這道習題，學生為啥不肯一一列舉？

毛蓉 嚴育洪

【“望”：病例觀察】

這節(jié)課是蘇教版五年級上冊“解決問題的策略”——

出示例題（如下圖）。

教師先讓學生隨意列舉，在巡視中，選擇展示有遺漏的學生作品，引導學生有序列舉。然后，教師讓學生在下發(fā)的一張5格空表中一一列舉。反饋時，教師選擇從長為10米開始列舉的學生進行展示（如下表1），而筆者看到，許多學生是從長為1米開始列舉的（如下表2）。

表1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 表2

新授結束，教學進入練習環(huán)節(jié)，當屏幕上出示教材安排的這樣一道習題時（如下圖）。

不知道是因為疏忽還是執(zhí)教教師認為不重要，竟然漏打了習題后面括號里的要求——先填表，再回答。

在學生埋頭列舉中，教師發(fā)現(xiàn)平時表現(xiàn)不錯的一位女生卻不動筆，呆坐著，教師關切地詢問原委：“你怎么了？是不是身體不舒服？”誰知這位女生委屈地站起來說：“這道題，不是以前學過的一一搭配么？只需要3×4=12就可以很快地算出來了！”同學們一陣騷動，教師愕然，呆了一會，猛然發(fā)現(xiàn)自己少打了習題要求，急忙補上后說：“注意：教材要求一一列舉！”這位女生噘著嘴怏怏坐下……

【“問”：病歷記錄】

課后，筆者找來三個學生作為代表進行了交流。

首先問從1開始列舉的學生：“你是怎么想到從1開始列舉的？”

他答道：“探索問題的時候，不是從最小的開始研究么？”

接著問從10開始列舉的學生：“你是怎么想到直接從10開始列舉的？”

他撓著頭不好意思地說道：“書上看到的?！?/p>

最后問那個用乘法計算的女生：“你為什么選擇用乘法計算呢？”

她振振有詞：“這道題要求‘一共有多少種不同的搭配’，用一一列舉反而麻煩啊！”

……

問完學生，筆者轉而問上課教師兩個問題：

一是“對學生作品，你為什么選擇性展示？”

上課教師理由充足：“從10開始列舉，這是教材寫著的。何況‘長=1，寬=10’，這種說法多別扭?。∷越滩纳弦獜拈L到短來列舉?！?/p>

二是“對學生意見，你為什么消極性處理？”

上課教師有些心虛：“用一一列舉的策略解決問題，這是教材要求的。只不過我忘了打上題目要求了?！?/p>

……

【“切”：病理診治】

本節(jié)課的教學目標是使學生經(jīng)歷用一一列舉策略解決實際問題的過程，能通過有序列舉找到符合要求的答案，感受到一一列舉的特點和價值，進一步發(fā)展思維的條理性和嚴密性，培養(yǎng)列舉能力，發(fā)展列舉技巧。

在備課時，我們需要注意的是，這一教學內容被安排在五年級的教材中，所以在教學方式的選擇上，教師應充分考慮學生“已有了什么”。對照上述教學片段，不難發(fā)現(xiàn)教師的“要”與學生的“有”之間至少存在著以下三大問題。

問題一：在教學例題時，教師大多循著條件到問題的路線開始一一“列舉”出各個知識點、思維點以及注意點：首先由條件“1米長的柵欄”，讓學生注意所取數(shù)據(jù)應為整數(shù)，然后由條件“22根1米長的柵欄”，讓學生想到圍成的長方形周長為22米，最后由問題“面積最大”，讓學生知道最后比的是面積，并知道面積在發(fā)生著變化。

根據(jù)五年級學生的思維特點，在指導解決問題的策略時，教師的教學要求應更多地側重“執(zhí)果索因”的分析法。也就是對本節(jié)課的例題，可以讓學生從條件想起，但更應看重從問題想起，由“面積”讓學生想到?jīng)Q定長方形面積的兩個要素“長”和“寬”，從而在周長不變的情況下，一一列舉出長和寬的相應變化來求出面積的變化。

問題二：在教學例題時，許多教師會像課例那樣，先讓學生隨意列舉，然后尋找一些無序列舉的學生作品進行展示，引導學生有序列舉。其實，有序思想在學生之前的學習活動中（例如從低年級的“認數(shù)”到剛學不久的“因數(shù)和倍數(shù)”）無時無處不在，并非是“新知識”。眾多知識都或隱或現(xiàn)地反映著有序思想，可以說，有序性是數(shù)學學科的特征之一，也是數(shù)學研究的方法之一。所以，本課教學時，筆者認為，教師不妨基于學生的“已有”直接指明方向：“當列舉比較多的圍法時，我們怎樣可以做到不重復、不遺漏？”引導學生自覺調用經(jīng)驗，直接進行有序列舉。筆者認為，給方向比給方法重要，因為有了方向，就有了方法。

如此，學生的學習也就不會被教師牽著走，也就不會出現(xiàn)本課教學中教師對學生的“強求”——必須像教材上那樣從10開始列舉，而會尊重學生的原始思維，從最小開始一一列舉，例如假設長為1米，通過（22-1×2）÷2求出寬為10米……至于教師擔心的——“‘長=1，寬=10’這種說法多別扭啊！”，其實無需擔心，因為“長”與“寬”是相對而言的，“長”未必要長。如果學生產(chǎn)生質疑，教師可以就此解釋，當然也可以以長邊為“長”，此時只需把“長”改成“寬”即可，由此可見，這并不是“教材上從長到短來列舉”的根本原因。

在發(fā)給學生用于一一列舉的表格中，教師不妨改變教材所示樣式，增設“周長”一欄（如下表）來記錄學生的思考過程和思考結果，這樣更有助于學生從“不變”中去列舉出“變”。在反饋時，教師再引導學生采用另一種思路22÷2=11，然后通過11的分成來一一列舉，這樣就可以轉接到教材從10開始列舉這一思路。

學生順著原始思維，從小到大列舉到5的時候，自己會發(fā)現(xiàn)接下去就會出現(xiàn)重復，從而自動停止列舉。由此觀察上述課例，教師也并沒有給學生解釋為什么只列舉到6的原因。另外，教師發(fā)給學生正好有5格的表格讓學生填空的做法，明顯有著暗示性和包辦性（教師并沒有站在學生立場，學生列舉前怎么就知道只有5種情況呢？）。正確的做法是：表格的格數(shù)不應該恰到好處，要么多幾格，要么少幾格，或者干脆沒有格子，讓學生有一種情況畫一個格子。

問題三：也就是本文標題所反映的問題——“這道習題，學生為啥不肯一一列舉？”從教學現(xiàn)場可以看出，上課教師在備課時根本沒有想到這樣的題目學生以前在學習“搭配規(guī)律”時已經(jīng)有過。有些學生觸景生情，會勾起對往事的回憶，從而發(fā)現(xiàn)用原有方法“3×4=12（種）”解決問題更容易。

教材上在這道習題問題之后的括號中注明了要求——“先填表，再回答”，由此可以看出教材意圖是讓學生“拿著新船票登上舊客船”，用新學知識解決老問題，體會之前學的“一一搭配”與今天學的“一一列舉”方法之間的聯(lián)系。然而，遺憾的是，教師不懂編者的心，在出示這道習題時一不小心漏掉了括號中并非可有可無的附帶要求，結果就出現(xiàn)了課中那位女生的“不配合”和“不買賬”。出現(xiàn)這種狀況，不能怪學生不懂教師的心，課例中教師強行把學生拉回教材的處理方式，恰恰暴露出教師不懂學生的心。如果教師具有策略意識和戰(zhàn)略眼光，就會趁機借題發(fā)揮，抓住學生真實的學習反應，肯定學生的想法，并引導學生進行比較，明白“用一種特定的策略解決問題，并非總是最優(yōu)的”這樣一種辯證思想，從而提升教學境界，為全課添上精彩一筆。

然而，在現(xiàn)實教學中，這節(jié)課，教師大多只想到策略的優(yōu)越性，而想不到策略的局限性。如果想到了，也抱著“多一事不如少一事”的心理，不愿意去捅破，這樣只會造成學生認識的不全面甚至不正確。有意思的是，課例中教師的疏忽，卻換來了這樣的契機，可惜沒有能夠“因禍得福”，造福于學生，讓這一生成資源沒了意思。

如果沒有教師的疏忽，也沒有學生的質疑，對這道習題，教師可以有兩種處理方式：一是完整出示習題要求，讓學生必須使用新方法數(shù)出種數(shù)，然后再比較和溝通新（一一列舉）舊（一一搭配）方法之間的聯(lián)系，從而明白也可以用舊方法直接算出種數(shù);二是把習題原來的問題“一共有多少種不同的搭配？”改成“有哪幾種不同的搭配？”，迫使學生只能運用新方法解決問題，把結果一一列舉出來。

好的教學應該能夠瞻前顧后。我們除了可以利用教材這一道習題“向前（已經(jīng)學過的知識）看”，讓學生看到用一一列舉策略解決問題可能存在的局限性，我們還可以利用教材另一道習題（如下圖）“向后（還沒學過的知識）看”，在學生用一一列舉策略解決問題之后，順便把題目中的天數(shù)加大，讓學生體會到一一列舉的麻煩，在此教師可適時告訴學生：“以后學了最小公倍數(shù)知識，不用一一列舉，就可以輕松算出結果?！?如此，學生的認識才會不斷“進步”，并最終明白：隨著知識的不斷“進步”，解決問題的方法也會不斷“進步”。并逐步形成這樣的策略意識和策略判斷：首先考慮“能不能”（用一一列舉策略解決問題），然后考慮“要不要”（用一一列舉策略解決問題）。

任何一個人在面對像例題那樣“變化著”的問題時，在沒有找到新辦法或獲得好辦法之前，首先想到的就是一一列舉這種“笨辦法”。但我們并不能因此而否定一一列舉作為解決問題策略的作用，因為在特定情境中，例如在面對教材的又一道習題（如下圖）時，這種“笨辦法”可能是解決問題的好辦法。

總之，不管有沒有像課例中那樣的生成，我們都應該通過本節(jié)課讓學生形成這樣的認識：策略是活的。而要達到這一教學境界，教師就必須把策略教活。

（江蘇省無錫市碩放實驗小學 ? 214142

江蘇省無錫市錫山教師進修學校 ? 214101）