線性分段連續型隨機微分方程數值解的收斂性和穩定性*

鞏全壹，張 玲，王文麗，趙婷婷，王雅潔

(大慶師范學院)

0 引言與預備知識

隨機微分方程數值解的研究，已有諸多成果，見文獻［1，3，4，6，7］，其中 Higham D J等人［4］給出了隨機微分方程數值解與矩指數穩定.隨機延遲微分方程數值解的研究，可參考文獻［2，5，8，9，10，11］，其中曹婉蓉等人［2］給出了隨機延遲微分方程Euler-Maruyama方法的均方穩定性;毛學榮［11］討論了隨機延遲微分方程Euler-Maruyama方法的指數穩定性.

在該文不做特別的說明，令|x|是歐幾里得范數，(Ω，F，P)是完備的概率空間，并具有滿足通常條件的代數流{Ft}t≥0.

考慮一維的線性分段連續型隨機微分方程

其中B(t)是一維布朗運動過程，［·］表示取整函數.

該方程等價于下面的積分方程

令h=是步長其中整數m≥1并且節點tn被定義為tn=nh，n=0，1，2，…，給出方程(1)的Back-Euler方法，

其中n=1，2，…，并且ΔBn=B(tn+1)-B(tn)，yn是x(tn)的近似解，而yh(［nh］)是x(［nh］)的近似，為了計算簡便，令n=km+l(k=0，1，2，…，l=0，1，2，…，m-1)，因此(3)簡化為下面的格式，

其中 ΔBkm+l=B(tkm+l)-B(tkm+l-1)，ykm+l是x(tkm+l)的近似解，而ykm是x(［tkm+l］)的近似解，而yh(［nh］)定義為ykm.把(4)進行連續化得到如下式子，為了計算簡便，后面的證明過程中應用的條件期望省略，得到的結果一致.

其中對于t∈ (tkm+l，tkm+l+1)，z(t)=ykm+l，(t)=ykm+l+1，z(［t］)=ykm.

1 Back-Euler方法的收斂性

下面給出線性分段連續型隨機微分方程數值解的收斂性.

引理1.1 存在一個正數C1使得方程(1)解和連續的數值解(5)滿足

其中C1=C1(T，L2)是與h無關的常數.

證明 由(5)可得

由H?lder不等式可得

對于所有0≤t≤T，得到

通過Doob＇s鞅不等式，得到

由Gronwall不等式得到

同理可得

其中C1=3E|x0|2exp{6T2(a+b)+24T(c+d)}.證畢.

引理1.2 存在一個正數C2使得下面的式子成立

其中C2=C2(T，L2)是與h無關的常數.

證明 對于t∈［0，T］，則存在兩個常數k，l使得t∈［tkm+l，tkm+l+1］，那么

因此，

對上面的式子取期望得到

因此，

其中C2=C1(3a2T+6c+6d+3Tb2).

同理可得

定理1.1 方程(1)是均方收斂，即

證明 由(2)和(5)得

由H?lder不等式有

對于所有0≤t≤T，得到

通過Doob＇s鞅不等式，得到

由Gronwall不等式可得

因此，

證畢.

2 Back-Euler方法的穩定性

該節討論零解的穩定性.

2.1 解析解的穩定性

首先給出證明該方程數值方法均方穩定性的預備引理.

引理 2.1［14］方 程dx(t)= ［ax(t)+bx(［t］)］dt，x(0)=x0的解x=0是均方穩定的的充分條件為

定理2.1 若方程(1)滿足2a+2b+c+d＜0，那么方程(1)是均方穩定的，即

證明 由伊藤公式，對于t≥0可得

把上式兩端取數學期望，得

由引理2.1和2a+2b+c+d＜0可知，

2.2 數值解的穩定性

定義2.1 若方程(1)對任意的步長h，使得定步長數值方法應用于方程所得的數值解yn滿足

則稱該方法均方穩定(GMS穩定).

定理2.2 若方程(1)滿足2a+2b+c+d＜0，則對任意步長h時，應用于方程的Back-Euler方法是均方穩定的，即

證明 由(4)得

從而得到

因而，當1-2a-hc＞0時，

其中

因此通過對l遞推可得到

又因為2a+2b+c+d＜0，所以 σ1+σ2=

因而

所以，對任意的的步長h時，

證畢.

3 數值算例

下面給出兩個算例來驗證方程(1)數值解的收斂性與穩定性.考慮下面的試驗方程

3.1 收斂性

當a1=-2，a2=1，b1=0.3，b2=0.1，x0=1時，在表1中描述了數值算例的Back-Euler方法是收斂的，計算在點T=2，3處的誤差并且誤差值為E|ykm+l(ω)-x(T，ω)|2，這里ykm+l(ω)是(3)在節點處的值.估計在區間［0，5］上(ωi:1≤i≤1000)平均樣本路徑，即

在表1里可以看到數值算例的Back-Euler方法是收斂的.從而方法(3)是有效的.

表1 Back-Euler方法數值解的全局誤差

3.2 穩定性

當a1=-3，a2=1.5，b1=1，b2=0.5，x0=1時，在圖1中描述了數值算例的Back-Euler方法是穩定的，在圖1中，當h=1/8，h=1/4，h=1/2，h=1時，所有的曲線都趨于零，因此，驗證的結果和本章證明的結論是一致的.

［1］ Friedman A.Stochastic Differential Equations and Applications［M］.Vol.1 and 2.New York:Academic Press，1975.

［2］ Cao W R，Liu M Z，Fan Z C.MS-stability of the Euler-Maruyama Method for Stochastic Differential Delay Equations［J］.Appl Math Comput，2004，159(1):127-135.

［3］ Higham D J.An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations［J］.SIAM Review，2001，43(3):525-546.

［4］ Higham D J，Mao X，Yuan C.Almost Sure and Moment Exponential Stability in the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations［J］.SIAM J Numer Anal，2007，45(2):592-609.

［5］ Fan Zhencheng，Liu Mingzhu.The Pth Moment Exponential Stability for the Stochastic Delay Differential Equation［J］.Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2005，22(4):23-27.

［6］ Mao X.Stochatic Differential Equations and Applications［M］.Chichester:Horwood Publishing，1997.

［7］ Mao X.Stochastic Differential Equations with Markovian Switching［M］.London:Imperial College Press，2006.

［8］ Mao X.Numerical Solutions of Stochastic Differential Delay Equations under the Generalized Khasminskii-type Conditions［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，217(12):5512-5524.

［9］ Mao X.Numerical Solutions of Stochastic Functional Differential Equations［J］.LMS J Comput Math，2003(6):141-161.

［10］ Mao X，Sabanis S.Numerical Solutions of Stochastic Differential Delay Equations under Local Lipschitz Condition［J］.J Comput Appl Math，2003，151(1):215-227.

［11］Mao X.Exponential Stability of Equidistant Euler-Maruyama Approximations of Stochastic Differential Delay Equations［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，200(1):297-316.

［12］ Cooke K L，Wiener J.Retarded Differential Equations with Piecewise Constant Delays［J］.Math Anal，1984，99(3):265-297.

［13］Dekker K，Verwer J V.Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations［M］.Amsterdam:Centre for Mathematics and Computer Science，1983.

［14］ Wiener J.Generalized Solutions of Functional Differential E-quations［M］.Singapore:World Scientic，1993.