“把所有的都包起來”

孫佳威 付春紅

《義務教育數學課程標準（2011版）》提出了“模型思想”這一概念。什么是模型思想？課標中雖然正式提出了模型思想的基本理念和作用，明確了模型思想的重要意義，但是對于教師來說，要想真正把模型思想融入課堂，幫助學生在數學課堂中建立起“數學模型”，卻不是一件容易的事情。甚至有許多一線教師認為，在課堂中實施了“問題情境—建立模型—解釋、應用與擴展”的模式就是在幫助學生建立模型，而這顯然是一種形式主義。那么究竟該如何幫助學生建立模型思想呢？觀摩了吳正憲老師的一節數學課，對我們頗有啟發。

吳老師的教學內容是人教版四年級上冊的“商的變化規律”一課。面對這樣一個被大家研究“透”的教學內容，我們最大的疑問就是：吳老師還能怎樣上出彩？面對新課標，她的著眼點在哪？

上課伊始，吳老師像以往教學“商的變化規律”一課一樣，以“猴王分桃子”的情境，引導學生列出了三個算式：6÷2=3、60÷20=3、600÷200=3進行研究。面對這個熟悉的情境，我們的熱情一下降到了冰點，正當我們失望時，吳老師后面環節內容的處理，給了我們一個又一個的驚喜。

驚喜一：借助直觀，淺悟模型

當學生對于“猴王分桃子”的三個算式有了初步的感悟后，吳老師沒有引導學生繼續糾結于幾個算式呈現的規律的研究，而是以幾何直觀的形式幫助學生繼續感悟規律：

師：孩子們，這其中的規律是什么呢？我們再來看一組題。

（出示圖）：

師：你看到了什么？

生：我看到橫著的是表示有多少支筆，豎著的是表示多少元。

師：你知道它們之間有什么關系嗎？

生：買兩支筆就是10元，買4支筆就是20元，買6支筆就是30元，買8支筆就是40元。

（隨著學生說在圖上點出點來。）

師：想一想，買10支筆的點應該去哪了？

生：在直的線上再往上。

師：你有什么新的發現嗎？

生：商都是5。

師：那這個5又是什么呢？

生：一支筆的價錢。

師：你怎么求出來的？

生：我通過總的價格除以筆的支數求出每支筆的價格。

師：筆的數量和總的價格在發生著變化呀。

生：但是都是每支5元錢，不變。

此時老師沒有局限于圖的理解和學生的表達，而是引導學生用手勢一起再次感受。

師：你們的意思是——買的支數越來越多，錢也就越來越多，但是每支筆的價錢是永遠不變的。

（吳老師邊說邊一只手臂伸開代表橫軸，另一只手臂伸開代表縱軸，慢慢地延展開手臂，幫助學生逐步地感悟被除數和除數增加的過程，感悟商不變的原因。）

此時，學生對于“商不變”的理解絕不僅僅是抽象的算式，還有直觀圖形的感悟。正是這樣一幅圖的引入，就幫助學生把代數問題引入到圖形的理解中來，滲透了幾何直觀思維方式的同時，把商不變的規律與直觀模型建立了緊密的聯系。

驚喜二：層層感悟，抽象模型

在這樣研究的基礎上，吳老師引導學生繼續研究算式的變化規律。

師：這些算式的商怎么就不變了？請大家選一組為例，把你的發現表示出來。

（學生進行小組研究。）

師：誰來說說你們的研究的過程和發現？

（學生展示自己的研究過程和發現。）

師：你能根據你們的這個發現，再寫出幾組這樣的算式嗎？

生1：4÷2=2 ? 40÷20=2

生2：8÷2=4 ? 80÷20=4

生3：20÷5=4 ? 200÷50=4

……

當學生興趣盎然地舉不勝舉時，他們心中對于商不變的規律已經有了一定的感受，學生雖然沒有說出總結性、規律性的東西，但是商不變的規律大有呼之欲出的態勢。此時，吳老師恰如其分地引導：

師：你們說得完嗎？

生：永遠都說不完，太多了！一輩子也說不完！

師：那問題就來了，一輩子也說不完。（教師用一個……表示出來）就這個一輩子也說不完的事，你們能不能總結一下，用一句話或者一個式子來表示。你想到什么，就寫什么。

（學生自己靜下心來反思學習過程，嘗試寫出自己的感悟。）

師：展示一下你們的想法。

生1：我發現怎么也寫不完，永遠也寫不完。

生2：商與被除數、除數有關系。

師：你們想問他點什么？

眾生齊問：到底有什么關系？

生2：我發現它乘2、它也乘2，商就不變。（結合著一個算式說。）

生3：你乘10、我乘10，商就不變。

生4：你乘幾，我乘幾，商就不變。

師：這個你是誰？我是誰？商才不變呢？

生4：你就是被除數，我就是除數。

師：看她就把前邊你們所表達的意思總結出來了。3號同學，你面對他的總結有什么要說的嗎？

生3：我沒有把所有都說全，還有的不是乘10呢，她就把所有的都說全了。在總結的時候，要把所有的情況都包起來。

師：對呀，要把所有的說全了，剛才有些同學的帽子有點小了。

師：我看到有的人還是這樣總結的（如下圖），你有什么想法嗎？

生：我覺得還可以把方框變成x 。

師：你的x代表什么？

生：要是5就都是5，要是10就都是10。

在這個環節中，吳老師技巧性地、分層次地讓學生展示自己的想法，學生的想法逐步地由初步感知的“永遠也寫不完”到“你乘幾我也乘幾、商不變的表達”，最后用“x”這個簡潔符號來表示，不僅體現了學生由粗略體驗到細致分析、由形象感知到抽象歸納的過程，更重要的是他們體驗了一把建立模型的過程，正如生3在自我反思的過程中所說的：“要把所有的都包起來。”是呀，有了充分的體驗、層層的感知，學生的總結中終于提到了“要把所有的都包起來”，這個“把所有的都包起來”的符號表達就是幫助學生建立的抽象模型。

驚喜三：回顧過程，應用模型

如果說前面的學習過程是學生在教師引導下的一種抽象概括，那么怎樣讓學生在以后的學習中也能夠有所發現，也能嘗試用簡潔的方法來表達自己的發現，是這節課的一個重要的研究點，也是幫助學生積累活動經驗的過程。于是吳老師引領大家回顧了整個學習過程。

師：我們來回頭看看，是怎樣總結出這個規律的。

大屏幕顯示畫面和過程：分桃子→買筆圖的觀察→自己寫式子→回到生活中驗證。

師：看這個圖，我們把單位“元”和“支”去掉，你還能根據它編一個小故事嗎？

生1：我買2塊糖用10元錢，買4塊糖20元錢……每塊糖5元錢的商不變。

生2：我去二姨姥姥家，2秒鐘跑10米，4秒鐘20米……每秒鐘跑5米的商不變。

……

如果說前面的過程是在建立模型的話，那這里吳老師就是在引領學生應用模型，把模型還原到現實生活中去應用。經歷這樣的過程才算得上是一節完美的建模課。更讓人驚喜的是，吳老師模型的應用又再一次和幾何直觀建立了聯系。面對學生的“去二姨姥姥家”的事，我們所有的聽課教師都發出了會心的笑聲，笑聲中既有對吳老師睿智課堂的欽佩，更有對學生成功體驗的愉悅。

綜觀吳老師的授課過程，不難發現吳老師在走的其實也是那一條建模之路：

問題情境：抽象算式，說明研究的問題

建立模型：多層次、多方式的感知（算式、圖形、動作提示）

一般的敘述到抽象化、符號化表達

解釋、應用擴展：對圖形表達和符號化的理解，用生活中的實例解釋

當我們帶著無比艷羨的目光驚嘆之余，反思自己的課堂教學，我們也曾嚴格按照“問題情境—建立模型—解釋、應用與擴展”這樣的模式在進行摸索，我們的課堂怎么就那么別扭而又索然無味呢？對比之后終于豁然開朗，“建立模型”是引導學生在多層次感知中逐步地完善和抽象，是學生在學習過程中的一種體驗的提煉、一種過程的積累。我們的問題歸根結底還是出在了認識上、理念上，建立模型不是教師建立，而是學生建立，是教師幫助學生在豐富的感知中進行抽象的提煉。所以教師需要努力做到的僅僅是少一些急于求成、多一些耐心等待;少一些抽象說教、多一些形象感知;少一些包辦代替，多一些寬松體驗;少一些知識傳送，多一些經驗積累。相信如此，我們的“建模課堂”也會像吳老師一樣不斷地給自己、給學生帶來“驚喜” ！

（北京市朝陽區教育研究中心 ?100000

北京市朝陽區望京南湖東園小學 ?100000）