基于能量法的高承臺樁基沉降計算方法

趙明華，楊雨晴，尹平保，龍軍

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基于能量法的高承臺樁基沉降計算方法

趙明華1，楊雨晴1，尹平保2，龍軍1

(1. 湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙，410082；2. 長沙理工大學 土木與建筑學院，湖南 長沙，410004)

為探討高承臺樁基的沉降計算方法，考慮高承臺群樁中各基樁的相互作用，首先基于Cooke原理推導得到基樁樁側單位厚度土的等效剛度系數；其次，從能量傳遞的角度建立承臺?樁基的平衡方程，并聯立承臺?樁基變形協調關系以及樁端邊界條件，利用能量法對基樁樁身軸力與位移進行求解，從而得到高承臺樁基沉降計算方法，編制相應的計算程序。最后，利用該方法及計算程序對某工程中的高承臺樁基進行計算。研究結果表明：采用本文方法所得計算結果與實測結果較吻合，驗證了本文計算方法的合理性。

橋梁工程；高承臺樁基；能量法；等效剛度系數；沉降

群樁沉降計算是樁基工程設計中的一大難題。樁的幾何尺寸、樁周巖(土)體類別與性質、樁間距以及所受荷載與持續時間等都將對沉降計算結果產生很大影響[1]。目前，有關群樁沉降計算的方法主要有等代墩基法、等效分層總和法及彈性理論法等[2?6]。其中，等代墩基法是將基樁和承臺范圍內的樁間土看成為一個整體，即相當于1個布置在天然地基上的深基礎，而按擴展基礎來計算沉降。該法雖然考慮了樁群外圍尺寸和樁長的影響，卻忽視了樁數、樁徑以及樁間距等因素的影響。關于等效作用分層總和法，其主要是引入等效沉降系數，將Boussinesq解與Mindlin解聯立起來求解樁基沉降，其除考慮群樁幾何特性的影響外，還可將計算結果編制成表格，便于工程應用。但該系數為一經驗系數，與現有樁基工程沉降實測資料的積累有關，且難以考慮持力層、土層剖面和壓縮性等因素的影響。可見上述2種方法均無法考慮樁間土體壓縮變形的影響，故不宜用于樁間距大于6倍樁徑的群樁。至于彈性理論法，其主要適用于樁間距較大、樁長不一以及布樁不規則的群樁。由于忽略樁群在土中的“加筋效應”和“遮簾效應”，即未考慮樁的存在所帶來的影響，因而對某些加工硬化型土如非密實的粉土、砂土可能會引起較大的偏差。總之，群樁沉降計算方法雖多，但各有不同的適用范圍。受水文地質條件以及實際工程環境等因素的影響，對于某些大橋或特大橋，其基礎絕大多數采用高承臺群樁。在高承臺群樁基礎中，各基樁主要通過樁側摩阻力與樁端阻力將豎向荷載傳遞給地基土與鄰近樁基，由此產生的應力重疊效應改變了基樁和土體的受力狀態，反過來，這種效應又將進一步影響基樁樁側摩阻力和樁端阻力的發揮。對于高承臺樁基，目前國內外已有一些學者對樁土相互作用機理及荷載傳遞規律進行了研究[7?9]，但涉及高承臺群樁沉降計算的研究不是很多。高承臺群樁基礎荷載傳遞異常復雜，現有的基樁沉降計算方法具有一定局限性，很有必要在前人研究的基礎上，深入探討考慮樁?土?樁相互作用的高承臺樁基沉降計算方法。文獻[10]將能量法應用于單樁沉降的計算，取得了一定成果。本文作者以此為基礎，首先引入Cooke原理[11?12]，考慮群樁中樁?土?樁的相互作用，導出各基樁的樁側土體等效剛度系數；其次，利用能量法，對高承臺樁基平衡方程進行分析求解，從而得到一種高承臺樁基沉降計算方法；最后，以某實際工程中高承臺樁基為例，利用上述方法進行計算。

1 高承臺樁基沉降計算

1.1 計算模型

承臺在上部結構荷載的作用下產生變形，群樁中的基樁樁側摩阻力可采用佐藤悟提出的樁側摩阻力與樁土相對位移彈塑性模型進行計算[10]，如圖1所示。其中：f，f和f分別為樁側土體的極限摩阻力、樁側土層達到極限摩阻力f的最小樁土相對位移、樁側土層的摩阻力傳遞系數，ff/f。

圖1 樁側摩阻力傳遞模型

受群樁效應的影響，群樁中各基樁樁側摩阻力系數k與單樁樁側摩阻力傳遞系數f不同。根據Cooke原理，假設高承臺樁基中的基樁數為，且樁身均位于均質土中，樁材、樁徑以及入土深度也均相同。樁?樁相互作用示意圖如圖2所示。以群樁中的樁(=1，2，3，…，)為例，樁樁側單位厚度土的等效剛度系數k為

式中：k為樁頂部作用荷載發生沉降時樁受周圍樁群影響從而產生的樁側單位厚度土的等效剛度系數；k為樁頂部受力發生沉降時樁受其影響從而產生的樁側單位厚度土的等效剛度系數；0為樁的截面半徑；s為樁和樁的樁間距；G為樁側土體的剪切模量；r為位移影響半徑，根據文獻[13]，可取r=2.5(1?)；為不均勻系數；為樁間土體的泊松比；H為樁身入土段長度。

(a) i樁對j樁的作用；(b) j樁對i樁的作用

1.2 能量法求解

為便于后續分析及簡化推導過程，進行如下假定：

1) 樁身處于彈性變形階段，且不發生屈曲變形；

2) 樁側摩阻力先于樁端阻力發揮[10]。

根據能量原理，可知高承臺樁基在地基中的總勢能增量Δ由樁身變形能W、沉降引起的樁身勢能增量W1和承臺勢能增量W2組成，即

式中：H為樁身總長；Δ1為基樁重心的位移；Δ2為承臺重心的位移；E為樁身彈性模量；A為樁身截面積；N()為樁深度處樁身軸力；M為承臺質量；M為樁樁身質量；為重力加速度；s為樁樁端位移；δ為樁樁身變形。根據變形協調原理，取1~時，s+δ都相等。

引起承臺?樁總勢能發生改變的原因在于外力作功，即承臺頂部荷載作功W、樁側摩阻力作功W和樁端阻力作功W。則樁身總勢能增量Δ可表示為

式中：為承臺頂荷載；p為樁樁端阻力；s=δ+s，為樁樁頂位移；s為樁樁端位移；τ()為樁深度處樁側摩阻力。

1.3 樁基沉降計算

1.3.1 樁身懸臂段沉降

對于高承臺樁基中的懸臂段，由于沒有受樁側土體的影響，懸臂段的沉降即為該樁段的樁身壓縮變形，其可由下式求得：

式中：p為樁樁頂荷載；H為樁身懸臂段長度。

1.3.2 樁身入土段沉降

對于樁基的入土段，設樁樁頂荷載為p，則可建立相應的能量平衡方程：

將式(3)，(4)，(7)~(9)代入式(11)可得

式中：s為樁樁身入土段的總沉降量。

式(12)即為以整個樁身為對象的總的能量平衡方程。若將樁樁身分為個連續的單元，如圖3所示，則對于第單元 (=1，2，3，…，)有

(a) 單元劃分；(b) 單元受力

式中：m為基樁第單元質量，s為第單元頂部位移；s1為第單元底部位移。如圖3所示，基樁第單元的樁身變形d為：

將式(14)和式(15)代入式(13)可得

式中：為樁身截面周長；每個單元高度=H/；為單元個數；H為樁身入土段長度。式(16)可進一步改寫為

式(18)和式(19)即為第單元頂部與底部的軸力計算式。由式(18)可得s+1的計算式為

若忽略由于第單元彈性變形引起的單元頂部與底部的摩阻力差異，考慮群樁下其他基樁對樁樁側土體的影響，則將樁樁側單位厚度土體的等效剛度系數代入式(20)可得：

式中：τ為樁身第單元側邊土體的極限摩阻力；s為樁身第單元側邊土層達到極限摩阻力的最小相對位移。根據樁端邊界條件，第單元(樁端)底部的軸力p又可表示為

式中：k為樁端阻力傳遞系數；q為樁端阻力極限值；ξ樁端土體達到極限阻力q的最小樁端土體位移。已知承臺頂部荷載，對剛性高承臺群樁，各樁樁頂沉降s(=1，2，3，…，)相同，承臺頂部荷載由各樁共同承擔，即可建立以下方程組：

聯立上述方程組，并結合前面的沉降計算公式，即可求得高承臺樁基入土段的總沉降。

1.3.3 樁頂總沉降

高承臺樁基的樁頂總沉降為

s=δ+s(26)

式中：s為高承臺樁基的樁頂總沉降；s為樁身入土段的總沉降量。

2 沉降計算步驟及流程

根據上述計算方法可利用Matlab編制相應的計算程序。現以4樁高承臺樁基為例，對計算程序進行簡單說明(沉降計算流程圖見圖4)。

圖4 沉降計算流程圖

設定承臺頂荷載，樁側各土層參數H，τ，s和k等計算參數初始化數值。程序對入土段樁頂沉降s設初始值。計算中將以一定步長搜索整個s的定義域，并在找到滿足樁端邊界條件的s時停止。算法步驟和邏輯圖具體如下。

1) 程序設置初始化，對計算常量賦值，包括各土層土性參數、土層厚度、單元高度、承臺頂部荷載等。

2) 對于4樁承臺，由其受力完全對稱，則可簡化為對單樁進行分析。通過式(25)可得樁頂荷載p=/4(=4，為群樁樁數)。

3) 對s(為迭代次數，為樁身微單元數，=l，=1)設定迭代初始值(一般可取0.2 mm)。

4) 將式(1)代入式(21)或(22)計算s+1；由式(19)計算p+1。

5) 重復步驟4)，直至得出s和p為止。

6) 將s代入式(25)，得到′。

7) 計算e=p-’,若e>0，則進入步驟8)；若e<0，則進入步驟9)。

8) 增加s1個步長值，可根據誤差梯度調節取值，此處建議取較小常量0.1 mm，此時，s1=s+，進入步驟3)。

9) 當e＜0，e?1＞0時，搜尋到滿足邊界條件的迭代值，此時樁頂沉降s取值為

3 工程算例

引用文獻[14]中蘇通長江大橋主橋南塔橋梁樁基工程的實測數據，與本文方法所得計算結果進行比較分析。該工程群樁基樁總長為114 m，其中入土深度為75.00 m，樁徑為2.50 m，樁間距為6.25 m(2.5倍樁徑)。工程地質概況如表1所示，其他參數見文獻[14]。2×2與3×3群樁沉降計算結果分別見圖5和圖6。

表1 樁基工程地質表

1—本文值；2—文獻[14]中值；3—試驗值

1—本文值；2—文獻[14]中值；3—試驗值

由圖5和圖6可知：本文方法得到的計算結果與2×2和3×3群樁在全注漿最大沖刷深度工況條件下的實測值以及文獻[14]的計算結果均較吻合，驗證了本文計算方法及程序的可靠性。由于在實際工程中各基樁之間相互作用影響程度隨樁側土體均勻度的減小而減弱，故本文計算結果較實測值稍偏大，對2×2群樁最大相對誤差為12.6%；而3×3群樁的最大相對誤差為15.1%，其計算精度尚在可接受范圍內。計算誤差的產生是因為計算方法受線性約束，計算程序反復迭代，也可帶來誤差積累，從而導致本文計算值與實測值不吻合。關于超大荷載區段的算法優化工作，有待進一步研究。

4 結論

1) 利用Cooke原理導出高承臺樁基樁側的等效剛度系數，并利用能量法對承臺?樁基平衡方程進行求解，進而提出了高承臺樁基沉降計算方法。

2) 根據本文計算方法編制了相應的計算程序，利用該程序計算某實際工程的橋梁樁基。對比分析表明：計算值與實測值及文獻值均較吻合，驗證了本文計算方法的可靠性。該方法可為高承臺樁基工程的設計計算提供一種行之有效的新思路。

3) 超大荷載區段的高承臺樁基沉降計算由于受反復迭代引起的誤差積累以及計算方法線性約束等因素的影響，其計算值與實測值不吻合，因此，算法優化有待進一步研究。

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Settlement calculation of pile foundations with elevated caps by energy method

ZHAO Minghua1, YANG Yuqing1, YIN Pingbao2, LONG Jun1

(1. Institute of Geotechnical Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. School of Civil Engineering and Architecture,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)

In order to investigate the computational methods for settlement of high-cap pile, an identical stiffness coefficient of surrounding soil with unit thickness was derived based on Cooke principle to simulate the interaction among each pile of pile group. Equilibrium equation of cap-pile was constructed in the viewpoint of energy transmission. Deformation compatibility of cap-pile and boundary conditions at pile end were incorporated to solve axial forces and displacements of pile by using energy approach. Thus a novel calculation method for settlement of pile foundation with high cap was developed and the corresponding program was written. Finally, this method and program was utilized to calculate a high-cap pile in an engineering project. The results show that the results computed by this technique are in accordance with those measured, which verifies the reasonability of this method.

bridge engineering; pile foundation with elevated caps; energy method; equivalent stiffness coefficients; settlement calculation

TU473.1

A

1672?7207(2015)02?0670?06

2014?01?22；

2014?04?25

國家自然科學基金資助項目(51278187)(Project(51278187) supported by the National Natural Science Foundation of China)

趙明華，教授，博士生導師，從事樁基礎及軟土地基處理等研究；E-mail：mhzhaohd@21cn.com

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.02.040

(編輯 陳燦華)