整體思維：把握數學知識的“昨天”“今天”和“明天”

趙凌兵

[摘 要]整體思維，指從學習者已有的經驗和知識出發，以全面、聯系、發展的觀點來整體處理教學內容，了解數學知識的“昨天”“今天”和“明天”，并靈活地把握各種教學關系的動態平衡，創新地組織教學，實現最優化實施教材和最大化發展學生的目標。

[關鍵詞]整體思維 數學知識 昨天 今天 明天

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）23-020

整體思維又稱系統思維，它認為整體是由各個局部按照一定的秩序組織起來的，要求以整體和全面的視角把握所要學習的知識對象。也就是說，課堂教學中，教師要引導學生整體把握所學知識，從而避免“只見樹木，不見森林”的單一與狹隘，有效提升學生的思維能力。

整體思維，以“昨天”的知識結構作為思維起點，以“今天”的整體關注形成思維建構，以“明天”的展望延伸實現融會貫通。下面，我以“三角形的面積”教學為例，簡要闡述在整體思維引領下，如何把握數學知識的“昨天”“今天”和“明天”。

一、“昨天”：“你從哪里來？”——選準教學起點，快速進入“最近發展區”

1.師（出示一個長方形）：長方形的面積怎么求？

生：長方形的面積=長×寬。

2.師（出示以下五個圖形）：這五個長方形的面積一樣，陰影部分的面積誰最大？

生1：陰影部分的面積好像一樣大，因為它們好像都是長方形面積的一半。

師：直覺很重要。這位同學的直覺對不對呢？需要我們開動腦筋積極思考，然后進行驗證。請仔細觀察，這五個長方形中的陰影部分都是什么圖形？

生：三角形。

3.師（板書課題）：今天這堂課我們一起來探索“三角形的面積”。在這五個長方形中，哪一個能讓你一目了然地知道三角形的面積就是長方形面積的一半？

生：第四個。

師：其余四個長方形可以通過怎樣的操作或思考，來驗證剛才那位同學的直覺呢？

生2：可以添線將它分一分。（師根據學生回答添加輔助線，如下圖）

師：很佩服同學們的創造力。經過操作，我們驗證了陰影部分的面積都是所在長方形面積的一半。

4.師：請大家拿出準備好的長方形紙，在紙中畫一筆，畫出一個三角形。（學生操作如圖{10}）

師：是不是在長方形中畫一筆，只能畫出這樣的三角形呢？（學生經過思考，又畫出圖{11}）

5.師：我們只要量出哪些數據，就可以求出三角形的面積？

生3：只要量出三角形所在長方形的長和寬，就可以求出三角形的面積。

師：怎么求？

生3：長×寬÷2。（師板書：三角形的面積=長×寬÷2）

師：以圖⑤為例，長方形的長等于三角形的什么，寬等于三角形的什么？

生4：長等于三角形的底，寬等于三角形的高。（師更改板書：三角形的面積=底×高÷2）

……

關于“昨天”的理解

教學起點是指教師對某一內容教學時所設定的起點。數學教學起點的確定，不能僅僅立足于數學知識的掌握，應著眼于學生思維的“最近發展區”，使他們“跳一跳，摘到果子”；不僅關注學生數學知識和技能的掌握，更要關注他們數學思維能力與問題解決能力的培養。

教學“三角形的面積”一課，教師通常都是想辦法引導學生將三角形轉化成平行四邊形，但追本溯源，平行四邊形面積是通過長方形面積推導出來的。因此，我在教學的第一環節時，以長方形的面積為起點，引導學生通過觀察、比較、操作等活動，尋找三角形與所在長方形之間的內在聯系，初步探索出三角形的面積計算公式。這樣教學，為學生提供了帶有一定難度的學習內容，調動了學生思維的積極性，發展了學生的潛能。

二、“今天”：“你來干什么？”——整體關注圖形，迅速進入思維順延區

1.師：不知道大家留意到沒有，我們剛才研究的三角形其實是什么三角形？

生：直角三角形。

師（出示一個直角三角形）：如果有兩個完全一樣的直角三角形，你能拼成一個長方形嗎？（學生操作如圖{12} ）

師：這是將直角三角形的斜邊拼在一起，如果將相同的直角邊拼在一起，會拼成什么圖形呢？（學生思考后操作，如圖{13}）

生5：拼成的是平行四邊形。

師：平行四邊形的面積和三角形的面積有什么關系？

生6：平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，三角形的面積是平行四邊形的一半。

師：平行四邊形的面積怎么求？

生7：平行四邊形的面積=底×高。

師：平行四邊形的底等于三角形的什么，高等于三角形的什么？

生8：平行四邊形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。

師：那三角形的面積可以怎么求呢？

生9：三角形的面積=底×高÷2。

師：為什么要除以2呢？

生10：因為是用兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形。

2.師：我們剛才研究的是兩個完全一樣的直角三角形拼成的平行四邊形，所以拼成的長方形也是特殊的平行四邊形。三角形按角分類，除了直角三角形外，還有什么三角形？

生11：還有銳角三角形和鈍角三角形。

師：請男生用兩個完全一樣的銳角三角形拼一拼，請女生用兩個完全一樣的鈍角三角形拼一拼，看看能拼成什么圖形。（學生動手操作）

……

關于“今天”的建構

以往以長方形為教學起點，引導學生初步探索三角形面積計算的過程，學生充其量只是表層意義上的學會，并沒有通過大量的感性經歷實現知識的整體建構。加之小學生的思維以具體形象思維為主，知識的整體建構需要操作經驗來支撐。因此，我讓學生分組操作銳角三角形和鈍角三角形，全方位感受各種三角形面積計算公式的殊途同歸。學生在將直角三角形拼成平行四邊形中受到啟發，學會了動手操作的方法，后面銳角三角形、鈍角三角形的拼擺也就順理成章，實現了數學思維的順延。這樣全面關注各種三角形的教學，能幫助學生形成相互聯系、全面系統的認知脈絡。

布盧姆在《教育過程》中說過：“獲得的知識如果沒有完整的結構把它們連在一起，那是一種多半會遺忘的知識，而一連串不連貫的知識在記憶中僅有短得可憐的壽命。”我們知道，教學過程中知識的傳授是逐步進行的，學生對所學新知的認識往往是片面的、孤立的。因此，教師教學時必須將注意點放在教學內容的整體把握上，引導學生進行整體的思維建構。

三、“明天”：“你到哪里去？”——展望知識未來，貫通進入拓展延伸區

1.師（出示下圖）：將三角形從高的一半處剪開，并把剪開的小三角形旋轉拼補，形成了什么圖形？

生12：平行四邊形。

師：平行四邊形的面積和三角形的面積有什么關系？

生13：平行四邊形的面積和三角形的面積相等。

師：這時，平行四邊形的底等于三角形的什么，高等于三角形的什么？

生14：平行四邊形的底等于三角形的底，高等于三角形高的一半。

師：三角形的面積可以怎么求？

生15：三角形的面積等于底乘高的一半。

2.師：將上面平行四邊形中的陰影部分除去，剩下的空白部分是什么圖形？

生：梯形。

師：怎么推導梯形的面積計算公式呢？我們可以借鑒三角形的面積公式推導方法，請同學們回去預習一下。

……

關于“明天”的延伸

從學生的學習角度來看，數學學習應該是思維過程和結果的完整結合。因此，教師在教學中應努力創造條件和機會，讓學生通過手、口、腦等感官的協同運作，親歷知識的再創造和再發現的過程。如上述教學中，三角形到平行四邊形的轉化，立足學生剛剛形成的認知經驗和知識結構，引導學生完成對已有知識結構的拓展延伸、優化重組。

著名數學家G·波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的規律、性質、聯系。”如上述教學中關于梯形面積的預習要求，則給學生提供了再次利用已獲得的經驗方法去尋找事物的共同特征和本質規律的機會，使學生在一次次的探索活動中，將好奇心和求知欲轉化為濃厚的數學學習興趣。

總之，整體思維是指從學習者已有的生活經驗和知識背景出發，以全面、聯系、發展的觀點來整體處理教學內容，了解數學知識的“昨天”“今天”和“明天”，把握教學內容“過去”“現在”和“未來”，靈活地把握各種教學關系的動態平衡，創新地組織教學，實現最優化實施教材和最大化發展學生的目標。我在平時的教學中發現，當學生進行有效的整體思維時，得到的是整個經驗和情感的支持，調動了思維的主觀積極性。可以肯定地講，具有整體思維風格的人，必然具有較強的創新意識和全局意識。

（責編 杜 華）