在游戲中學習“數學建?！?/h1>
2015-09-10 07:22:44馬貞
教學月刊·小學數學 2015年1期
馬貞
所謂“數學建?！保窗熏F實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題。數學知識的這一運用過程也就是數學建模。“公倍數和最小公倍數”的數學模型該如何構建呢？全國第十一屆小學數學教學觀摩活動上廣東省的駱奇老師執教了“公倍數和最小公倍數”，他用自己的課堂很好地詮釋了這一過程，通過探索“尾巴重新接回的秘密”，把一堂數學課上得風生水起，現結合其中的教學片段與各位共賞。
【教學片段一】
師：今天，老師給大家帶來了一個很好玩的游戲，想玩嗎？請看，這是一個正六邊形。這個呢？也可以說是一個正四邊形。兩張圖片拼起來是一只可愛的小猴！接下來我們就用這兩張圖片來玩一個游戲。我把正六邊形固定不動，讓正四邊形繞正六邊形按同一個方向轉動，我們發現，當正四邊形開始轉動的時候，猴子的尾巴——（斷開了！）
師：我想請大家猜一猜，從這個時候算起，轉動幾次，猴子的尾巴又能重新接回？到底幾次？怎樣才能知道？行，我來轉，你們大聲數?。ń處熮D動圖片，學生數。）到第6次，暫停轉動，接回了嗎？繼續轉！學生繼續數，到第12次時，尾巴重新接回。如果繼續轉，到第幾次尾巴還能重新接回？（24次！）再繼續？（36次?。┤绻^續寫下去，還能寫多少個？這個游戲叫“尾巴重新接回”。
【賞析】
《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考?！庇螒蚴菙祵W課堂上常用的情境，但駱老師設計的這個情境不一樣，它不是游戲與數學的簡單疊加，三言兩語就直奔數學中心，讓學生有一種“上當受騙”的感覺。“尾巴重新接回”與“公倍數和最小公倍數”有什么關系？不用說學生，就是后面聽課的教師也是一愣。這種懸念激發了學生強烈的探究欲望，真正達到了“轉軸撥弦三兩聲，未成曲調先有情”的效果。
史寧中教授說：新一輪課程改革其實是“過程中的教育”?！稗D動幾次，猴子的尾巴又能重新接回？”這是一個基于現實的真問題，學生興趣盎然，紛紛進行大膽猜測，6次、12次、18次、24次不等。到底對不對呢？轉一下嘛！學生的眼睛緊緊盯著黑板，生怕錯過了每一次的轉動。6次，尾巴沒有接回，學生很愕然。12次，終于對了！這樣的情境源于學生的認知基礎而又略高于認知，答案感覺簡單其實不簡單，結果好像是其實不是，學生的探究欲望一旦被撩撥起來，真是欲罷不能。
【教學片段二】
師：如果再玩一次這個游戲，你們有沒有信心？請看屏幕，動物變了，更重要的是——圖形也變了，幾邊形和幾邊形？（8邊形和5邊形）轉動幾次，尾巴又能重新接回？請看屏幕，我來轉，你們數，教師通過課件來轉動尾巴。誰猜對了？掌聲送給剛才猜對的同學！
師：這么好玩的游戲，你們想不想自己玩一玩？好，聽清楚老師的要求。待會兒老師會給你們一些這樣的圖片（出示5邊形+4邊形、8邊形+4邊形的圖片），你們以小組為單位，也像剛才那樣，先猜，再轉，最后將數據填在表格里，（出示表格）能看懂嗎？好，下面請同學們分小組來合作玩這個游戲。
【賞析】
借助幾何直觀可以把復雜的數學問題簡明化、形象化，有助于探索解決問題的思路，預測結果。第一次玩這個游戲，學生大都處于一種懵懂的興奮狀態，關注的是游戲本身“好玩”，第二次玩這個游戲，教師提出明確的觀察要求：“什么變了？更重要的是什么變了？”看似隨意一問，實質是教者的深思熟慮。不經意間把學生的注意力從游戲情境引向數學思考：從多邊形邊數看，第一次6和4不互質，第二次8和5互質;從接回次數看，第一次數目比較小，第二次比較大;從操作形式看，第一次手動示范，第二次課件演示。
這么好玩的游戲學生早就按捺不住了！前蘇聯教育家阿莫納什維利指出：“兒童單靠動腦，只能理解和掌握知識，如果加上動手，他會明白知識的實際意義?！鼻皟纱斡螒驅W生獲得的是間接的經驗，但這種間接經驗又是必需的，它直接引導著學生接下來的猜想與實驗?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行?！睂W生一邊操作、一邊記錄、一邊比較和思考，在潛意識中有一種直覺，這個游戲不簡單，可能背后隱含著什么規律。兩組多邊形的邊數也是有意為之，一組互質，另一組呈倍數關系，有利于學生從不同情況的接回次數中去歸納和發現。
【教學片段三】
師：剛才，我們總共玩了三次尾巴重新接回的游戲，第一次，猜對的人不多。第二次，猜對的人多了起來。到第三次你們自己玩的時候，我發現很多同學一下子就猜對了。咦！你們是不是有什么發現？這些重新接回的次數與什么有關？又是怎樣的關系呢？先請大家在小組內說一說，然后請小組代表匯報。
生1：我們小組發現，兩個圖形邊數相乘就能得到尾巴重新接回的次數。
師：你能舉個例子嗎？
生1：比如說4乘 6等于24，24就是重新接回次數中的一個。5乘8等于40，40也是重新接回次數中的一個。同樣，四八三十二、四五二十都出現在重新接回的次數中。
師：這是他們組的發現，其他同學對他們的發現有什么評價？
生2：他們的發現是對的，但不全，而且不一定是第一個，比如四六二十四就是第二次重新接回的數。
師：雖然兩個圖形的邊數乘起來能夠得到一些重新接回的數，但還有一些，它們并不是邊數的乘積，也重新接回了。
生3：我們小組發現重新接回的次數既是圖1（左邊圖形）邊數的倍數，又是圖2（右邊圖形）邊數的倍數。
師：你能不能結合黑板上的數據來說明？
生3：比如說12、24、36，都是重新接回的次數， 12既是6的倍數又是4的倍數，24是6的倍數，也是4的倍數，36也是6的倍數和4的倍數。
師：其他組呢？
生3：也是一樣的，40是8的倍數也是5的倍數，80是8的倍數也是5的倍數，120是8的倍數也是5的倍數。
師：這是他們小組的發現，你們有什么看法？（沒有學生舉手）那好！我們鼓掌通過！
【賞析】
“尾巴重新接回的奧秘是什么呢？”這是一個基于現實情境的“真”問題，回顧三次玩游戲的過程，猜對的人數從不多到逐步多了起來，再到很多學生一下子就猜對了，朦朦朧朧中學生覺得這里面有奧妙，有規律。這個規律是什么呢？課堂上對學生的信任就是給學生以力量。教師智慧的“退”造就了學生勇敢的“進”，學生的思維始終處于一種心欲求而不得，口欲言而不能的“憤”“悱”狀態。
學習無非是每一個兒童內部建構的個性化的、個別化的“意義的經驗”。在積累豐富活動經驗的基礎上，學生有一種表達的沖動，迫切需要把自己的發現與教師和同伴分享。相同的游戲活動，不同的學生獲得的經驗未必相同，在這種個性化的表述中，學生呈現的是一種“原生態”的思維，盡管粗糙，但彰顯了自己“樸素”的思想。對話中學生之間的“交鋒”很激烈，不斷地發現問題、提出問題，“發現”在爭論中取得共識。課堂呈現的是一種深度參與和有過程的思考。
【教學片段四】
師：通過剛才的討論和匯報，我們發現，原來尾巴重新接回的奧秘就是兩個正多邊形邊數的公倍數，第一次接回就是它們的最小公倍數！ 如果現在還讓你們玩這個游戲，有把握嗎？比如說正8邊形和正6邊形（如下圖），要知道正6邊形至少轉動幾次尾巴重新接回，其實就是求8和6的？（最小公倍數。）
生：最小公倍數?。?4）
師：這么快！能不能把你們的想法寫下來？
生4：我先找出6的倍數和8的倍數，再找它們共同的倍數。
師：哦，他是先寫出6的倍數，再寫出8的倍數，再找出它們共同的倍數。剛才老師在下面看的時候，發現還有一種很特別的做法，你們能不能看懂？（屏幕演示）
生5：6不是8的倍數，12也不是8的倍數，18也不是8的倍數，24既是6的倍數也是8的倍數。
師：他的做法其實就是先依次將6的倍數寫下來，看看它是不是同時也是8的倍數。能聽明白嗎？
生：能。
師：你還有什么想說的？
生6：這種做法是找6的倍數來比較，看是不是8的倍數。我覺得因為我們要找的是8和6的公倍數，因為8大一些，我們可以用8來試，這樣試的次數少一些。
【賞析】
對小學數學而言，“建?！钡倪^程，實際上就是“數學化”的過程，是學生在數學學習中獲得某種帶有“模型”意義的數學建構的過程。新課上到此處，大家才恍然大悟，原來尾巴重新接回的奧秘就是求兩個正多邊形邊數的公倍數。在這里，情境、問題與概念有機融合在一起，只要提到公倍數，學生頭腦中馬上就會出現“尾巴重新接回”的情境，學生獲得的是一種程序性知識，是關于最小公倍數的“數學模型”。
西方科學教育思想的倡導者斯賓塞曾經說過：“教學要從直觀開始，以抽象結束。”當學生積累了豐富的活動經驗，思維發展到一定的層次，這時就要進行必要的抽象，進行“數學化”?；仡櫛竟澱n，“數學化”的過程其實就是“建?！钡倪^程，是學生在數學學習中獲得某種帶有“模型”意義的數學結構的過程。有了“模型”意識，當學生再遇到“尾巴重新接回”時便很快知道了該怎么做。站在“終點”回望探究之旅，學生對公倍數的認識更深入了，由此而產生的興趣，必將深刻而持久地影響著他們今后的數學學習。
（江蘇省海安縣明道小學 ? 226600）
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師：這么好玩的游戲，你們想不想自己玩一玩？好，聽清楚老師的要求。待會兒老師會給你們一些這樣的圖片（出示5邊形+4邊形、8邊形+4邊形的圖片），你們以小組為單位，也像剛才那樣，先猜，再轉，最后將數據填在表格里，（出示表格）能看懂嗎？好，下面請同學們分小組來合作玩這個游戲。
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師：你能舉個例子嗎？
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師：雖然兩個圖形的邊數乘起來能夠得到一些重新接回的數，但還有一些，它們并不是邊數的乘積，也重新接回了。
生3：我們小組發現重新接回的次數既是圖1（左邊圖形）邊數的倍數，又是圖2（右邊圖形）邊數的倍數。
師：你能不能結合黑板上的數據來說明？
生3：比如說12、24、36，都是重新接回的次數， 12既是6的倍數又是4的倍數，24是6的倍數，也是4的倍數，36也是6的倍數和4的倍數。
師：其他組呢？
生3：也是一樣的，40是8的倍數也是5的倍數，80是8的倍數也是5的倍數，120是8的倍數也是5的倍數。
師：這是他們小組的發現，你們有什么看法？（沒有學生舉手）那好！我們鼓掌通過！
【賞析】
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師：他的做法其實就是先依次將6的倍數寫下來，看看它是不是同時也是8的倍數。能聽明白嗎？
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生6：這種做法是找6的倍數來比較，看是不是8的倍數。我覺得因為我們要找的是8和6的公倍數，因為8大一些，我們可以用8來試，這樣試的次數少一些。
【賞析】
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西方科學教育思想的倡導者斯賓塞曾經說過：“教學要從直觀開始，以抽象結束。”當學生積累了豐富的活動經驗，思維發展到一定的層次，這時就要進行必要的抽象，進行“數學化”?；仡櫛竟澱n，“數學化”的過程其實就是“建?！钡倪^程，是學生在數學學習中獲得某種帶有“模型”意義的數學結構的過程。有了“模型”意識，當學生再遇到“尾巴重新接回”時便很快知道了該怎么做。站在“終點”回望探究之旅，學生對公倍數的認識更深入了，由此而產生的興趣，必將深刻而持久地影響著他們今后的數學學習。
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