三維Minkowski空間中的類光軸旋轉(zhuǎn)曲面*

金明浩，范廣慧，陳 亮，趙廣宇，符建華

(1.黑龍江工程學(xué)院;2.東北師范大學(xué);3.長春理工大學(xué);4.哈爾濱商業(yè)大學(xué))

0 引言

自1970年提出子流形上的有限型浸入概念之后，得到了迅速的發(fā)展［1-3］.M是m維歐氏空間Rm上的子流形，設(shè)等距浸入映射φ:M→Rm是有限型浸入，當(dāng)且僅當(dāng)φ作為M上的位置向量場能表示為M上的拉普拉斯算子Δ的有限個特征值的和，Chen B Y將流形的有限型浸入概念推廣到流形的微分映射中［2］，特別是給出流形上高斯映射的有限型概念［3］.在該文中主要討論了1型高斯映射情形.

設(shè)歐氏空間R3中流形M具有1型高斯映射G，當(dāng)且僅當(dāng)G滿足

其中λ∈R，C是向量.然而有一些曲面，如R3中的圓錐面、懸鏈面、螺旋面，滿足如下等式［4-5］

其中φ是M上的函數(shù).事實上，曲面M滿足(2)，當(dāng)且僅當(dāng)M具有逐點1型高斯映射.

在文獻(xiàn)［6-7］中研究了三維Minkowski空間中具有逐點1型高斯映射的非類光軸旋轉(zhuǎn)曲面，而在該文中將討論三維Minkowski空間中具有逐點1型高斯映射的類光軸旋轉(zhuǎn)曲面，并給出了類光軸旋轉(zhuǎn)曲面在逐點1型條件下的分類.

1 基本概念

設(shè)R31是三維Minkowski空間，對于任意兩個向量x=(x1，y1，z1)，y=(x2，y2，z2)∈R31，定義兩個運(yùn)算

和

并分別稱它們?yōu)閮蓚€向量的偽內(nèi)積和偽向量積.

設(shè)x∈是非零向量，若〈x，y〉＞0，〈x，y〉=0或〈x，y〉＜0，則分別稱x為類空向量，類光向量或類時向量.x的模定義為 ‖x‖ =z(t))是中正則曲線，Ⅰ是R中開區(qū)間，如果〈γ'，γ'〉＞0，〈γ'，γ'〉=0 或〈γ'，γ'〉＜0，則稱γ(t)分別為類空曲線，類光曲線或類時曲線.記稱為二維desitter空間H2(-1)={x∈=1}稱為二維Hyperbolic空間.

設(shè)M是中的連通曲面，則高斯映射G將M上的每一點映成該點處的單位法向量，當(dāng)M是類空時，它的高斯映射是，當(dāng)M是類時，它的高斯映射是G:M→H2(-1).g=(gij)是M上度量構(gòu)成的矩陣，g-1=g(ij)和Γ =detg分別表示g的逆矩陣和行列式，Δ是M的第一基本形式誘導(dǎo)下的拉普拉斯算子，具體表示如下

其中f(u)，g(u)是光滑函數(shù)，h(u)=f(u)-g(u)≠0.

該文中若無特別說明時，函數(shù)均是光滑的，旋轉(zhuǎn)曲面均指類光軸旋轉(zhuǎn)曲面.

引理1.1 若旋轉(zhuǎn)曲面具有逐點1型高斯映射，則(2)式中的φ只依賴于u，并且向量C平行于向量(1，1，0).

證明 依如上，選取旋轉(zhuǎn)曲面M的表達(dá)式為

其中母線 γ =(f(u)，g(u)，0)，h(u)=f(u)-g(u)≠0.γ是正則曲線，即-f'2+g'2≠0，這意味著對任意γ∈Ⅰ有

可選取適當(dāng)參數(shù)ω使得-2ω=f(ω)-g(ω)，其中u=h-1(-2ω).不失一般性，可以令h(u)=-2u，則存在函數(shù)k(u)=f(u)+u=g(u)-u，使曲面M的表達(dá)式變?yōu)?/p>

通過計算得

當(dāng)k'＞0，u＞0時，有

算子作用于高斯映射得出的分量記為((VG)1，(VG)2，(VG)3)，則通過(2)式得出

其中C=(c1，c2，c3)通過計算(5)～(6)得

再由(7)整理得

(8)和(9)式說明了φ只與變量u有關(guān)，并且c1=c2，c3=0.意味著向量C平行于向量(1，1，0)，證畢.

2 第一類逐點1型高斯映射的類光軸旋轉(zhuǎn)曲面

證明 同樣選取(3)式表達(dá)式，與引理2.1類似的計算得

通過消去φ整理得

不失一般性，取γ為弧長參數(shù)，即f'2-g'2=-1.則存在光滑的中間變量函數(shù)t=t(u)，使得

另一方面，通過曲面的平均曲率公式

其中h=f-g≠0，因此平均曲率H為常數(shù).當(dāng)f'2-g'2=1時，同理可證.

通過引理1.1中的分析，可選取適當(dāng)參數(shù)使M表示為如下

此時給出當(dāng)k(u)是多項式函數(shù)(有理函數(shù))時，稱曲面M是多項式(有理)旋轉(zhuǎn)曲面，則有如下定理.

證明 由平均曲率是常數(shù)，易得出

其中α是常數(shù)，并且k'＞0，u＞0，而上式是伯努利方程，通過求解得

其中a是常數(shù).下面對上述解k(u)分情況討論.

假設(shè)α=0，則此解為，其中b是常數(shù).此時M是多項式旋轉(zhuǎn)曲面且由文獻(xiàn)［2］中的定理1.1，M是二類Enneper曲面.

這說明曲面M是以B為中心的半徑為的Hyperbolic偽球.

假設(shè)αa≠0，則k(u)是無理函數(shù)，不符合題意.

同理當(dāng)k'(u)＜0時，滿足條件的多項式和有理旋轉(zhuǎn)曲面分別是二類 Enneper曲面和Hyperbolic偽球，證畢.

3 第二類逐點1型高斯映射的類光軸旋轉(zhuǎn)曲面

證明 設(shè)M是具有第二類逐點1型高斯的有理旋轉(zhuǎn)曲面，即M滿足

其中φ是M上的函數(shù)，C=(c，c，0)，c≠0.由(8)易得

將(9)代入(5)并取C=(c，c，0)，則有

因為k是有理函數(shù)，k'和均是有理函數(shù)，因此(17)式可寫為

因為Q是有理函數(shù)，不妨假設(shè)，其中p和q是互質(zhì)的多項式函數(shù).

假設(shè)，q(z)=azm，a是非零常數(shù)，m≥1令p(z)=zk+a1zk-1+…+ak.因為(p，q)=1，ak≠0，Q(z)在0點的可展開成如下

則(18)式左端最小次數(shù)是3m，右端最小次數(shù)是2m，而m≥1，因此右端2m次項的系數(shù)必為零，即

得到矛盾，因此m=0且

假設(shè)，degp=k≥ 1.則存在實數(shù) α1，α2，…，αk使得p(z)=(z-α1)(z-α2)…(z-αk).因此有

因此Q(z)可寫成

其中r＞0.將(19)式帶入(18)，再比較的次數(shù)同樣得到如下等式

矛盾.

以上說明(18)式不成立，因此Q(z)=0，即k'=0，這與M的正則性矛盾，證畢.

［1］ Ruh E A，Vilms J.The tension field of the Gauss map［J］.Trans Amer Math Soc，1970，149:569-573.

［2］ Chen B Y.Total Mean Curvature and Submanifolds of Finite Type.Series in Pure Mathematics，1.World Scientific Publishing Co，Singapore，1984.

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［4］ Chen B Y，Choi M，Kim Y H.Surfaces of Revolution with pointwise 1-type Gauss map［J］.Korean J Math Soc，2005，42(3):447-455.

［5］ Choi M，Kim D S，Kim Y H.Helicoideal Surfaces with pointwise 1-type Guss map［J］.J Korean Math Soc，2009，46(1):215-223.

［6］ 金明浩，裴東河.三維Minkowski空間中具有逐點1型高斯映射的時間軸旋轉(zhuǎn)曲面［J］.山東大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2013，48(2):57-62.

［7］ 金明浩，裴東河.三維Minkowski空間中類空軸旋轉(zhuǎn)曲面的分類［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2013，43(5):257-264.