海門市正余初級中學）