信息技術幫助提升學生的數學核心素養

趙春+++張思明

名師速寫

張思明老師，工作于北京大學附屬中學，理學博士，數學特級教師，享受國務院特殊津貼專家，北京市有突出貢獻人才，是全國自學成材的先進典型。曾當選“北京市十大杰出青年”、北京市青年教師的“師德之星”、2004年評為“全國模范教師”，2005年評為“全國中小學十杰教師”。 1999年獲得數學教育的最高獎“蘇步青數學教育獎”一等獎。1999年、2004年、2013年三次獲北京市基礎教育教學成果一等獎， 2014年獲全國基礎教育教學成果獎一等獎。

張思明老師的淡然、堅韌、仁愛、思辨，更讓人清晰地看到了一個自學成才，在三尺講臺上揮灑汗水，在奉獻創造中孕育快樂的教師形象。有人稱他為當代教育家，但是張思明老師卻認為他只能算一個“有自己的一點教育理想和想法的教育工作者”。作為一個教育工作者，他認為最重要的一點是要“用心去做教育”。有了“用心去做教育”這樣的信念，一言一行就會不自覺地去進行教育實踐。

張思明老師曾擔任班主任18年，年級主任4年。他以中學數學建模的教學探索和實踐，突出表現了激發學生自主性、創造性的教學特色和風格。在教育上他講究教育的科學性、實效性和及身性，注重思想教育與科學知識的結合和無形教育環境的創設，特別注意培養學生對集體、民族、國家和社會的責任心和自身的進取精神。如張思明老師所說：“只有教師的創造力，才可能激發學生的創造欲；只有教師自己不斷學習，自主地鉆研探索教學規律，才有可能影響學生自主的學習和鉆研；只有在充滿生命力與和諧氣氛的教學環境中，師生共同參與，相互作用，才能摩擦出智慧的火花，結出創造之果。”

在教師職業生涯之中，張思明老師從未懈怠，始終追求與踐行自己的職業理想：努力使自己成為“一個內心世界豐富的人，一個富有愛心和教養的人，一個富有想象力和創造力的人，一個能夠喚起人們對生活的熱愛的人，一個能夠‘學而不厭，誨人不倦的人”。

新一輪的課程改革正在討論實施中，新的高中課程標準也正處于修訂狀態。這一輪改革將以提升學生的學科核心素養為核心目標，而數學學科的核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析六個部分。

提升學科核心素養的目標需要我們更加有效地利用課堂，培養學生的學習興趣和熱情，提高學生學習的效率。讓學生充滿熱情地去發現和觀察，去主動探究，讓學生自己動手，在課堂上積極參與，而不是被動地接受。

如何讓學生的手、腦能高效率地動起來，這是課程設計的核心，也是信息技術大有可為之處。借助于一些普通的信息工具和淺易的信息技術，通過數學實驗、課堂觀察、操作體驗等做法可以讓不同層次的學生更有效地參與到課堂中來。

數學實驗教學方法理論上已經存在了多年，但一直以來，因為技術條件和種種客觀條件的限制，這種教學方法在實際操作中一直沒有太大的發展。在中學數學課堂教學中，傳統的紙筆模式迄今為止仍然是中學數學教學的主流模式。但現在，技術的更新和進步正悄然改變著我們的課堂，資訊的發展也為我們提供了重新研究數學實驗教學的條件和時機。

那到底什么是數學實驗教學？數學實驗教學是讓學生通過自己動手操作，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題的一種教學過程。在這個過程中，教師更多的是通過提問引導和啟發學生學習研究數學問題，教師仍然處于主導的地位，而學生處于主動學習的地位*。

我們選取了日常數學學習中的幾個例子，這些例子都用到了上面所提到的數學實驗教學模式，借助于信息技術，數學實驗教學模式可以更好地幫助學生提升數學核心素養。

信息技術幫助學生學習數學概念

案例1 對指數爆炸的直觀理解

在學習指數運算時，課本上提到了指數爆炸這個名詞。如果局限于紙筆運算，我們在課堂上大部分時候只能讓學生算算整數底的某些次冪。借助于信息技術，現在我們可以讓學生先計算1.1的平方和立方，再提出問題：請你猜測1.1的100次冪大概是多少？1.1的260次冪又大概是多少？學生給出的猜測一定是多種多樣的，而計算器所給出的結果也會讓大部分學生有一個難忘的記憶。在課堂實驗實際操作時，所有的學生都沒有猜到1.1的260次冪能達到1010數量級。同樣可以讓學生猜測0.99的100次冪和260次冪的數值。以這樣一種方式，不僅使學生更容易理解指數爆炸的含義，而且能幫助學生記住底數對冪的影響。學生能夠直觀感受到當底數大于1時，隨著指數的增大，冪在變大；當底數小于1時，隨著指數增大，冪在變小。

工具：計算器或計算機。

實際操作：

方法1：在科學計算器中輸入1.1^100，返回答案13780.61234......

方法2：在Excel表格中鍵入“=1.1^100”，返回答案13780.61234；

鍵入“=1.1^100”，返回答案57822669934......

案例2 對數列求和的幫助

數列的求和是學生學習的一個重點和難點，等差、等比數列求和已經讓學生們感到困難，當對另一些有規律的數列進行求和時，就更讓學生們頭痛了。信息技術的使用也許能幫助提升學生的興趣。比如 ，可以讓學生先借助于計算器累加上去，記錄下每一步計算的結果后進行猜想，再相應地進行證明或推導。如果有學生覺得需要自己記錄結果太麻煩，可以啟發學生能否借助于計算機語言編寫小程序，自動輸出級數數列，這樣可以大大減少輸入和記錄的工作量。這個求和問題結論的猜想和推導解決之后，還可以讓學生思考并推廣至 ，并提問是否可以再推廣。以此解決所有的連續乘積做分母的求和問題。

工具：計算器或計算機。

實際操作：

（1）使用計算器，輸入1/（1*2*3）→結果加上1/（2*3*4）→繼續結果加……

（2）使用人教社B版教材推薦的Scilab語言，可以編寫程序如左下，試運行結果如右下所示：

信息技術幫助學生建立數學抽象能力

案例3 絕對值函數圖像的特點

提出問題：函數fn（x）= x﹣1 + x-2 + x-3 +... x-n 的圖像有什么樣的特點？利用幾何畫板的作圖功能，可以很方便地畫出f1（x）、f2 （x）……的圖像，并同時讓學生觀察這些函數圖像的特點。學生通過觀察，應該很容易總結出當n為奇數時，有唯一的最小值點，當n為偶數時，有一段橫著的線段的圖像特點。還可以同時讓學生觀察折線段的陡峭程度，并解釋為什么會有這樣的特點。通過這樣一個過程，雖然學生筆頭的練習少了，得到結論的過程變簡單了，但因為后面所需要回答的問題，所以思考點和思考量并沒有任何的減少。信息技術在這里幫助我們將課堂擴容。

工具：計算器或計算機。

實際操作：

案例4 不動點問題的抽象及推廣

提出問題：討論方程cosx=x的解，并給出計算器操作過程：輸入初始值，比如6；計算cos6，得到結果1；計算cos（結果1），得到結果2；計算cos（結果2），得到結果3；……以此類推，經過若干步后，屏幕上出現一個恒定值：0.739085133。此時可以問學生：（1）這個恒定值是什么？（2）這個過程中，最開始給出的初始值可以換成別的數嗎？自己試試并給出截屏圖片。（3）你能自己設計另一個問題，并相應地得到一個求解過程嗎？

學生在回答第三個問題時因為受題目余弦函數的影響，最可能嘗試的是正弦函數和正切函數。而因為方程 sin=x是無解的，所以依據類似的過程得到的計算結果數列并不會穩定于某一值，也因此可以啟發學生更多的思考。同理，方程tanx=x有無數個解，得到的是哪個解取決于給出的初始值，也因此可以得到更多的引申問題。在這樣一個過程中，學生不僅可以學會一種解方程的計算辦法，還可以鍛煉將其抽象并推廣的能力。信息技術過程的展示可以幫助學生跳出題目的具體背景，將之抽象為一類方法，得到數學的一般規律。

信息技術幫助學生進行數據分析

案例5 理解拋均勻硬幣實驗中的概率0.5

在概率概念的學習時，曾經有過概率 是否意味著兩次拋擲中一定恰有一次正面向上的爭論？并簡單介紹過不能那樣理解的理由。在學生在學完二項分布后，我們可以再次利用拋均勻硬幣這個實驗。提問學生：在100次擲硬幣的試驗中，恰有50次正面朝上的概率到底是多少呢？學生此時應該可以很快地給出表達式，但這個表達式代表的數值究竟是多少？比0.5大還是小？與0.5的接近程度如何？概率 到底能幫助我們做出什么樣的推斷呢？因為其中計算的煩瑣，這些答案以前老師們都是不做要求的。現在借助于信息技術，我們不僅可以向學生展示8次投擲中恰有4次、50中恰有25次和100中恰有50次正面向上的概率，讓學生發現當投擲次數越多時，恰有一半硬幣正面向上的概率在逐漸降低的規律；還可以橫向讓學生感受一下當投擲50次時，正好有k次正面向上的概率到底會是一個怎樣的規律。縱向和橫向的雙重比較可以使得學生更好地理解不確定中的規律性。

工具：計算器或計算機。

實際操作：

（1）利用計算器或計算機完成如下計算：

投擲一枚均勻硬幣2n次，恰有n次正面向上的概率：

（2）利用計算器或計算機完成如下計算：

投擲一枚均勻硬幣50次時，恰有k次正面向上的概率

案例6 對大量數據處理的幫助

在統計的學習中，經常會遇到大量數據處理的問題，比如說在線性回歸分析部分。給出成對的原始數據后，常用的辦法應該是先畫出散點圖，然后判斷線性相關的程度，最后用求出相應的回歸系數。當給出的數據對比較少時，學生還可以借助用紙筆進行操作（雖然計算已經很麻煩）；而一旦數據量略大，可能相應的計算就需要花掉很長時間。計算的繁復會將學生的注意力從問題的本質理解轉移到不要算錯上來，計算應該不是我們講授這部分內容的主要目的。計算機或者計算器的最大優點就是能很快地、忠誠地完成大量的計算工作，借助于計算器或Excel表格，學生就不再會被煩瑣的計算所迷惑和羈絆，可以從計算海洋中跳脫出來，有更多的時間去思考線性回歸的優點和不足。

信息技術幫助學生形成猜想、探究結果

案例7 蒙特卡洛方法

課本上有一個例子是通過蒙特卡洛法，幫助學生合理設計計算機模擬實驗去大致得到π的數值。在蒲豐的時代，他只能一次次地通過投針去實驗。而身處信息時代，我們擁有了更多的選擇。我們可以身體力行，也可以結合數學的想法和信息技術的共同優勢，借助計算機模擬實驗的方式去完成更多的猜想。比如在學習球的體積公式時，首先可以提問學生猜想球的體積的形式，比對圓的面積公式，學生應該不難猜到是V=k.r3的形式，甚至可以猜到k一定與π有關。然后啟發學生利用球面方程，在計算機上用蒙特卡洛方法去模擬實驗猜出k的表達式。

同樣，對y=sinx（0≤x≤）與x軸圍成的面積，以及橢圓的面積公式都可以用類似的方式去猜想和探究。

工具：計算機。

實際操作：

案例8 對x、sinx和tanx當x比較小時關系的探究

當三角函數的定義給出后，教師可以布置課下任務，鼓勵學生去探究x、sinx和tanx之間有沒有什么樣的關系。教師可以列出-5度、-4度……0度、1度……5度的角，然后讓學生看看x、sinx和tanx有什么關系？如果使用單位度的話，學生可能是看不出什么關系的。但如果學生能考慮到量綱的一致性，將角的單位由度化為弧度，那么x、sinx和tanx在x比較小時彼此接近而又大小分明的特點就會凸顯出來。通過這樣一次數學實驗教學活動，學生不僅能對弧度制的必要性有更深刻的理解，想必也對1度的正弦值可以怎樣近似得到有了更新的認識。

工具：計算器或計算機。

實際操作：

（1）在計算機或計算器上完成右表的計算；

（2）你的觀察、發現和猜想；

（3）你能說明或證明您的發現和猜想的正確性嗎？

信息技術幫助學生積累數學活動經驗

案例9 對于圖像的積累和處理

學生學習畫出函數圖像的方法是列表、描點、連線、得到大致圖像。掌握了這種方法，可以保證在以后的函數學習中，至少能用最粗獷以及可以精益求精的方式得到大致圖像。但計算是計算機的強項，所以我們還是揚長避短，更多地借助信息技術來積累處理圖像的經驗。以對勾函數為例，我們可以提問：（1）畫出y=ax+ 的大致圖像；（2）畫出y=ax3+ 的大致圖像；（3）畫出y=ax5+ 的大致圖像；（4）你能從中總結出什么規律嗎？雖然在這里我們不要求以紙筆形式得到函數的大致圖像，但在學生搬運和總結圖像信息的過程中，對圖像的處理能力并不會減弱。相反，因為圖像的進一步精準，在此基礎上得到的信息反而會更準確。同樣，因為信息技術的介入使得畫圖進一步簡便，相信部分學生在處理完這幾類圖形后，還會接著去思考那些特殊點的坐標到底是什么？還會去試著畫y=x2+，y=1nx+之類的函數圖像。

同樣的，在三角函數的學習時，我們可以將傅里葉級數的想法融入其中，試著讓學生去畫出函數y=sinx+和y=sinx++的圖像，并嘗試畫出函數 的圖像，觀察當項數增加時函數圖像的變化。

案例10 對于文本信息的積累和處理

信息技術的更多應用，也使得部分學生有了一定的理解誤差，認為數學學習不是那么必要，就像最近熱炒的“數學踢出高考一樣”。上上網，查查資料就能解決問題，那為什么還需要付出更多的努力呢？結合這樣一種錯誤理解，我們曾經做了這樣一個實驗。在學習橢圓的概念時，提問學生：（1）橢圓是什么？（2）怎么去畫出一個橢圓？學生可以自行分組查找資料回答問題。返回的答案中，關于第一個問題，有定點定長的定義，也有截圓錐所得曲線的定義，甚至還有橢圓的方程作為定義，以及地球運行軌道作為定義。這時學生自己就有了困惑，這些定義說的是同一件事嗎？怎么說明這些曲線是同一類圖形？關于第二個問題，有學生提到了用線繃直的方法，還有提到了用方程描點連線的方法，還有部分同學提到了“橢圓規”這樣一種工具。同樣的，這時學生們在相互質疑：“憑什么說你這時畫出的就是橢圓？”“那我還可以拿著一個雞蛋比著畫呢？”所有這些問題的產生都是很自然的過程，而所有這些問題的解決也都離不開數學的深入學習。

以上所給出的10個案例，并不是中學數學和信息技術的所有結合點，可以說只是滄海一粟。但從這些案例，我們已經可以看到信息技術對數學教學和學習的影響。信息技術能夠幫助所有人以更快的方式獲得更多的資源，但資源的有效利用和轉化歸根結底還是離不開人這個最主要的因素。數學實驗的方法獲得的數據與真實數據之間有時也會有一定的誤差，比如案例2中的求和以及案例7中的蒙特卡洛方法，所以實驗并不能取代嚴格的推導和證明。如何利用現有的信息技術，幫助學生建構知識體系，提升數學素養，使得學生未來能自主產生更多更好的想法和技術，這也對教師提出了更高的要求。

參考文獻

* 韋輝梁.數學實驗的學習環境和教學方法[DB/OL].http：//math.cersp.com.

（作者單位：首都師范大學 北京大學附屬中學）