一類變系數電報方程的求解方法*

周永芳，趙春燕，陳 忠

(1.黑龍江科技大學;2.河北工業大學;3.哈爾濱工業大學)

0 引言

近年來，再生核數值方法廣泛的用于微分方程邊值問題、積分方程、積分微分方程的數值求解［1-5］，該文將建立包含邊值條件的再生核空間，在空間中討論如下的變系數電報方程

精確解的表達形式，給出方程的近似解，證明近似解及其導數一致收斂于方程精確解及其導數.其 中，r(x)＞0，p(x)＞0，r(x)，p(x)，q(x)，f(x)，g(x)，F(x，t)是連續實函數，且p(x)是可微的.

1 再生核空間

定義1H13［0，1］ ={u(x)|u，u'，u″是［0，1］上絕對連續實值函數，a1u'(0)+b1u(0)=0，a2u'(1)+b2u(1)=0，u?∈L2［0，1］}［0，1］是再生核空間，再生核函數記為

H是再生核空間，再生核函數記為

設區域 Ω = ［0，1］×［0，T］.

H(Ω)是再生核空間，再生核函數記為K(x，t，θ，s)內積〈u，v〉H和范數的定義參見文獻［5］.

定義6W(Ω)={u(x，t)|u(x，t)是Ω上的全連續函數

W(Ω)是再生核空間，再生核函數記為內積〈u，v〉W和范數的定義參見文獻［5］.

2 方程的齊次化與有界線性算子

其中，E［x，t］=q0(t)(ax2+bx+c)+q1(t)(Ax2+Bx+D)，這里a，b，c，A，B，D是常數，Q(x，t)=F(x，t)-r(x)vtt(x，t)+［p(x)vx(x，t)］xq(x)v(x，t)，v(x，t)=-E［x，t］-f(x)+E(x，0)+t·Et(x，0)-t·g(x).不失一般性，在下面的討論中，用u(x，t)代替(x，t).

定義線性算子Γ:H(Ω)→W(Ω)，對任意u(x，t)∈H(Ω)，

則方程(2)可以轉變成如下算子方程的形式

其中，u(x，t)∈H(Ω)，當u=u(x，t)∈H(Ω)時，Q(x，t)∈W(Ω).

引理1 Γ:H(Ω)→W(Ω)是有界線性算子.

3 方程的精確解和近似解的收斂性

令M=(x，t)，記為Ω = ［0，1］×［0，T］的稠密子集.

且u(M)在‖·‖H意義下是收斂的級數.

注意到H(Ω)是 Hilbert空 間，u(M)=是H(Ω)中的傅立葉級數，所以u(M)在‖·‖H意義下是收斂的級數.定理得證.

注 定理1給出了方程(3)精確解的級數表達式.

將區域Ω=［0，1］×［0，T］分隔為一個p×q的網格，步長是整數，網格點(xi，tj)定義為xi=i×Δx，tj=j×Δt，(i=0，1，2，…，p，j=0，1，2，…，q).

通過截斷式(4)中給出的級數，得到方程(3)的近似解

定理2 若u(M)是方程(3)的解，un(M)是方程(3)的近似解，分別由式(4)(5)給出，則‖u(M)-un(M)‖H→0，‖u(M)-un(M)‖C→0，n→ ∞ .

證明 由式(4)(5)，H(Ω)是Hilbert空間，有‖u(M)-un(M)‖H→0.注意到

C1是常數，所以‖u(M)-un(M)‖C→0，n→∞.

定理3 若定理2的條件成立，則un(M)的各階導數一致收斂于u(M)的各階導數.

證明 由定理2可知，un(M)一致收斂于u(M)，注意到

C2是常數，所以即一致收斂于?2u(M).類似?t2的，可以證明其他的近似解導數的一致收斂性.

4 數值模擬

例1 這里考慮方程(1)，其中，r(x)=x2，p(x)=x4，q(x)=x2，0＜x＜1，0＜t＜1，a1=a2=b1=b2=1，方程(1)的解u(x，t)=x2tet+1，f(x)=0，g(x)=x2-1，q0(t)=1-et，q1(t)=1-et+3t，F(x，t)=-etx2-10tx4+x2(1-et+tx2).利用式(5)，取n=p×q=100，得到方程(1)的近似解u100(x，t)，計算結果見表1.

表1 例1的計算結果

［1］ 周永芳，呂學琴，張艷英.再生核空間中一類積分方程的解［J］.哈爾濱師范大學自然科學學報，2006，22(5):12-15.

［2］ 呂學琴，崔明根.求解一類二階非線性偏微分方程的新算法［J］.計算數學，2009，31(2):111-117.

［3］ Zhou Yongfang，Cui Minggen，Lin Yingzhen.Numerical algorithm for parabolic problems with non-classical conditions.Journal of Computational and Applied Mathematics［J］.2009，230:770-780.

［4］ Yao Huanmin，Cui Minggen.A New Algorithm For a Class of Singular Boundary Value Problems［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，186(2):1183-1191.

［5］ 周永芳.若干微分方程非局部邊值問題的一種數值方法［D］.哈爾濱:哈爾濱工業大學，2011.15-19.