XFEM在高壓管道裂紋擴展計算中的應用

摘要： 介紹XFEM的基本理論，針對常規有限元計算困難的三維裂紋，運用XFEM完成三維高壓管道中的裂紋擴展計算.根據管道裂紋擴展的計算結果，總結得到管道裂紋擴展的規律，得到徑向裂紋比軸向裂紋更嚴重的結論.

關鍵詞： 高壓管道； 疲勞； 裂紋擴展； 三維裂紋； 有限元

中圖分類號： U4文獻標志碼： B

Abstract： The basic theory of XFEM is introduced. As to the problem that it is difficult to calculate 3D crack by the normal finite element， XFEM is used to perform the crack propagation calculation on a 3D highpressure pipe. According to the crack propagation calculation results of the pipe， the law of pipe crack propagation is summarized and it is concluded that the crack in radial direction is more critical than that in axial direction.

Key words： highpressure pipe； fatigue； crack propagation； 3D crack； finite element

收稿日期： 2014[KG*9〗05[KG*9〗10修回日期： 2014[KG*9〗10[KG*9〗24

作者簡介： 陳星文（1983—），男，山東青島人，工程師，碩士，研究方向為管道力學，（Email）chxw@snerdi.com.cn0引言

在用有限元法處理工程問題時，由于常規有限元法的位移函數是連續函數，所以利用常規有限元法所建立的單元其內部位移必須是連續的.因此，常規有限元法在處理如裂紋這類不連續問題時，必須把裂紋面作為單元邊界面，裂紋尖端作為為單元的節點.

在裂紋尖端附近區域，應力集中使其應力急劇變化.常規有限元法的位移函數是多項式，在裂紋尖端的網格劃分中，若多項式的次數不變，要模擬裂紋尖端附近應力的急劇變化，使有限元解逼近于精確解，則必須將單元尺寸劃分得非常小.另外，如果單元尺寸不變，可通過增加多項式的次數來反映裂紋尖端單元的應力變化.實踐證明，在處理裂紋尖端應力集中這類問題時，高次多項式的逼近性能非常差，求解結果不能滿足精度要求.[1]

在模擬裂紋擴展問題上，常規有限元顯得更加無能為力，由于必須把裂紋面設置為單元界面，裂紋尖端設置成單元節點[12]，因此當裂紋擴展后，就必須對結構重新劃分網格，而由于裂紋尖端存在應力集中，網格必須細化，所以會極大地增加計算量，對于一些復雜結構問題甚至無法實現.

由于常規有限元法在計算裂紋問題上存在上述缺陷，1996年德克薩斯大學教授MELENK等[3]提出單位分解概念，通過單位分解，擴大有限元形函數的形式，使得不連續函數和非多項式函數可以添加到有限元的位移函數中，使得許多在相關問題上逼近性很強的函數可以用于有限元單元位移函數，從而使有限元的計算變得簡潔，結果更加精確.1999年，以BELYTSCHKO為首的美國西北大學力學研究組提出XFEM理論：在單位分解法的基礎上改變常規有限元的位移函數.[45]其在常規有限元位移函數的基礎上加上裂紋尖端位移函數因子，[68]從而無須將網格在裂紋尖端細化就可以準確地逼近結構的精確解.而且，XFEM不需要將結構內部存在的幾何或物理界面作為網格劃分的邊界[9]，其所使用的網格可以與結構內部的形狀特點無關.這樣，在裂紋擴展的過程中就不需要對結構重新進行網格劃分，為裂紋擴展計算提供可行性和便捷性.

1XFEM基本理論

1.1裂紋界面位移改進函數

在常規有限元中，單元位移函數通常表示為u=Niui

v=Nivi

w=Niwi（1）式中：ui，vi和wi為節點i的位移；Ni為結構的形函數.

由于常規有限元的單元位移函數是連續函數，因此對結構進行網格劃分時裂紋面必須作為單元的邊界，以保證有限元單元內部位移的連續性.對于帶裂紋的平板（圖1），按常規有限元方法，在不考慮裂紋尖端應力集中的情況下，網格劃分見圖2.

按圖2的網格，結構內任意點的位移可表示為u=10i=1Niui（2）令a=u9+u102，b=u10-u92，N11=N9+N10，u11=a，代入式（2），得u=8i=1Niui+N11u11+bN11H（x）（3）式中：H（x）稱為跳躍函數，H（x）=1，y>0

-1，y<0 .

式（3）右端前2項即為常規有限元的位移函數，最后一項跳躍函數則代表單元內不連續區域的存在.式（3）說明圖2所示的單元形函數可由圖3所示的有限元單元形函數和一個代表裂紋的單元內不連續函數組成.這樣，在求解含裂紋的結構時，只需改進包含裂紋的單元的位移函數，即在單元位移函數上添加跳躍函數bN11H（x），就無須再將裂紋面設置為單元的邊界面，卻依然可以得到足夠精確的解.[3]

1.2裂紋尖端位移函數

處理裂紋尖端應力集中問題時，根據單位分解法[3]，可以將裂紋尖端所在單元的節點自由度加強，即在常規有限元位移函數上加上已知的裂紋尖端漸近位移函數，從而能夠在不細化網格的前提下，仍然能在裂紋尖端單元內得到精確、連續、光滑的解.

裂紋尖端漸近位移函數為u=Mm=1αmψm（4）式中：αm為漸近函數權重值；ψm為裂紋尖端位移函數；M為裂紋尖端位移函數所包含的函數總個數.[5]

裂紋尖端位移函數ψm為已知的漸近位移函數場，能夠精確反應裂紋尖端附近區域的位移場.文獻[6]給出各向同性彈性體的裂紋尖端漸近位移函數為

式中：θ和r是以裂紋尖端為原點的極坐標的2個坐標參數，θ=0的方向平行于裂紋面.對于各向同性彈性體材料，無論其承受何種載荷，其裂紋尖端的位移場均可用式（5）的4個函數表示.對于各向異性彈塑性材料或復合材料，裂紋尖端位移改進函數還需進一步研究.

1.3最終的單元位移函數

對于存在任意裂紋的結構體，裂紋界面位移函數和裂紋尖端位移函數都必須添加到結構的單元位移函數中，才能正確模擬結構的裂紋.綜合式（2）和（3）可得含任意裂紋結構的改進位移函數為

式中：I為結構整個區域上的節點；J為裂紋經過單元但不包括裂紋尖端單元上的節點；k1和k2為裂紋尖端單元上的節點.裂紋尖端單元內的節點不需要添加裂紋界面位移函數，因為裂紋尖端位移函數給出的是裂紋尖端所在單元區域精確的位移場，所以不需要再模擬裂紋界面的存在.含任意裂紋平面板上需加強的節點示意圖見圖4，圖中圓圈標注的節點為需要增添裂紋界面位移函數的節點，四邊形標注的節點為需要增添裂紋尖端位移函數的節點.

2計算實例

通過一個簡單的實例證明XFEM在裂紋擴展計算上的準確性.一個1 m×1 m各向同性的薄板見圖5.薄板中包含一個水平裂紋，一端垂向簡支，一端施加均勻拉力；另外，為防止結構在變形中存在水平轉動，在薄板的水平方向施加旋轉約束.薄板均勻拉力為σ=2.0×109 Pa，彈性模量為E=2.1×1011 Pa，泊松比為0.3，板中初始裂紋長度為0.3 m.

2.1XFEM求解裂紋的擴展

利用XFEM求解裂紋的擴展，其網格劃分可以不考慮其內部裂紋面，只需將裂紋附近的單元位移函數按XFEM改進即可，薄板的網格劃分見圖6.

薄板裂紋破壞準則采用最大主應力準則[7]，假定當板中第一主應力達到84.4 MPa（此數據可任意假定，不影響裂紋的擴展路徑）時，裂紋開始擴展，計算得到薄板裂紋擴展的路徑見圖7.

2.2用應力強度因子K1和K2求解裂紋的擴展

用一個簡單但繁瑣的方法證明XFEM在裂紋擴展計算上的準確性.針對第2.1節中的薄板，采用常規有限元法模擬薄板中裂紋的存在，細化裂紋尖端網格，可以得到裂紋尖端的應力強度因子.[10]根據文獻[8]，對于均勻的各項同性線彈性材料，可以用應力強度因子求出板中裂紋的擴展方向θ=cos-13K22+K41+8K21K22K21+9K22（7）式中：θ是從裂紋初始認定擴展方向q逆時針轉向裂紋法線的度數.裂紋初始認定擴展方向為與裂紋尖端處裂紋面平行且遠離裂紋的方向.

對此例中1 m×1 m的薄板采用線性擴展方法，使裂紋沿θ方向擴展5 cm的長度，然后再對此時的薄板重新劃分網格，細化裂紋尖端，再求出此時薄板的裂紋擴展方向，以此反復可求出薄板裂紋最終的擴展路徑.

經16步迭代，最終求出薄板裂紋的擴展路徑.其中第2步和第8步的薄板網格劃分見圖8和9.比較圖8與圖6的網格劃分，可知XFEM在處理含裂紋結構問題上的簡潔性.

a）路徑b）網格最終得到的薄板裂紋擴展路徑見圖10.比較圖10與圖7，可以看出裂紋擴展路徑基本一致.

3XFEM在管道裂紋擴展計算中的應用將XFEM應用到三維高壓管道模型計算中.為更好地觀察裂紋擴展，采用較大壁厚的管道.設管道的外徑為60 mm，內徑為20 mm，長度為90 mm，其彈性模量為E=2.1×1011 Pa，泊松比為0.3.管道包含任一裂紋，管道內表面受徑向均勻壓力.管道兩端邊界條件為固支.破壞準則采用最大主應力準則，當最大主應力達到84.4 MPa時，裂紋開始擴展.其三維模型見圖11.

針對上述管道模型，內表面任意初始軸向表面裂紋的管道裂紋擴展結果見圖12，外表面任意初始軸向表面裂紋的裂紋擴展結果見圖13，內部有1個初始環向深埋裂紋的裂紋擴展結果見圖14.

對于內表面受均勻徑向壓力的管道，通過對包含各種不同裂紋面的管道的斷裂計算，根據其裂紋擴展路徑，得到以下規律.

1）裂紋初始擴展總是從裂紋面沿管道徑向向管道內表面擴展，在裂紋穿透內表面后，再沿軸向和徑向向外表面方向同時擴展，最終穿透外壁.

2）根據裂紋的擴展路徑和管道的受力分析，同等長度的徑向裂紋比軸向裂紋對管道的承載能力影響更大，這也符合內表面均勻受壓管道的受力特性.因為相對于拉力平行于裂紋長度方向，拉力垂直于裂紋長度方向時裂紋面更容易發生斷裂擴展破壞.

4結論

1）對于裂紋疲勞擴展問題，由于采用XFEM，結構在裂紋擴展后不需要重新劃分網格.因此，XFEM在模擬裂紋的疲勞擴展問題上具有很大的優勢，特別是當結構模型非常復雜時，其優勢更明顯.

2）給出各向同性線彈性材料的裂紋尖端位移改進函數，而對于非各向同性、非線性的材料或者復合材料，其裂紋尖端位移改進函數仍需要進一步的研究，以使XFEM可以應用到更多的領域.

3）由于XFEM可提高有限元在處理不連續問題上的準確性和便捷性，所以其在復雜流體、復雜傳熱、相變和流固耦合等復雜不連續和多項介質耦合中的應用可以進行更多研究.參考文獻：

[1]朱伯芳. 有限單元法原理與應用[M]. 2版. 北京： 中國水利水電出版社， 1998： 11.

[2]丁隧棟. 斷裂力學[M]. 8版. 北京： 機械工業出版社， 1997： 21.

[3]MELENK J M， BUBSKA I.The partition of the unity finite element method：basic theory and applications[J]. Comput Methods Appl Mech & Eng， 1996， 139（14）： 289314.

[4]MOES N， DOLBOW J， BELYTSCHKO T. A finite element method for crack growth without remeshing[J]. Int J Numer Methods Eng， 1999， 46： 131150.

[5]BELYTSCHKO T， BLACK T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing[J]. INT J Numer Methods Eng， 1999， 45（5）： 601620.

[6]FLEMING M， CHU Y A， MORAN B， et al.Enriched elementfree Galerkin methods for crack tip fields[J]. Int J Numer Methods Eng， 1997， 40： 14831504.

[7]MAITI S K， SMITH R A. Comparison of the criteria for mixed mode brittle fracture based on the preinstability stressstrain field， part I： slit and elliptical cracks under uniaxial tensile loading[J]. Int J Fracture， 1983， 23（4）： 281295.

[8]ERDOGAN F， SIH G C. On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear[J]. J Basic Eng， 1963， 85（4）： 519527.

[9]李錄賢， 王鐵軍. 擴展有限元法（XFEM）及其應用[J]. 力學進展， 2005， 35（1）： 520.

LI Luxian， WANG Tiejun. Extended finite element method and its applications[J]. Adv Mech， 2005， 35（1）： 520.

[10]中國航空研究院. 應力強度因子手冊[M]. 北京： 科學出版社， 1993： 11.