強磁性礦粒在磁選過程中的受力分析及動力學模擬

庫建剛，陳輝煌，何逵，晏全香

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強磁性礦粒在磁選過程中的受力分析及動力學模擬

庫建剛1，陳輝煌2，何逵1，晏全香1

(1. 福州大學紫金礦業學院，福建福州，350116；2. 中南大學化學化工學院，湖南長沙，410083)

基于磁偶極子磁場分布理論計算強磁性礦粒在磁場中所受到的力，并采用Verlet速度算法對2個磁性礦粒相互作用和9個磁性礦粒相互作用的二維動態過程進行模擬。研究結果表明：磁偶極子力和黏性阻力是影響磁性礦粒團聚的主要因素，磁偶極子力是強磁性礦粒在磁選過程中受到的最主要的力；2個磁性礦粒相互作用的動態過程由外磁場的大小和方向決定，礦粒從初始位置到接觸所用時間小于8.3 ms；9個礦粒相互作用的動態過程與初始位置(隨機性)有關，礦粒從初始位置到結成磁鏈所用時間小于30 ms，磁性礦粒最終沿外磁場方向團聚成鏈狀結構。

磁偶極子；磁性礦粒；磁選；動力學模擬

磁團聚是指磁性礦粒受到磁場磁化作用或磁性礦粒本身具有剩磁而相互吸引并產生團聚的現象，它對磨礦、分級、選別、濃縮及過濾作業均有很大影響[1]。目前，傳統磁選設備的改進和新型磁選設備的研制都針對磁團聚采取了相應的措施，即利用或破壞磁團聚以達到提高分選指標的目的。例如：筒式磁選機采用磁塊N-S極交替排列[2]、增加沖洗水[3]或超聲波[4]等措施破壞磁團聚；磁團聚重力選礦機利用上升水流對磁團聚的分散使磁性礦物得以多次富集[5]；磁選柱采用脈動磁場控制磁團聚的形成以達到磁性礦物多次分選的目的[6]；磁場篩選機采用弱磁場使強磁性礦粒形成磁團聚，在篩網作用下實現磁團聚與單顆粒脈石的分離[7]。但這些磁選設備的改進和研制往往停留在經驗層面，缺少堅實的理論指導，針對磁團聚的研究也僅停留在形式化描述上，對磁團聚的形成速度、磁團聚的結構及磁團聚分散技術等有關機理的研究相對薄弱，尚沒有形成統一的理論體系。國內外學者對磁團聚形成機理進行了相關研究。Senkawa等[8?12]對2個磁性顆粒間的磁相互作用進行了研究，得出了2個顆粒間磁作用的不同表達式；庫建剛等[13]計算了水溶液中兩磁性礦粒接觸所用的時間；謝強[14]計算了強磁性礦粒形成的磁鏈強度。但以上研究均未涉及磁團聚的動態形成過程及磁鏈的結構。本文作者以磁偶極子模型為基礎，分析了強磁性礦粒在礦漿中受到的各種作用力，得出了磁偶極子力和流體阻力是影響磁鏈形成的主要因素的結論，并采用迭代過程Verlet速度算法，建立了強磁性礦粒的動力學模型，模擬了在磁場作用下磁性礦粒從單顆粒到鏈狀結構的形成過程，為磁選設備的改進和研制提供了理論依據。

1 動力學模型

1.1 強磁性礦粒在磁選過程中受到的力

磁性礦粒在磁選機分選空間中不僅受到重力、磁力和流體黏性阻力的作用，同時也受到其他磁性礦粒的磁偶極子力以及礦粒間的碰撞作用[15]。因其粒徑為數十微米至毫米量級，在外加磁場作用下，分子熱運動對礦粒的影響非常微弱，可以忽略不計[16]。

磁性礦粒在水中受到的重力為

式中：為礦粒直徑，m；k和w分別為礦粒和水的密度，kg/m3；為重力加速度，m/s2。

礦粒在分選空間中的運動處于紊流區間，相對于介質的運動速度變化很大，雷諾數的變化范圍很廣，因此，可采Abraham[17]提出的球體阻力公式：

式中：為介質的密度，kg/m3；為礦粒相對介質的速度，m/s。

Coneha和Almendra[18]對式(2)進行了修正，取ψ=0.11，=4.53。式(2)可作為＜5 000的通用阻力公式，與李萊曲線吻合較好[19]。

磁性礦粒在磁分離空間中受到的磁力為：

式中：0為介質的磁導率，水的磁導率約為4π×10?7H/m；為磁性礦粒的磁化率，m3/kg；為磁性礦粒所處位置的磁場強度，A/m；grad為磁性礦粒所處位置的磁場梯度，A/m2。

濕式筒式弱磁選機的磁場強度為：

式中：為距磁選機磁鼓表面的距離，m。由式(3)和(4)可得，磁性礦粒在磁選機磁場中受到的磁力m為：

式中：為磁場的非均勻系數，=17.312。

磁性礦粒在磁選機分選空間中運動，在初始階段，礦粒間的距離相對較遠，因此，可以使用傳統的磁偶極子模型來計算礦粒間的相互磁作用力[20]。在磁場中，磁偶極矩分別為1和2的2個磁偶極子間的相互作用能[21]可表示為

式中：0為真空磁導率；為介質的相對磁導率；r為2個磁偶極子中心連線的單位矢量；為2個磁偶極子中心的距離。

當2個磁偶極子的極矩(大小和方向)相同時，式(6)可以簡化為

然后求F和F的合力，即為兩磁性礦粒間的磁作用力：

設一個強磁性礦粒的磁偶極矩為，磁性礦粒被磁化后會影響其他磁性礦粒的磁化，導致單個磁性礦粒的實際磁矩發生改變[22]。因此，磁性礦粒在磁場中的實際磁矩[23]取礦粒被充分磁化后的值：

1.2 磁偶極子力與其他力的比較

以攀枝花密地選廠濕式筒式弱磁選機和鈦磁鐵精礦為參考，假定礦漿濃度為20%，礦粒間的實際距離約為礦粒的直徑。根據式(1)，(2)，(8)，(9)及(10)，計算粒度相同的2個磁性礦粒間的磁偶極子力，將磁偶極子力與礦粒所受重力、水阻力和磁力進行比較，結果見圖1。

圖1 磁偶極子力與其他力的比值與礦粒粒度的關系

由圖1可以看出：隨著礦粒粒度的增加，mm/D呈先快速上升后趨于平緩的變化趨勢，而mm/和mm/m均呈先快速下降后趨于平緩的變化趨勢。當礦粒粒度大于0.01 mm時，磁偶極子力大于礦粒受到的重力、磁力和水阻力；當粒度為0.045 mm時，磁偶極子力分別是重力的39.1倍、磁力的15.0倍、水阻力的4.4倍；當礦粒粒度為0.20 mm時，磁偶極子力分別是重力的3.3倍、磁力的8.7倍、水阻力的16.0倍。因此，在礦粒粒度為0.01~0.30 mm的范圍內，磁偶極子力是磁性礦粒在磁選過程中受到的最主要的力。

1.3 動力學方程

由牛頓第二定律可得礦粒的動力學方程：

式中：為礦粒質量。

2 礦粒運動模型的算法

播種期的小麥病害主要以條銹病、白粉病、雪霉葉枯病和黃矮病為主，同時要防治地下害蟲。該時期的小麥剛萌發，物理防治會對苗有一定的損傷，一般以化學防治為主。在前期拌種時，可采用藥劑拌種控制苗期地下害蟲和蚜蟲危害，預防小麥黃矮病的發生。

礦粒運動時其位置、速度、加速度具有同步性，在數值模擬過程中，采用固定步長、先計算加速度再計算末速和位移的方法。計算采用迭代過程Verlet速度算法。礦粒的初始位置由隨機函數產生，初始速度為0 m/s，時刻礦粒的加速度為

設模擬時間步長為Δ，則+Δ時刻的速度為

+Δ時刻的位移為

計算機模擬時，式(13)和式(14)反復迭代。

本實驗分別對兩礦粒模型和九礦粒模型進行模擬。兩礦粒模型采用固定初始位置的方式進行，九礦粒模型較為復雜，如果計算所有礦粒間的磁偶極子力，計算過程將耗費大量的時間，由式(9)和式(10)可知，隨著礦粒間距的增大磁偶極子力迅速減小，因此，可采用等間距格子法，在計算單個礦粒受力時只考慮相鄰網格內的礦粒，可提高計算效率。具體方法為：設正方形區域的邊長為0.6 mm，整個模擬區域以=0.2 mm為大小劃分網格，每個礦粒的初始位置在每個格子的中心坐標(0，0)附近(0±50 μm，0±50 μm)具有隨機性，這樣不僅避免了礦粒的相互重疊，而且保持了礦粒間的平均距離，使礦漿濃度得以體現；礦粒間的碰撞采用完全非彈性碰撞，碰撞后作為整體繼續運動；設邊界無窮大，因此，可不考慮邊界碰撞。

3 模擬結果及分析

3.1 兩礦粒運動模擬

兩礦粒運動模擬采用設定初始位置和礦粒間距的方法，礦粒直徑取100 μm，兩礦粒中心距離為200 μm，兩礦粒中心連線與磁場方向的夾角分別取0°，15°，30°和45°，其他數據見表1。模擬了不同初始位置的兩礦粒在二維坐標中的位置隨時間的變化情況，見圖2。

表1 模擬參數

(a) 初始位置時兩球中心連線與磁場方向夾角為0°；(b) 初始位置時兩球中心連線與磁場方向夾角為15°；(c) 初始位置時兩球中心連線與磁場方向夾角為30°；(d) 初始位置時兩球中心連線與磁場方向夾角為45°；

從圖2可以看出：隨著兩礦粒中心連線與磁場方向夾角的增加，兩礦粒從初始位置到接觸所用時間變長，當夾角為0°時，兩礦粒從初始位置到接觸所用時間僅為5.5 ms；當夾角為30°時，所用時間僅為6.5 ms；當夾角為45°時，所用時間大于8 ms。兩礦粒中心連線與磁場方向夾角越大，礦粒在垂直磁場方向上的運動距離越大，而在磁場方向上運動距離越小，從0 ms到3.5 ms及從0 ms到5.5 ms兩礦粒主要做垂直磁場方向上的運動。兩礦粒運動模型的最終狀態較為相似，其中心連線與磁場方向平行或與磁場方向有一很小的夾角。

3.2 九礦粒運動模擬

九礦粒運動模擬的初始位置由計算機隨機產生，本次實驗采用兩組隨機初始數值(見表1)，模擬了九礦粒在二維坐標中的位置隨時間的變化情況，見圖3。

(a) 第1次模擬結果；(b) 第2次模擬結果

從圖3可以看出：2次模擬中首先出現的均是兩礦粒的接觸，所用時間小于5 ms，隨著時間的延長，磁鏈逐漸變長；間距相對較小的磁性礦粒接觸所用時間相對較短；當礦粒間距比較均勻時，磁鏈的形成過程相對較慢，與第1次模擬時相比，第2次模擬時磁鏈形成速度較慢；磁性礦粒最終沿外磁場方向呈鏈狀結構排列。模擬中也有一些特殊的情況出現，如單個礦粒與磁鏈出現加塞，如圖3(a)所示；因受到的合力接近0 N，也會出現單個礦粒絕對位置變化不大的情況。

4 結論

1) 當礦粒直徑為0.01~0.30 mm時，礦漿中兩強磁性礦粒間的磁偶極子力大于礦粒受到的重力、磁力和水阻力，且隨著礦粒直徑的增大，磁偶極子力與重力、磁力的比值呈先快速下降后緩慢下降的變化趨勢，磁偶極子力與水阻力的比值則呈先迅速上升后緩慢上升的變化趨勢。

2) 隨著兩礦粒中心連線與磁場方向夾角的增大，兩礦粒從初始位置到接觸所用時間變長，兩礦粒在垂直磁場方向上的運動距離變大，而在磁場方向上的運動距離變小。

3) 模擬中首先出現的是兩礦粒的接觸，所用時間小于5 ms，隨著時間的延長，磁鏈會逐漸變長，礦粒最終沿外磁場方向呈鏈狀結構排列。

4) 九礦粒模擬過程中間距相對較小的磁性礦粒先接觸，當礦粒間距比較均勻時，各個礦粒受力較為平衡，接觸所用時間相對較長。

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Force analysis and dynamic simulation of ferromagnetic mineral particles in magnetic separation process

KU Jiangang1, CHEN Huihuang2, HE Kui1, YAN Quanxiang1

(1. College of Zijin Mining, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China;2. School of Chemistry and Chemical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Based on magnetic dipole magnetic field distributing theory, forces acting on ferromagnetic mineral particles in magnetic field were calculated. The Velocity Verlet algorithm was adopted to simulate the two-dimensional dynamic interaction of two magnetic particles and nine magnetic particles respectively. The results show that the magnetic interaction force and viscous drag are the primary factors affecting the agglomeration of magnetic particles and the magnetic dipole force is the main force acting on ferromagnetic mineral particles in magnetic separation process. Furthermore, the dynamic processof the interaction between two magnetic particles is determined by the strength and direction of the external magnetic field. The time it takes for the two magnetic mineral particles to meet each other from the initial position is less than 8.3 ms. Additionally, the dynamic processof the interaction of nine magnetic particles is affected by the initial position (randomly assigned) and the time for the nine particles to form magnetic chains from the initial position is less than 30 ms. Magnetic mineral particles eventually agglomerate into chain aggregate structure along the direction of external magnetic field.

magnetic dipole; magnetic mineral particle; magnetic separation; dynamic simulation

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.05.001

TD924

A

1672?7207(2015)05?1577?06

2014?04?01；

2014?06?16

國家自然科學基金資助項目(51104048)；福州大學科技發展基金資助項目(600360)；福州大學科研啟動基金資助項目(022387) (Project(51104048) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(600360) supported by the Science and Technology Development Foundation of Fuzhou University; Project(022387) supported by the Scientific Research Foundation of Fuzhou University)

庫建剛，博士，副教授，從事磁性礦物分離和復雜礦綜合利用研究；E-mail: kkcc22@163.com

(編輯 趙俊)