全數字差拍頻率測量方法

朱祥維，龔航，黃新明，歐鋼

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全數字差拍頻率測量方法

朱祥維，龔航，黃新明，歐鋼

(國防科技大學電子科學與工程學院，湖南長沙，410073)

針對目前衛星導航系統中原子頻率標準的高精度頻率測量需求，提出一種全數字差拍頻率測量方法，對被測標準頻率信號直接進行數字采樣，以解決模擬差拍頻率測量方法受溫度影響大的問題。利用最大似然估計實現相位估計，采用相位差分完成頻率測量，并引入小波閾值去噪處理進一步提高相位估計精度。研究結果表明：當測量間隔為1 s、估計點數為3 000時的頻率測量精度為2.0×10?14/s，經過小波閾值去噪處理后頻率測量精度達到10?15/s量級。

頻率測量；差拍；相位估計；小波閾值去噪

隨著衛星導航系統的發展，其定位精度越來越高，相應頻率標準的準確度和穩定性提高得非常快，目前導航系統中所用的原子頻率標準的秒級穩定度能達到10?15/s甚至更高，相應地對精密頻率測量方法的測量精度提出了較高要求[1?2]。衛星導航系統中使用的原子頻率標準屬于精密頻率標準，精度較高，對測量方法、測量設備及測量環境等條件要比普通頻率測量要求高得多。常用的精密頻率標準測量方法包括相位比對法、拍頻法和雙混頻器時差測量等[3?4]。其中，相位比對法常常被用于頻標準確度和長期指標的比對，后2種方法主要用于短期穩定度的比對。比相法廣泛地用于頻率準確度和長期穩定度的測量，可以達到很高的比對精度，比對的相對誤差為10?16/s量級。由此可以用來測量頻率穩定度、頻率的長短期指標等，但比相法的時間響應比較慢，難以用在短期指標比對中。雙混頻時差測量的精度較高，對時間間隔的測量要求不高，但是其測量精度受到放大器、混頻器噪聲的限制[4]。差拍法具有較高的頻率測量分辨率，方案簡單、精度高，通過拍頻后測量精度提高了差拍因子倍，并且計數器只需要檢測低頻信號，有利于計數器的實現，但計數器的時標精度以及由于對信號整形引入的誤差、設備本底噪聲等限制了測量精度的提高[4]。鑒于差拍測量方法的這些特性，可以考慮對差拍頻率測量的實現結構進行重新設計，采用數字化方法進行改進[5?7]。若改進后能夠提高測量精度，則數字化后的差拍測頻法與其他方法相比，將具有較高頻率測量分辨率以及方案簡單的優勢。文獻[4，8]提出了基于虛擬儀器的差拍頻率計，雖然測量精度達到了10?14/s，但實現方案中仍然包含模擬混頻等模塊，沒有充分體現數字化的優勢。為此，本文作者提出一種全數字化差拍頻率測量方法，通過數字信號處理技術，完成高精度頻率測量。

1 差拍頻率測量法

差拍頻率測量是一種通過普通的周期計數器獲得高分辨率的經典頻率測量方法[4, 8]，其基本原理是模擬混頻及周期計數，將待測信號與作為參考的基準頻率信號進行混頻處理，以得到待測信號相對于參考信號的頻差信號即差拍信號。由于差拍信號頻率較低，故可以采用普通計數器對差拍信號周期進行計數以實現對頻率進行測量。差拍頻率測量法通過提取待測信號相對于參考信號的相位差信息作為差拍信號，得到的差拍信號頻率遠小于原待測信號，因此，與直接測頻法相比，大大提高了測量分辨率。差拍頻率測量法的原理如圖1所示。混頻器兩端輸入的信號先經過放大器調理，然后得到疊加了噪聲和多次諧波的差拍信號，通過低通濾波器濾除諧波和噪聲，最后用周期計數器測量。

圖1 差拍頻率測量法原理框圖

由于混頻對頻率的下變頻作用，可以將頻率測量分辨率提高差拍因子倍。例如，當待測頻率標稱值x為10 MHz，參考頻率r為10 Hz至10 MHz時，混頻后的差拍信號頻率=10 Hz，若計數器時標為0.1 μs，則由計數器誤差引起的周期測量相對誤差Δ為

則差拍因子為

總分辨率為

在上述條件下，差拍頻率測量法較直接用計數器將分辨率提高了差拍因子倍。

差拍頻率測量法主要誤差來源除了計數器引入的觸發誤差、計數誤差外，還應該包括混頻器、低通濾波器等器件引入的噪聲對測量結果的影響。

2 全數字精密頻率測量方法

2.1 測量原理

全數字精密頻率測量方法的實現框圖如圖2所示。采用直接采樣的方式實現全數字化測量，在數字端對待測信號進行混頻處理，得到差拍信號，然后通過數字信號處理的方法實現精密頻率測量。數字域上的測頻是通過相位估計實現的，即首先得到相位的估計值，然后利用相位差分得到頻率估計值。

圖2 數字化差拍頻率測量法原理框圖

設待測頻率標稱值x，參考頻率為r，混頻后的差拍信號頻率p=x?r。對被測信號采樣后，信號可以表示為

其中：s為采樣頻率；為離散采樣點間隔。經過混頻合路得到的差拍信號可以表示為

對差拍信號的I/Q支路分別進行低通濾波和抽取等操作，然后對差拍信號進行頻率估計從而完成頻率測量。數字化精密頻率測量通過相位估計完成頻率的精密測量，數字精密頻率測量的原理圖如圖3所示。

圖3 數字精密頻率測量的原理示意圖

設1次測量間隔期間估計的2個相位值分別為1及2，1次測量周期含有個差拍周期，則數字域上測量得到的差拍頻率可表示為

可以看出頻率估計的精度和相位估計精度直接相關，下面分析相位估計方法及其精度，然后介紹頻率估計方法及其精度，從而得出新方法的測量精度。

2.2 相位估計方法

采樣得到的信號是正弦信號，因此，本文的相位估計問題是高斯白噪聲下的已知幅度和頻率的正弦信號的相位估計問題。相位估計可以采用最大似然估計(MLE)，該方法可視為漸進無偏的和漸進達到CRLB，因此，它是漸進最佳的。根據文獻[9?10]，正弦信號相位的MLE可以近似表示為

同樣根據文獻[9]，離散采樣下頻率已知正弦信號的相位估計方差為

其中：為信號幅度；為用于估計的采樣點數；2為高斯白噪聲方差；相位估計時的信噪比。

2.3 頻率估計方法

得到相位估計值后，就可以對頻率進行估計。本文利用相位差分實現頻率估計。值得說明的是：這里估計的頻率為差拍信號的頻率，待測頻率的頻率還需要加上參考頻率。設前、后2次的測量間隔為，測量相位估計值為及，則頻率估計值可以表示為

頻率估計值分為2部分：整數頻率部分為整數倍的標準差拍頻率，可以通過測量間隔和差拍頻率確定；小數頻率部分為1個標準差拍頻率以內的頻率估計值?？梢钥闯鲱l率測量精度主要由小數頻率估計精度決定。

根據式(8)，可以得到頻率估計值的方差為

2.4 頻率測量精度

上面給出了數字域上進行相位估計和頻率估計的方法和精度分析，下面分析全數字化差拍頻率測量方法的測量精度。

定義頻率測量精度為頻率測量值減去頻率真實值然后除以頻率真實值的均方根，則本文提出的數字化差拍頻率測量方法的頻率測量精度為

從式(11)可以看出：全數字差拍頻率測量方法的測量精度與輸入信噪比SN、用于相位估計的點數以及測量間隔有關。輸入信噪比越大，則測頻精度越高。類似地，用于相位估計的點數越多、測量間隔越大，測頻精度越高。下面的數值仿真部分將通過仿真分析驗證這些因素對測頻精度的影響。

上面諸多因素中，SN由ADC決定。ADC量化噪聲會導致信噪比降低，進而影響相位估計精度。ADC量化引入的噪聲通?？梢哉J為是一種加性白噪聲。參考文獻[11]，數字信號處理中經常使用的簡化的等效計算公式為

其中：為ADC 的量化比特位；s為采樣率；為信號帶寬。

現有的高性能ADC芯片有8位、12位、14位以及16位的，在本文的分析仿真中，ADC 量化位數統一取14 bits，不加幅度噪聲和采樣時鐘噪聲，在這種情況下得到的信噪比SN約為86 dB。

2.5 小波閾值去噪

由式(11)可知：頻率測量精度和采樣信號的信噪比相關，若能夠抑制采樣信號中的噪聲項，則能夠有效提高測量精度。小波去噪是通過小波變換分離出噪聲或其他不需要的信息，從而實現降噪。小波去噪在信號預處理方面應用廣泛，特別是小波閾值去噪易實現且效果良好。其基本思想基于如下假設：攜帶信息的原始信號在頻域或小波域能量相對集中，表現為能量密集區域的信號分解系數絕對值較大，而噪聲信號的能量譜相對分散，所以，其系數的絕對值小。這樣，通過設定閾值的方法可以過濾掉絕對值小于一定閾值的小波系數，從而達到降噪的效果。

小波閾值去噪的具體實現方法可參考文獻[12?13]。本文小波變換采用的小波基是SymletsA小波族中的sym4小波。

3 數值仿真

為了驗證本文提出的全數字差拍頻率測量方法，進行數值仿真驗證，并與理論頻率測量性能進行對比。輸入頻率為10 MHz標準頻率信號，采樣頻率取為21 MHz。用于相位估計的點數及測量間隔均根據仿真條件設置。ADC 量化位數為14 bits，相應的信噪比約為86 dB。下面首先分析用于相位估計的點數N以及測量間隔與頻率測量精度的關系，然后給出數字化測頻方法的測量精度，最后仿真分析小波閾值去噪對測量精度的提升作用。需要注意的是：頻率測量精度均是指數字域的頻率估計精度，對于包括數字差拍處理在內的整個方法的測量精度，需要再除以差拍因子。

3.1 估計點數對測量精度的影響

由式(8)和(11)可知：用于相位估計的估計點數越多，相位估計精度就越高，頻率測量精度就越高。為了仿真驗證估計點數對頻率測量精度的影響，在相同的輸入信噪比條件下對估計點數分別為3 000，6 000，9 000和15 000條件下的頻率測量精度進行數值仿真，其中測量間隔為1 s，仿真結果如表1所示。

表1 估計點數不同時的理論和仿真頻率測量精度

由表1可知：用于相位估計的點數越多，頻率測量值就越精確，這與理論結果是相符的；估計點數不同時的理論和仿真頻率測量精度理論值與仿真值較吻合，估計點數為6 000，9 000及15 000時的頻率測量精度分別是估計點數為3 000時的倍、倍以及倍。

3.2 測量間隔對測量精度的影響

測量間隔為1，2，3以及5 s時的頻率測量精度如表2所示，仿真條件與前述仿真類似，其中估計點數為3 000。從表2可以看出：隨著測量間隔的增加，相位估計精度越高，頻率測量值也越來越精確；同時，理論頻率精度與頻率仿真測量精度較吻合，測量間隔為2，3及5 s時的頻率測量精度分別是測量間隔為1 s時的2倍、3倍以及5倍。

表2 測量間隔不同時的理論和仿真頻率測量精度

3.3 測量精度

前面探討了估計點數和測量間隔對測量精度的影響，下面給定估計點數和測量間隔，仿真驗證本文提出的全數字差拍頻率測量方法的測量精度。當測量間隔為1 s、估計點數為3 000時測量精度如圖4、圖5以及表3所示。

圖4 相位估計誤差值

圖5 頻率估計誤差值

表3 理論和仿真頻率測量精度

從表3可以看出相位和頻率估計精度都與其理論精度相近，證明了本方法的正確性。仿真結果表明：在給定條件下，本方法的頻率測量精度為 2.018×10?7/s，若待測頻率為10 MHz，則差拍因子為107，可以得到本文提出的數字化頻率測量方法測量精度為2.018×10?14/s。同時，可以推斷出：若增加估計點數，則頻率測量精度可以達到10?15/s，滿足當前高精度精密頻率測量的需求。

3.4 小波閾值去噪對測量精度的影響

小波閾值去噪可以有效地降低白噪聲的影響，提高頻率測量值的估計精度。為了驗證小波閾值去噪對測量精度的影響，對仿真得到的相位估計值進行小波去噪，得到去噪后的相位估計值和頻率測量值如圖6與圖7所示。

圖6 小波閾值去噪后的相位測量值

圖7 小波閾值去噪后的頻率測量值

從圖6和圖7可以看出：經過小波閾值去噪后，白噪聲對測量結果的影響得到了充分抑制，使得測量精度提高1個數量級以上。同時，經過小波閾值去噪后的相位估計值和頻率估計值在某些值上出現了較大波動，類似于吉布斯現象，這是由小波去噪時閾值的選取所致。通過改進相應的閾值選取可以減弱或避免這種現象，具體方法見文獻[14?15]。

4 結論

1) 提出了一種全數字差拍頻率測量方法，采用全數字信號處理方法克服了模擬差拍頻率測量方法受溫度影響大的缺點。

2) 提出的頻率測量方法的測量精度與輸入信噪比、用于相位估計的點數以及測量間隔有關。輸入信噪比越高，測頻精度越高。同樣，用于相位估計的點數越多、測量間隔越大，測頻精度越高。

3) 當測量間隔為1 s、估計點數為3 000時，頻率測量精度為2.0×10?14/s，經過小波閾值去噪處理后頻率測量精度達到10?15/s量級。衛星導航系統中所用的頻率基準(即原子鐘)的最高精度大約為10?15/s，提出的數字化頻率測量方法可以滿足衛星導航系統中的精密頻率測量需求。

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(編輯 陳燦華)

All-digital beat-frequency measurement method for precise frequency standard comparison

ZHU Xiangwei, GONG Hang, HUANG Xinming, OU Gang

(School of Electronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

An all-digital beat-frequency measurement method was proposed to meet high measurement requirement of atomic oscillators widely used in global position system. The measurement frequency signal was directly sampled without any analogue processing to avoid the influence on environment. The method adopted the maximum likelihood estimation (MLE) to acquire phase estimation values, and frequency measurement was realized by phase difference estimation. The wavelet threshold de-noising was introduced to improve the precision of phase estimation. Performance of the method was analyzed and verified by simulation. The results show that when the frequency measurement precision reaches 2.0×10?14/s and measurement points reaches 3 000, the frequency measurement precision reaches 10?15/s order with wavelet threshold de-noising.

frequency measurement; beat-frequency; phase estimation; wavelet threshold de-noising

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.018

TF803.21

A

1672?7207(2015)04?1296?06

2014?06?18；

2014?08?27

國家自然科學基金資助項目(61403413)(Project (61403413) supported by the National Natural Science Foundation of China)

朱祥維，副研究員，從事衛星導航系統及時間同步技術研究；E-mail：zhuxiangwei@nudt.edu.cn