線性算子有界性的特征刻畫

文生蘭，韓藝兵(信息工程大學理學院，鄭州450001)

線性算子有界性的特征刻畫

文生蘭，韓藝兵
(信息工程大學理學院，鄭州450001)

古典分析中的函數概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關系。現代數學的發展卻要求建立兩個任意集合之間的某種對應關系，即算子。算子是泛函分析中最重要的概念之一，研究算子的有界性是分析理論關注的首要問題，本文證明了關于線性算子有界性的一些等價命題。

有界線性算子;賦范線性空間;強弱收斂點列

算子與經典數學中的函數、映射是一回事。通常將兩個空間之間的對應關系稱為算子，它在微分方程、積分方程和工程技術領域有很廣泛的應用。了解有界線性算子的特征，對進一步開展理論和應用研究有很大作用。在判斷算子的有界性時，僅通過定義有時是很復雜甚至是行不通的，本文給出了判斷算子有界性的一些簡便且有效的方法。

1　預備知識

定義2設X、Y是同一數域K上的賦范線性空間，D是X的線性子空間，T是D到Y的有界線性算子，則稱

為算子T的范數。

引理1X、Y是同一數域K上的賦范線性空間，D是X的線性子空間，T是D到Y的線性算子，則T的范數可表示為

證明參看文獻［1］。

引理2T:X→Y是線性賦范空間X到Y的線性算子，則下面命題等價

(1)T是有界線性算子;

(2)T是連續線性算子;

(3)存在x0∈T，使T在x0處連續;

(5)若{xn}?X，xn→x0，則T(xn)→T(x0)。

2　主要結果

定理1設X和Y都是賦范線性空間，T是X到Y的線性算子。假如?g∈Y*，h(x)=g(Tx)是X上的有界線性泛函，則T是X到Y的有界線性算子。

證明?x∈X，記Fx∈X＊＊為x在自然映射下的像，則對x∈B(0，1)

由共鳴定理知，T是X到Y的有界線性算子。

定理2設X、Y是賦范線性空間，T是X到Y的線性算子，則下列三個命題等價:

(1)T是X到Y的有界線性算子;

(2)T把X中的弱收斂點列映射為到Y中的弱收斂點列;

(3)T把X中的收斂點列映射為Y中的弱收斂點列。

證明(1)?(2):設在X中{xn}弱收斂于x，即對任何f∈X*，有f(xn)→f(x)。

又設g∈Y*，則T*g∈X*，所以T*g(xn)→T*g (x)，即g(Txn)→g(Tx)，Txn弱收斂于Tx在Y中。

(2)?(3):由于強收斂點列一定是弱收斂的，所以由(2)顯然得(3)。

(3)?(1):設{xn}強收斂于點x在X中，且?g∈Y*，g(Txn)弱收斂于g(Tx)，即g在Tx連續，連續即有界，因此?g∈Y*，h(x)=g(Tx)是X上有界線性泛函，由定理1知，T是X到Y的有界線性算子。

3　應用

例設X、Y是兩個賦范線性空間，{Tn}n≥1?B (X，Y)，假如在X中xn→x，而{Tn}n≥1在B(X，Y)中弱收斂于T。證明:Tnxn在Y中弱收斂于Tx。

證明已知Tn是有界線性算子，由定理2知: Tn將X中的(強)收斂點列xn→x映射為Y中的弱收斂點列:Tnxn弱收斂于Tnx。又由于{Tn}n≥1在B (X，Y)中弱收斂于T，即?x∈X，Tnx弱收斂于Tx，從而Tnxn在Y中弱收斂于Tx。

［1］胡國恩，朱月萍，劉宏奎，等．應用泛函分析［M］．西安:西安電子科技大學出版社，2012．

［2］張恭慶，林源渠．泛函分析講義［M］．北京:北京大學出版社，2006．

［3］程其襄，張奠宙，魏國強，等．實變函數與泛函分析基礎［M］．北京:高等教育出版社，2001．

［4］夏道行，吳卓人，嚴紹宗，等．實變函數論與泛函分析［M］．北京:高等教育出版社，2010．

(責任編輯趙冰)

Characteristics of Depicting the Bounded Linear Operator

WEN Sheng－lan，HAN Yi－bing
(College of Science，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China)

Function in the classical analysis is established between two data sets．The development of modern mathematics needs to set up a corresponding relationship between two arbitrary collections，namely，operator．Operator is one of the most important concepts in functional analysis．The boundedness of the operator is a primary issue in the theory of analysis．This article gets some equivalent propositions about the boundedness of the linear operator．

bounded linear operator;normed linear space;strong and weak convergence sequence

10．13783/j．cnki．cn41－1275/g4．2015．01．030

O177

A

1008－3715(2015)01－0127－02

2014－10－21

文生蘭(1981—)，女，河南南陽人，信息工程大學理學院講師，主要從事偏微分方程研究。