淺談應用洛比達法則求不定式極限

康佳鑫

(哈爾濱師范大學)

0 引言

學習數列極限和函數極限時，遇到過無窮小(大)量之比的極限，由于這種極限可能存在，也可能不存在，所以這個問題就需要一種獨特方法即洛比達法則來解決.弄清不定式極限的理論與方法是極其重要的.

1 基本概念

把兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限統稱為不定式極限，分別記作型或型的不定式極限.現在將以導數為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛比達法則或羅畢塔法則.

2 理論依據

定理1(洛比達法則)若函數f(x)和函數g(x)滿足:

②在點x0的某空心鄰域u0(x0)內兩者都可導，且g'(x)≠0

定理2(洛比達法則)若函數f(x)和函數g(x)滿足:

②在點x0的某空心鄰域u0+(x0)內兩者都可導，且g'(x)≠0，

若將以上兩定理中x→x0換成，只要相應地修正條件也可得到同樣的結論.此定理利用柯西中值定理來證明，在此，筆者就不一一贅述了，證明過程詳見文獻［1］.

3 應用時注意事項及技巧

求極限的每種方法都有其自身的優越性與局限性，在使用洛比達法則時必須注意以下幾點:

注1 不能對任何比式極限都按洛比達法則來求解.首先必須注意它是不是不定式極限;其次是觀察它是否滿足洛比達法則的其它條件.

下面這個簡單的極限

就會因右式的極限不存在而推出原式的極限不存在這個錯誤的結論.

注3 使用洛比達法則之后，題目應變的相對簡單了，如果越變越難或者沒有變化，說明該題不適此法.

那么這個極限就不適合用洛比達法則，正確做法是:

注4 如果f'，g'，f″，g″滿足相應的條件，可以再次使用洛比達法則.

解:容易檢驗f(x)=1+cosx與g(x)=tan2x在x0=π的鄰域里滿足定理1的條件①和②，又因

故由洛比達法則求得

在使用洛比達法則時，如果能與其它求極限的方法有效結合運用會收到事半功倍的效果.如，結合四則運算法則，迫斂性，重要極限，等價無窮小量替換等方法.

解:利用ln(1+x2)～x2(x→0)，則得原式=

在利用洛比達法則求極限時，為使計算更加快捷減少運算中的諸多不便，可用適當的代換，簡記為換元法.

4 其他類型不定式極限

(i)“0·∞”型:通常無窮大都寫成無窮小的倒數形式:

(ii)“∞-∞”型:由(i)中形式知

這樣就把“∞-∞”型化成“”型或“”型.

(iii)“00”“1∞”“∞0”型:對 于 冪 指 函 數，這樣就把冪指函數的極限化成指數函數的極限，由于指數函數是連續函數，可以先求出指數位置函數的極限.而指數位置的函數變成“0·∞”型未定式，就回到(i)的情況了.

并應用洛比達法則得到:

注意:此題型出現lnx，一般進行恒等變形時通常都把它放在分子上.

解 這是一個∞-∞ 型不定式極限，化簡并通分后化為型的極限.

解 這是一個00型的不定式極限，按上例變形的方法，先求型的極限，

當k=0時上面的結果仍成立.

解 這是一個1∞型的不定式極限，作恒等變形

解 這是一個∞0型的不定式極限，類似地，先求其對數的極限型)

最后指出，對于數列的不定式極限，可利用函數極限的歸結原則，通過先求相應形式的函數極限而得到結果.

使用洛比達法則必須要強調的是:

(1)每次在使用洛比達法則之前，務必考查它是否屬于不定式極限，否則不能用.

(2)一旦用洛比達法則算不出結果，不等于極限不存在.

(3)應用洛比達法則求極限時，經常與結合求極限的其它方法使用.

5 復平面上的推廣

復變函數中的一些概念和結論都是實函數中相應概念的推廣，那么對實變函數中“不定式”的分析可以利用洛比達法則，那么對復變函數中的“不定式”是否有相應的洛比達法則?答案是肯定的.現將復變函數中的洛比達法則簡單歸結如下，留給讀者體會與思考:

定理3(洛比達法則)若f(z)與g(z)在點z0解析，且f(z0)=g(z0)=0，g(z0)≠0，則

注意:洛比達法則推廣到復平面上是成立的，但條件與實數集中洛比達法則的條件有變化.利用給出的洛比達法則可以更方便的求解復變函數的某些類型極限以及判定解析函數孤立奇點的類型等問題.

洛比達法則這個方法是在數學分析里求解不定式極限的重要方法.在做求解極限的題目時，僅僅掌握這個方法是不夠的，極限計算的方法靈活多樣，但也具有一定的規律性，只要掌握好極限理論，多做練習就能夠得到一些解題的規律，增強解題的能力.但做題時必須要細心分析仔細甄選，選擇出適當的方法.這樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果.這就要求學習者要吃透其精髓，明了其道理，體會出做題的竅門.達到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結，日積月累，定會熟能生巧，在做題時得心應手.

［1］ 華東師范大學數學系.數學分析:上冊第四版［M］.北京:高等教育出版社.

［2］ 張天德，韓振來.數學分析輔導及習題精解［M］.延吉:延邊大學出版社，2011.7.

［3］ 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法:第二版［M］.北京:高等教育出版社，2006(4).

［4］ 鐘玉泉.復變函數論:第三版［M］.北京:高等教育出版社.