數據的集中趨勢和離散程度考點風向標

夏冬平

數據的集中趨勢和離散程度的中考考點有哪些？夏老師給大家做了總結，請看下文.

考點一 求平均數

例1 （2015·江蘇無錫）某種蔬菜按品質分成三個等級銷售，銷售情況如下表：

則售出蔬菜的平均單價為________元/千克.

【解析】用加權平均數公式計算：售出蔬菜的平均單價為=4.4（元/千克）.

【點評】根據平均數的定義，這n個數的平均數可以表示為=，這樣求得的平均數叫作加權平均數，其中w1，w2，…，wk叫作權，當一組數據中有重復出現的數據時，常用加權平均數的計算公式計算平均數.

考點二 求中位數和眾數

例2 （2015·廣東梅州）在“全民讀書月”活動中，小明調查了班級里40名同學本學期計劃購買課外書的花費情況，并將結果繪制成如圖所示的統計圖.請根據相關信息，解答下列問題：

（1） 這次調查獲取的樣本數據的眾數是_______；

（2） 這次調查獲取的樣本數據的中位數是_______；

（3） 若該校共有學生1 000人，根據樣本數據，估計本學期計劃購買課外書花費50元的學生有_______人.

【解析】（1） 眾數就是出現次數最多的數，觀察統計圖可知，數據30出現的次數最多，達12次，因此，樣本數據的眾數是30.

（2） 班級共有40名同學，將40個數據從小到大排列，第20、21個數據的平均數就是樣本數據的中位數，由圖可知，第20、21個數據均是50，因此，樣本數據的中位數為50.

（3） 算出樣本數據中本學期計劃購買課外書花費50元的學生所占總人數的百分比，再乘1 000即可.

∴估計本學期計劃購買課外書花費50元的學生有：1 000×=250（人）.故答案是250.

【點評】將給出的一組數據從小到大（或由大到小）排列，然后根據數據個數的奇偶性來確定中位數，根據這組數據出現次數的多少確定眾數，最后一步體現了用樣本估計總體的思想.

考點三 方差

例3 （2014·四川遂寧）我市射擊隊為了從甲、乙兩名運動員中選出一名運動員參加省運動會比賽，組織了選拔測試，兩人分別進行了五次射擊，成績（單位：環）如下：

則應選派_______運動員參加省運動會比賽.

【解析】先分別計算出甲和乙的平均數，再利用方差公式求出甲和乙的方差，最后根據方差的大小進行判斷即可.

甲的平均數是：（10+9+8+9+9）=9，

乙的平均數是：（10+8+9+8+10）=9，

甲的方差是：s2 甲=[（10-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（9-9）2]=0.4，

乙的方差是：s2 乙=[（10-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（10-9）2]=0.8.

∵s2 甲

∴應選擇甲運動員參加省運動會比賽.故答案為“甲”.

【點評】方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.

考點四 “三數與方差”的綜合應用

例4 （2015·吉林）要從甲、乙兩名同學中選出一名，代表班級參加射擊比賽，如圖是兩人最近10次射擊訓練成績的折線統計圖.

（1） 已求得甲的平均成績為8環，求乙的平均成績；

（2） 觀察圖形，直接寫出甲、乙這10次射擊成績的方差s2 甲，s2 乙哪個大；

（3） 如果其他班級參賽選手的射擊成績都在7環左右，本班應該選_______參賽更適合；如果其他班級參賽選手的射擊成績都在9環左右，本班應該選_______參賽更適合.

【解析】（1） 從折線統計圖中得出乙10次射擊成績，根據平均數公式求得乙的平均成績，

∴乙的平均成績為：

乙==8（環）；

（2） 觀察圖形，顯然甲的波動性大，乙的波動性小，所以s2 甲>s2 乙；

（3） 因為甲、乙的射擊平均成績均高于7環，且乙的方差小，成績比較穩定，因此選乙參賽比較適合；如果其他班級參賽選手的射擊成績都在9環左右，而乙的最好成績為9環，甲有兩次成績為10環，甲更有希望比賽獲勝，故此時選甲參賽更適合.

【點評】比較兩組數據方差的大小有兩種方法：一是先計算出各組數據的方差再比較大小，二是根據圖判斷數據波動的大小，由方差的意義可知波動大的方差就大.本題（2）就是選用的第二種方法.

從上面的幾種類型中我們可以看出數據的集中趨勢和離散程度有哪些常見考點，而解決這些考點需要我們認真理解平均數、中位數、眾數、方差等的意義及公式，理解并記牢公式是解決問題的前提.

（作者單位：江蘇省海門市東洲國際學校）