周期場中片狀束輸運的非線性行為

李廣明，李秀平，王善進

(1. 東莞理工學院計算機學院 廣東 東莞 523808; 2. 東莞理工學院電子工程學院 廣東 東莞 523808)

周期場中片狀束輸運的非線性行為

李廣明1，李秀平2，王善進2

(1. 東莞理工學院計算機學院 廣東 東莞 523808; 2. 東莞理工學院電子工程學院 廣東 東莞 523808)

冷腔束流動力學問題是微波器件和太赫茲器件的基本問題。在經典物理學框架內把周期場中片狀束的運動方程化為Duffing型Mathieu方程。利用攝動法討論了系統在ν=1共振線附近的運動行為，導出了系統頻率響應和振幅響應，揭示了系統的跳躍現象和不穩定性。對線性近似下得到的部分結果進行了修正。

周期場; 共振; 片狀束; 穩定性

隨著片狀束的廣泛應用，冷腔束流動力學的穩定性問題成為人們熱點討論。由于片狀束具有電流強度大、高頻電場低、能量分散小和易小型化等優點引起了廣泛關注。強流技術的關鍵問題之一是空間電荷效應。半個世紀前，人們就提出了片狀束概念，并試圖利用這一概念把空間電荷效應減至最小。但是，利用傳統聚焦方法系統出現了Diocotron不穩定性。采用周期永久磁場(PPM)使問題得到了消減[1-10]。美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室(Los Alamos National Laboratory)的研究小組對該問題進行了討論[1-5]，在線性近似下，把冷腔電子運動方程化為Mathieu方程，并根據Mathieu方程的穩定性導出了系統的臨界條件。由于系統的非線性，本文進一步考慮了運動阻尼和空間電荷的影響。在經典物理學框架內和小振幅近似下，把電子運動方程化為廣義Mathieu方程。利用攝動法討論了周期磁場中片狀束冷腔束流輸運的動力學穩定性。特別是對電子在共振線ν=1附近的行為進行了分析。導出了系統的頻率響應和振幅響應；揭示了系統的跳躍現象和不穩定行為；分析了束流穩定傳輸的臨界條件。

1 運動方程

引入直角坐標(,,xyz)，假設z方向是束流運動方向，x方向位于水平面內，而y方向與水平面垂直。在這個坐標系中，擺動場的磁感應強度B可表示為：

其中磁勢為：式中，波數kz=2π/d，且滿足d是磁場周期。a=1,b=0描述的是擺動場，而a=0,b=1描述的是PPM場。假設高頻(RF)場工作在TM模式上，利用無源Maxwell方程，3個場分量可分別為：

當kx=0時，Bx=0，三維場退化為二維場，且By,Bz與x無關，描寫了垂直方向(y方向)的平面聚焦情形；kx≠0時，描寫了垂直方向和水平方向(x方向)二維聚焦情形。考慮到阻尼和空間電荷的影響，對于平面聚焦情形，粒子的垂直運動方程為[1-2]：

式中，Bw=B0是磁感應強度幅值；kz=ky=k是“波數”；ρ是電荷密度；η=e/m是電子的荷質比；rx,ry分別是橢圓片狀束沿x方向和y方向的半長度和半厚度。令τ=kz=kvbt(vb是束流速度)，在小振幅近似下，電子運動方程式(6)可進一步推導為：

其中，有：

在弱激勵(即ε為小量)情形下，如果系統阻尼和非線性也比較弱，用ξ代替y，式(7)可改寫為：

這是一個帶有弱激勵、弱阻尼和弱非線性的Duffing型Mathieu方程。

2 線性近似與工作條件的選擇

在線性近似和無阻尼(α=μ=0)情況下，式(9)推導為標準的Mathieu方程：

在參數(ν2,ε)平面上，系統出現了一系列穩定和不穩定區[11-12]，如圖1所示。當ε→0時，這些不穩定區退化為一點，且全都落在ε=0的橫軸上，這些點由方程ν2=n2，n=0,1,2,給出，并分別稱為零階、一階和二階等不穩定區。當ν=0,1,2,時，系統存在整數共振，工程設計應當盡量遠離這些共振線。周期磁場中片狀束的工作狀態可能位于ν=1共振線附近。文獻[1-2]指出，只有在零階和一階不穩定區之間的三角形區域內，片狀束穩定輸運條件才能滿足，并當參數ν2<0.66時，系統是穩定的?？紤]空間電荷效應，束流穩定傳輸條件可表示為0≤ε≤0.91，0≤ν≤1，ν≤?1.1ε+1。文獻[7]將這些條件具體化為：

圖1 Mathieu方程的穩定與不穩定區(陰影區域)

3 非線性近似與系統穩定性

3.1 非線性近似

線性方程描述了系統的基本特征，α=μ=0的方程是線性方程，當ε≠0(或α≠0,μ≠0)時，由式(9)描述的非線性系統出現了一系列新的特征，其中包括共振、分叉和混沌等。下面用攝動法討論系統在ν=1共振線附近的運動行為。

3.1.1 攝動解

利用多尺度法[13-16]討論非線性和參數激勵對系統振幅和相位的影響。令：

式中，T0=τ；T1=ετ。將式(14)帶入式(9)，令ε的同次冪系數相等，可得：

其中，有：

式(15)的一般解為：

式(16)變為：

式中，字母右上角一撇表示對T1的微商。為了描寫粒子在共振線ν=1附近的行為，可通過關系ν+εσ=1，引入解諧參數σ。解諧參數σ描寫系統接近共振線的程度。式(19)中的(2?ν)T0可表示為：

消去式(19)中的久期項，并利用式(18)，可得：

式中，ψ=2σT1?2β。系統的一次近似解可表示為：

式中，a和β由式(20)、式(21)和ψ=2σT1?2β給出。將式(17)代入式(20)和式(21)，完成積分可得：

3.1.2 靜態解的穩定性

從式(22)、式(23)和式(9)可以看出，問題已從一個二階微分方程簡化為兩個一階微分方程。雖然降階了，由于方程右端依然是兩個變量a和ψ的函數，要把它積分到最終形式仍然困難。如果關心定常振動，情況就較簡單。對于定常振動，系統的振幅a和相位ψ為常數，即式(22)和式(23)中的?？珊喕癁椋?/p>

因1νεσ=+，在一級近似下，將式(24)平方相加，消去三角函數，可得[16]：

式(25)和式(26)是振幅a的二次方程，要靜態解存在振幅a必須為實數，即a2>0。這就要求2<ε和>前者意味著只有激勵振幅大于衰減強度時，系統才可能存在穩定解；后者意味著當時，系統存在兩個靜態解，而當時，則只有一個靜態解存在。

3.1.3 系統響應

1) 頻率響應。圖2給出了系統振幅與頻率之間的關系(頻率響應曲線或共振曲線)。實線和虛線分別表示系統的穩定解和不穩定解。從圖2可以看出，共振曲線向右彎曲，當激勵強度ε保持不變，激勵頻率從小到大或從大到小變化時系統出現了跳躍現象。當從小到大位于點A1和點A2之間時，系統只有一個(穩定的)平凡解存在；從點A2開始，系統存在兩個解(分叉)，一個是穩定的靜態解，另一個是不穩定的平凡解；當增加時，系統將沿著曲線A2變化直到無窮。相反，當從大到小變化時，系統將沿著EA3變化，平凡解是穩定的。在A3點平凡解變得不穩定，當繼續減小時系統發生突變，并從A3跳到′；當繼續減小時，系統將沿曲線′A2變化，直到A2點；當再繼續減小時，系統回到初始的平凡解狀態。

當系統通過分叉和跳躍回到原來狀態的過程是不可逆的。這種不可逆性正好揭示了系統的馳豫行為。弛豫現象在自然界中普遍存在，在光電子技術中也經常碰到，雙穩態光電子器件便是典型例子。對于微波器件跳躍應當盡量避免。因為跳躍就意味著不穩定。文獻[17]表明，系統從點A2開始出現倍分叉，并通過級聯分叉進入混沌狀態。為了保證束流的動力學穩定性，分叉和混沌是不允許存在的。因系統的穩定性與參數有關，適當調整參數系統穩定性就可得到改善。事實上，從式(25)和式(26)可以看出，系統響應與系統阻尼、非線性大小、激勵強度和離開共振線的程度等因素有關，適當調節這些參數，就可提高系統穩定性。

圖2 Duffing型參數激勵系統的頻率響應曲線

圖3 Duffing型參數激勵系統的振幅響應曲線示意圖

2) 振幅響應。圖3給出了系統的振幅響應曲線。從圖3可以看出系統存在多值(分叉)和跳躍現象。當ε從小到大變化，狀態位于B1和B2之間時，系統只有穩定的平凡解存在；在B2和B3之間時，除了穩定的平凡解外，還存在兩個靜態解(分叉)，振幅較大的一個穩定(實線)，較小的一個不穩定(虛線)。離開B3平凡解變得不穩定，系統只存在一個穩定的靜態解。當ε繼續增加，狀態發生突變(從B3跳到B′3)，并將沿著曲線B′3D繼續變化，直至無窮。相反，當ε從大到小變化時，系統將沿著DB3′C變化，直到C點；當ε繼續減小時，系統發生突變(從C點跳躍到B2點)，且沿著B2B1繼續變化。系統回到初始的平凡解狀態。

以上分析表明，當激勵振幅(強度)從小到大和從大到小變化時，系統將通過分叉和跳躍回到原來狀態，但過程不可逆。這種不可逆也正好揭示了系統振幅與激勵強度之間的馳豫行為。圖3給出了時的響應曲線。當增加時，C點向B3點靠近，多值區域減小，跳躍現象消失，即隨著值增加，系統越來越遠離共振區域，非線性影響變弱，系統回到線性狀態。

3.2 工作條件的選擇

考慮到激勵強度、運動阻尼和非線性時，系統的穩定性與片狀束工作點離開ν=1共振線的距離有關，有：

文獻[6]指出，要保證片狀束的穩定輸運，它的Betatron振動頻率ν可以位于0≤ν≤1范圍內，即可選擇ν=0或ν=1。本文指出不管系統是線性還是非線性，ν都不能等于零或1。因為ν=0的系統是聚焦為零的系統，而ν=1的系統是處于共振狀態的系統。本文分析表明，僅當條件式(28)和式(29)滿足時，系統才是穩定的。

4 結 論

在經典物理學框架內和小振幅近似下，考慮到電子的運動阻尼和系統非線性，把周期場中片狀束的電子運動方程化為Duffing型的Mathieu方程。用攝動法分析了電子在ν=1共振線附近的運動行為。結果表明，系統的頻率響應和振幅響應存在分叉和跳躍，揭示了系統的不可逆性、不穩定性和弛豫特征；導出了片狀束穩定傳輸的臨界條件；修正了線性近似下得到的部分結果；指出了只需適當調節參數，系統的穩定性在原則上可以得到保證。

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編輯稅 紅

Nonlinear Transport Behavior of Sheet-Beem in Periodic Field

LI Guang-ming1, LI Xiu-ping2, and WANG Shan-jin2
(1. School of Computer Science, Dongguan University of Technology Dongguan Guangdong 523808; 2. School of Electronic Engineering, Dongguan University of Technology Dongguan Guangdong 523808)

The beam dynamics problem for cold cavity is the basic problems of microwave devices and terahertz devices. The motion equation of the sheet-beam in the periodic field is reduced into Mathieu equation with Duffing-type in the classical physics framework. The motion behavior of the system in the vicinity of the v=1 resonance is discussed by using perturbed method; the frequency response and the amplitude response for the system are derived; the jumping phenomenon and instability of the system are revealed. The partial results obtained in the linear approximation are modified.

periodic field; resonance; sheet-beem; stability

TN12

A doi:10.3969/j.issn.1001-0548.2015.04.012

2013 ? 11 ? 25；

2015 ? 05 ? 05

國家自然科學基金(61170216)

李廣明(1968 ? )，男，副教授，主要從事非線性電路理論及混沌信號處理方面的研究.