抓住概念本質，靈活解題

王軍

《有理數》一章是初中數學中一切運算的基礎. 它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據概念、法則、運算律迅速地進行解題，還要善于根據題目條件，將《有理數》一章重點知識相結合，靈活巧妙地運用概念、法則和簡捷的算法提高運算能力，提高思維的敏捷性與靈活性. 下面對部分難點內容進行剖析，希望對同學們的學習有所幫助.

一、 負數的產生及其意義

隨著社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際需要，為了滿足實際需要，引入了負數，負數是由于實際需要產生的，負數也是客觀存在的數.

正數和負數通常表示具有相反意義的量，若正數表示某種意義的量，則負數就表示其相反意義的量，反之亦然 .

例1 一個物體沿著南北兩個相反方向運動，如果把向南的方向規定為正，那么走 6 km，走-4.5 km，走0 km的意義各是什么？

【分析】正數與負數可表示具有相反意義的量，正數表示向南運動，則負數表示向北運動. 0表示原地不動，0表示正數與負數的分界，在實際問題中也有確定的意義.

解：走6 km表示物體向南走6 km；

走-4.5 km表示物體向北走4.5 km；

走0 km表示物體原地不動.

例2 某老師把某一小組五名同學的成績簡記為：+ 10、-5、0、+8、-3，又知記為0的實際成績表示90分，正數表示超過90分，則這五位同學的平均成績為多少分？

【分析】由題意先求出這五位同學的實際成績，如簡記為+ 10的學生實際成績為100，然后再求平均成績.

解：依題意知，五位同學的實際成績分別為：100、85、90、98、87.

其平均成績為：×（100+85+90+98+87）=92（分）.

二、 數軸的概念及其意義

數軸概念中包含三層含義：一是說數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二是說數軸具有原點、正方向和單位長度三要素，三者缺一不可；三是說數軸原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，是根據實際需要規定的.

例3 如圖所示的數軸上，A、B、C、D、E各點分別表示什么數？

【分析】根據各點在原點的左側、右側還是在原點上，來確定數是負數、正數還是 0，根據各點距離原點多少個長度單位，來確定數的值.

解：點A表示數3；點B表示數；

點C表示數0；點D表示數-3；

點E表示數-4.

例4 在數軸上畫出表示下列各數的點，并用“<”連接起來；

-3，4，-1，2，0，1，-2.

【分析】首先畫出數軸，三要素要齊全；再把各數在數軸上的對應點找出來；然后根據這些數在數軸上的位置順序比較大小，再用“<”連接起來.

解：這些數在數軸上的表示如圖所示 .

它們從小到大的排列為：-3<-2<

-1<0<1<2<4.

三、 兩個負有理數的大小比較

兩個負有理數的大小比較與其他數一樣，可以利用數軸找準兩個負有理數在數軸上的對應點，右邊的數總比左邊的數大. 兩個負有理數的大小比較，還可以利用絕對值，求這兩個數的絕對值，比較兩個數絕對值的大小，絕對值大的反而小 .

例5 利用絕對值比較下列有理數的大小 .

（1） -0.6，-60；

（2） -，-，-.

【分析】比較負數的大小，先求出各數的絕對值，關鍵是比較絕對值的大小，絕對值大的反而小.比較分數大小，一般要化成同分母的分數來比較 .

解：（1） -0.6=0.6，-60=60.

∵0.6<60，∴-0.6>-60.

（2）

-==，

-==，

-==，

∵<<，

∴->->-.

四、 有關絕對值的計算及化簡

靈活正確運用絕對值的代數意義及有關性質 .

例6 已知a+2+b-3=0，求a和b的值.

【分析】由絕對值的非負性可知，a+2≥0，b-3≥0，而且只有當a+2和b-3都等于0時，a+2+b-3=0才成立，因為只有0的絕對值等于0，所以a=-2，b=3.

五、 有理數混合運算中應注意的問題

（1） 要注意運算順序；

（2） 要靈活運用運算定律進行簡便運算，不要搞錯符號，特別是乘方的符號；

（3） 要靈活進行小數、分數的互化；

（4） 互為相反數的和，互為倒數的積，有因數為零，特殊運算先行結合.

例8 計算：

（1） （-5）-（+3）+（-9）-（-7）；

（2）

+-

-+

--

+1.

【分析】進行有理數加減混合運算時，應先把加減運算統一成加法運算，再寫成省略加號和括號的代數和，最后運用有理數的加法法則及運算律進行計算，能夠簡化運算的盡量簡化運算 .

解：（1） 原式=（-5）+（-3）+（-9）+（+7）

=-5-3-9+7

=（-5-3-9）+7

=-17+7=-10；

（2） 原式=

++

++

-+

-

=+--

=

-+

-

=--=-.

例9 計算：

（1） ÷

-1+×

-12-（0.5-1）3；

（2） ×[2.1×（3.2-6.8）+2.4]-0.48.

【分析】按照有理數混合運算的順序，有括號的應先計算括號內的算式，即去括號由里向外，但這樣計算有時比較麻煩.經過觀察本題可以發現：括號外的的分母3是括號內的2.1和2.4的約數，利用乘法分配律先進行計算可以使整個計算簡捷明快.

解：（1） 原式=×

-+×-

-

=-++

=；

（2） 原式=0.7×（3.2-6.8）+0.8-0.48

=0.7×（-3.6）+0.8-0.48

=（-2.52-0.48）+0.8=-2.2.

例10 計算：

（1）

1-

-2 ÷

- -

-2 ÷

-；

（2） -0.252÷

-4×（-1）21+

1

+2-3.75×24.

解：（1） 原式=

1

+2 ÷

-

+2

÷

-=

×

-

+2×

-

=

-5+2×

-

=

-×

-

=3；

（2） 原式=-×16×（-1）+1×24+2×24-3.75×24=1+33+56-90=0.

注：第（1）小題先由里及外逐層去掉括號，同時把除法轉化為乘法進行運算，第（2）小題應用乘法分配律使運算得以簡化.

六、 科學記數法

把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a的整數位數只有一位，這種記數的方法，叫作科學記數法.

例11 用科學記數法表示下列各數：

（1） 270.3；

（2） 3 870 000；

（3） 光的速度約為300 000 000米/秒；

（4） 0.5×9×1 000 000；

（5） 10.

【分析】科學記數法a×10n中，a是小于10且大于或等于1的數，n比原數位的整數位數少1，比如：3 870 000 000是10位數，指數n就是9. 這就是說n等于原數的整數位數減1，而不是比所有的數位和少1. 如179.4=1.794×102，而不是179.4=1.794×103.

解：（1） 270.3=2.703×100=2.703×102.

（2） 3 870 000=3.87×1 000 000=3.87×106.

（3） 300 000 000=3×100 000 000=3×108.

（4） 0.5×9×1 000 000=4.5×106.

（5） 10=1×10.

總之，在學習有理數一章時，要抓住基本概念，掌握運算法則，最重要的是練好基本功，這是一種數學功底，需要經過長期的、刻苦的訓練，并且在訓練中還要注意動腦筋，尋找解題規律和技巧，不斷總結經驗.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）