二次Arnold變換圖像置亂加密算法

邢 坤

(東北林業(yè)大學)

0 引言

圖像作為人類認識和描述世界的一種基本方法，應用非常廣泛.隨著網(wǎng)絡通信技術(shù)和云存儲技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字圖像在網(wǎng)絡通信中所占的比例越來越大，要保證圖像信息在網(wǎng)絡節(jié)點中安全傳輸，需要尋求安全有效的圖像加密技術(shù).

圖像置亂是通過某種變換算法使一幅原始數(shù)字圖像變成一幅雜亂無章的加密圖像，使其真實信息無法直觀的獲取，從而達到保密原始圖像的效果，是一種常用的圖像加密的方式.

現(xiàn)在已經(jīng)總結(jié)的圖像置亂方案可以分三類［1-7］:(1)基于位置空間的之亂算法;(2)基于色彩空間的置亂算法;(3)基于位置和色彩空間的置亂算法.

在各種圖像置亂算法中，Arnold變換具有算法簡單、置亂效果顯著并且具有周期性特點，廣泛的被應用在數(shù)字水印方面，同樣也適用于圖像信息加密方面［8］.該文采用Arnold變換二次置亂圖像加密算法，該算法首先將圖片應用Arnold變換進行加密，再從均勻分塊的角度出發(fā)，先將塊的位置打亂后，把分塊圖像合并，最后再對其應用Arnold變換進行加密，從而得到加密圖像.

1 Arnold變換

Arnold變換是V.J.Arnold在遍歷理論的研究中提出的一種變換，俗稱貓臉變換(Cat Mapping)［9-10］，假設在平面上的單位正方形內(nèi)繪制一個貓臉圖像，通過如下變換:

這個貓臉圖像會由清晰變?yōu)槟：@就是Arnold變換.但當具體到數(shù)字圖像上，需要將式(1)中的二維Arnold變換改寫為:

其中，(x，y)是像素在原圖像中的坐標，(x＇，y＇)是變換后該像素在新圖像中的坐標，N是圖像矩陣的階數(shù)，即圖像的大小，一般指正方形圖像.

當對一幅圖像進行Arnold變換時，就是把圖像的像素點位置按照式(2)進行移動，得到一個相對原圖像混亂的圖像.對一幅圖像進行一次Arnold變換，就相當于對該圖像進行了一次置亂.通常這一過程需要反復迭代多次才能達到滿意的效果.

利用Arnold變換對圖像進行置亂，使有意義的數(shù)字圖像變成像白噪聲一樣的無意義的圖像，實現(xiàn)了信息的初步隱藏，并且置亂次數(shù)可以為水印系統(tǒng)提供密鑰，從而增強了系統(tǒng)的安全性和保密性［11］.

Arnold變換可以看作是拉伸、壓縮、折疊及拼接的過程.由于離散數(shù)字圖像是有限點集，這種反復變換的結(jié)果，開始階段圖片中像素點的位置變化會出現(xiàn)相當程度的混亂，但是有限點集的重復迭代在本質(zhì)上是有周期的，因而系統(tǒng)在經(jīng)過有限次迭代后出現(xiàn)回復的現(xiàn)象，即所謂的龐加萊回復性.也就是說對圖像反復的進行Arnold變換，迭代到一定的步數(shù)時，必然會恢復到原圖，即Arnold變換具有周期性(見表1).但是，Arnold變換的周期性與圖像大小有關(guān)，并不成正比［12］.

表1 不同階數(shù)(N)下Arnold變換的周期(TN)

2 二次Arnold變換圖像置亂加密

2.1 一次Arnold變換圖像置亂加密

對圖像反復進行多次Arnold變換，實際上是一種點的位置移動，并且這種變換是一一對應的，是純粹的像素位置的移動.加密圖像中的像素值沒有改變，改變的只是他們的位置，而它的灰度分布概率是完全相同的.

2.2 圖像分塊和圖像塊的置亂

對于一幅像素為mn×mn的原始圖像，將其均勻分成n×n個像素為m×m的圖像塊，可以用如下矩陣表示:

其中Aij為m×m矩陣，i，j=1，2，…，n.在傳統(tǒng)圖象變換的基礎上，可以考慮將每個分塊作為整體進行變換.令X表示實數(shù)域上m階方陣構(gòu)成的向量空間， 考慮乘積向量空間P=則上述變換可以看作從P到自身的算子T:P→P.在這類算子中常見的是分塊陣的初等變換［13］.為表述方便，作如下定義:

(i)將第i個塊的行(列)左(右)乘某一個可逆陣，稱為一次第一類分塊行(列)初等變換，記為算子T1.

(ii)將第i個塊的行(列)與將第j個塊的行(列)交換，稱為一次第二類分塊行(列)初等變換，記為算子T2.

(iii)將第i個塊的行(列)左(右)乘某一個矩陣加到第j個塊的行(列)上，稱為一次第三類分塊行(列)初等變換，記為算子T3.

2.3 二次Arnold變換圖像置亂加密

先對圖像進行分塊，對圖像塊進行初等變換后合并出新的圖像，然后對新的圖像按式(2)做Arnold位置置亂，從而得到雜亂無章的加密圖像.

二次Arnold變換圖像置亂加密過程如圖1所示.

圖1 圖像加密算法流程

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證該文算法的有效性，將二次Arnold變換圖像置亂算法與傳統(tǒng)的Arnold變換圖像置亂算法進行比較實驗分析，利用Matlab7.10.0進行仿真處理.為了讓比較和評價更加具有實際意義，選用的測試圖像為實際圖像，每一個圖像都含有明確的目標和背景.圖2～圖7示意了512×512的標準灰度圖像lena以傳統(tǒng)的Arnold變換置亂的效果圖，可以看出傳統(tǒng)的Arnold變換圖像置亂算法是對圖像整體進行位置置亂，需要置亂多次才能達到理想的加密效果，而且當?shù)揭欢ǖ牟綌?shù)就會恢復原圖，加密系統(tǒng)安全性較低.

下面對圖像進行該文所提出的二次Arnold變換圖像置亂算法，如圖8～圖12所示，圖9是對圖像進行2次Arnold變換，也就是整體過程中第一次Arnold變換圖像置亂加密;圖10是對第一次Arnold變換圖像置亂加密后得到的圖進行分塊所得的圖像塊;圖11是將圖像塊進行初等變換后合并出的新圖像;圖12是將合并出的新圖像進行2次Arnold變換，即整體過程中第二次Arnold變換圖像置亂加密.由此可見應用該文的二次Arnold變換圖像置亂算法只要在較少的置亂次數(shù)下就能夠達到理想的加密效果，并且采用了雙密鑰決定置亂次數(shù)，同時也提高了加密系統(tǒng)的安全性.由于Ti(i=1，2，3)可逆，因此解密的過程完全相似.

圖2 原圖

圖3 2次Arnold變換

圖4 4次Arnold變換

圖5 100次Arnold變換

圖6 200次Arnold變換

圖7 384次Arnold變換

圖8 原圖

圖9

圖10

圖11

圖12

接下來將二次Arnold變換圖像置亂算法與傳統(tǒng)的Arnold變換圖像置亂算法進行比較.如圖13～18，圖14是先經(jīng)過2次傳統(tǒng)的Arnold變換然后分塊再經(jīng)過2次傳統(tǒng)的Arnold變換，相當于4次Arnold變換;圖15是先經(jīng)過50次傳統(tǒng)的Arnold變換然后分塊再經(jīng)過50次傳統(tǒng)的Arnold變換，相當于100次Arnold變換，圖16是先經(jīng)過100次傳統(tǒng)的Arnold變換然后分塊再經(jīng)過100次傳統(tǒng)的Arnold變換，相當于200次Arnold變換;圖17是先經(jīng)過192次傳統(tǒng)的Arnold變換然后分塊再經(jīng)過192次傳統(tǒng)的Arnold變換，相當于384次Arnold變換;該圖像是的標準灰度圖像，通過表1可以看出它的周期是384，那么傳統(tǒng)的Arnold變換經(jīng)過384次變換就會使其變?yōu)樵瓐D.圖18是先經(jīng)過384次傳統(tǒng)的Arnold變換然后分塊再經(jīng)過384次傳統(tǒng)的Arnold變換，相當于768次Arnold變換，圖18也再一次驗證了經(jīng)過周期次Arnold變換并沒有回到原圖.由此可見，即便是進行了任意周期次的Arnold變換也不會回到原圖，從而提高了加密系統(tǒng)的安全性.

圖13 原圖

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)的二維Arnold置亂效果較差、效率低等問題，該文提出了二次Arnold變換圖像置亂算法，通過理論分析和實驗證明了該算法有以下優(yōu)點:第一，具有很好的加密效果;第二，不用計算圖像的Arnold變換周期;第三，加密系統(tǒng)具有較高的安全性和效率.該文所提出的算法是一種即實用又有效的圖像加密算法.

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