基于一類新窗的滑動DTFT相位差測量算法及分析

沈廷鰲，涂亞慶，李明，張海濤

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基于一類新窗的滑動DTFT相位差測量算法及分析

沈廷鰲，涂亞慶，李明，張海濤

(后勤工程學院信息工程系，重慶，401311)

為更好地抑制頻譜泄露的影響，增強算法的動態性能，提高相位差測量精度，在傳統DTFT算法的基礎上，施加通過若干矩形窗進行卷積運算構造出的一類新窗，計及負頻率成分的影響，利用滑動遞推的思想，提出一種基于一類新窗的滑動DTFT相位差測量算法，并闡述算法原理、公式推導過程及算法實現步驟。研究結果表明：該算法計算量較小，實現簡單，應用于相位差測量可有效減小頻譜泄露引起的測量誤差，能夠獲得比傳統DTFT算法更高的相位差測量精度。實驗分析與應用驗證結果均證實了該算法的有效性和可行性。

相位差；DTFT；余弦窗；頻譜泄露；負頻率

振動信號的相位差測量在信號分析、工業測量、故障診斷、電力系統等領域均有廣泛應用，例如，在高精度的雷達精密定位上，依賴于對同頻信號相位差的高精度測量[1]；電網電能計量中功率因素的確定涉及相應電壓與電流間相位差的準確測量[2]；在高精度流量測量領域得到廣泛應用的科氏流量計，相位差的測量精度直接影響流體質量測量精度[3]。因此，實現對相位差的高精度測量顯得尤其重要。目前，相位差的測量方法較多，其中數字相關法[4?5]和頻譜分析 法[6?7]是應用和研究較多的2種方法。數字相關法具有較強的噪聲抑制能力，但難以消除諧波干擾，且算法要求對周期信號實行嚴格地整周期采樣。頻譜分析法是利用傅里葉變換將時域信號變換到頻域再進行處理，算法要求同步采樣。在非同步采樣的條件下，為提高測量精度，通常采用加窗或插值辦法減小頻譜泄露的影響。然而，當信號頻率很低或者接近奈奎斯特頻率(即采樣頻率的一半)時，上述方法的測量精度均不太理想，且此類信號在儀器儀表、振動工程、狀態檢測與故障診斷等領域均大量存在，例如，當待測信號頻率較低、采樣頻率遠高于待測頻率時，待測頻率在頻譜中就處于相對低頻的位置[8]；在故障診斷領域，受硬件條件及成本等因素的影響，當現有采樣裝置的采樣頻率限定為1 024 Hz時，旋轉機械轉子系統松動故障產生的10倍頻間諧分量為500 Hz，信號頻率就接近奈奎斯特頻率[9?10]。對此類信號進行分析，除了頻譜泄露和柵欄效應外，負頻率成分的干涉也是影響其精度的重要原因。如何減小頻譜泄露和負頻率成分的影響，已引起很多學者的關注，但在測量精度和計算復雜度等方面均有待進一步完善。為更好地抑制頻譜泄露的影響，文獻[11]提出了組合雙窗的概念，并結合DFT算法進行相位差測量，獲得了比傳統加窗DFT更高的計算精度。受其啟發，本文作者在傳統DTFT算法的基礎上，施加由若干矩形窗進行卷積運算構造出一類新窗(本文著重闡述2階卷積窗和4階卷積窗的構造過程及特點)，計及負頻率成分的影響，并利用滑動遞推的思想，提出一種基于一類新窗的滑動DTFT相位差測量算法，以增強算法的動態性能，提高算法的相位差測量精度。給出算法原理、公式的推導過程及算法實現步驟，并與傳統DTFT算法進行比較分析。

1 算法原理及實現

1.1 新窗的構造及特點

文獻[13]提出2個矩形窗通過卷積運算可構造得到一種新窗，稱為矩形雙窗。該窗具有更快的旁瓣衰減速率，能更好地抑制頻譜泄露的影響。其構造過程如下。

長度為的矩形窗時域和頻域表達式分別為：

通過將2個長度為的矩形窗進行卷積運算，得到1個長度為2?1的新序列，在新序列的首部或尾部加上1個0，即可得到長度為2的矩形雙窗。本文在首部加0，并令2，可得矩形雙窗的時域和頻域表達式分別為：

采用類似方法，由若干矩形窗進行卷積運算，并適當地加0，可得到一類新窗，定義為矩形自卷積窗(簡稱為卷積窗)，并把進行卷積的矩形窗的個數定義為階數。為此，將4個長度為的矩形窗進行卷積運算，得到長度為4?3的新序列，在新序列的前面加上2個0，后面加上1個0，即可得到長度為4的4階卷積窗。令4，其時域和頻域表達式分別為

由上述構造方法可以得出：將個相同長度的矩形窗進行?1次卷積運算，再在卷積序列的前面加/2個(為偶數時)或(?1)2個(為奇數時) 0，在序列后面加(?2)/2個(為偶數時)或(?1)/2個(為奇數時) 0，即可得到階卷積窗。在頻域，其DTFT表達式為

考察式(7)不難發現：階卷積窗的主瓣寬度為，階數越高，主瓣越寬。為了避免降低頻譜分辨率，卷積窗的階數一般不超過4。另外，卷積窗在處的頻譜幅值為0，且在這些零點處的1~?1階導數均為0，即卷積窗頻譜在零值點附近取值非常平坦。卷積窗具有良好的譜泄漏抑制效果，本文選擇2階卷積窗和4階卷積窗進行下一步研究。

1.2 加窗的DTFT算法

1.2.1 DTFT相位差測量原理

設兩路同頻率的實正弦信號為

式中：=0，1，…，?1；1和2為信號的幅度；1和2為信號的初相。設為的估計值，則信號在處的DTFT為

忽略負頻率成分的影響，只計算正頻率部分，則

(10)

用1和2分別表示和的相位，用表示兩路信號的相位差，則可得

式(11)即為傳統DTFT法測量相位差的基本原理。從式(11)可以看出：傳統DTFT法測量相位差時忽略了負頻率成分的影響，當負頻率成分影響較小時，采用傳統DTFT法能較準確地計算出相位差；當信號頻率很低或接近奈奎斯特頻率時，負頻率成分影響顯著增大，導致傳統DTFT法的測量精度明顯下降甚至無法測量。為此，本文在傳統DTFT法的基礎上，提出一種計及負頻率成分影響的相位差測量算法，分別推導加2階卷積窗和4階卷積窗所對應的相位差測量 公式。

1.2.2 加2階卷積窗的測量算法

對于式(8)中的兩路同頻正弦信號，用長度為的2階卷積窗對信號進行加權截斷，得到加窗信號在處的DTFT為

需要說明的是，根據頻域卷積定理，時域相乘對應于頻域卷積，因此，也可理解為

進而求得

在一般情況下，當信噪比不是特別低時，采用自適應陷波器或離散頻譜校正的方法所求得信號的頻率值與真實值很接近，可近似認為，，代入式(15)可得

式中：

式(16)即為基于2階卷積窗的DTFT相位差計算公式。當時，可推導得到與式(16)完全相同的相位差計算公式。因此，在實際計算過程中，無需事先判斷是否等于。此外，算法的推導過程中考慮了負頻率成分的影響，故通過式(14)還能準確求出兩路信號的初始相位。

1.2.3 加4階卷積窗的測量算法

式(5)和式(6)分別給出了4階卷積窗的時域和頻域表達式，參照加2階卷積窗的DTFT相位差計算公式的推導過程，可得到2路信號的相位差為

式中：

1.3 滑動DTFT遞推算法

對于觀測信號()，設時刻開始采樣得到個采樣數據()，(+1)，…，(+?1)。點滑動時間差見圖1。這個數據可理解為采用寬度為的矩形窗對信號進行截取所得到的，則該有限長序列的DTFT為

(a) Window時刻；(b) Window+1時刻

圖1點滑動時間窗

Fig. 1 Sliding time window forpoints

在+1時，得到新采樣點(+)，剔除()，則由個采樣數據(+1)，(+2)，…，(+?1)和(+)組成的新的采樣序列在處的DTFT為

點滑動時間窗如圖1所示。比較式(18)和式(19)可以看出：若指定為信號在第號矩形窗內最后1個采樣點處的頻率，則信號在第+1號矩形窗內用來計算是不準確的，因為2個相鄰窗有?1個采樣點相同。由于矩形窗的寬度很短，相鄰2點和的變化很小，于是，對式(19)進行修正為

(20)

式(20)即為滑動DTFT的遞推公式。

對于傳統DTFT法，每計算1點新的DTFT，均需要進行點常規的DTFT運算，共需要次復數乘法和?1次復數加法，從圖1可以看出：傳統DTFT法還存在?1點的冗余計算。遞推算法由于利用相鄰2個矩形窗存在的遞推關系，每采入1點新的數據后，只需進行2次復數加法和2次復數乘法，整個算法只需在第1個窗內進行常規的DTFT運算，消除了冗余計算，且不存在不斷疊加溢出的問題，大大降低了計算量，并能反映實際信號頻率變化的特性，增強了算法的動態性能。

1.4 算法實現步驟

本文所提的基于一類新窗的滑動DTFT相位差測量算法的實現步驟如下。

2) 在第1個矩形窗內的采樣序列進行常規DTFT運算。

3) 在頻域加2階卷積窗或4階卷積窗進行卷積運算，分別求出和。

5) 利用滑動DTFT遞推公式(20)，求出2路信號在任意指定頻率處的DTFT。

6) 重復步驟3)和4)，從而可求得2路信號在任意時刻的相位差。

需要指出的是：基于一類新窗的滑動DTFT相位差計算公式的推導過程中，由于未進行任何近似和省略，因此，在無噪聲背景下，當準確已知時，通過式(16)或(17)求得的相位差在理論上誤差為0；當未知時，的估計值越準確，則相位差的計算精度越高。

2 實驗分析與應用驗證

為驗證本文所提算法的有效性，首先采用單一頻率實正弦信號，分別在有無噪聲、采樣點數變化和頻率波動的情況下，對本文算法(加2階卷積窗和加4階卷積窗)與DTFT法進行比較分析，然后利用本課題組研制的科氏流量計實驗平臺進行應用驗證。在實驗分析中，采樣點數取1 024點，采樣頻率為1 000 Hz，頻率分辨率為0.976 6 Hz，2路信號的相位差為1.8°。

2.1 噪聲影響

圖2所示為無噪聲背景下頻率很低或接近Nyquist頻率時，傳統DTFT法和本文算法(加2階卷積窗和加4階卷積窗)在不同頻率處相位差的相對誤差。信號頻率取值范圍分別為1.0~10.0 Hz和490.0~499.0 Hz，變化步長均為0.1 Hz。從圖2可以看出：當頻率很低或接近Nyquist頻率時，傳統DTFT法的測量誤差均較大，而本文算法均具有很高的測量精度。其原因為：在頻率很低或接近Nyquist頻率時，旁瓣干涉較大，本文算法施加了一類新窗并計及負頻率成分的影響，有效地抑制了頻譜泄露的影響，所以能獲得較高的測量精度。隨著信號頻率遠離低頻或者Nyquist頻率時，信號頻率從2.0 Hz開始逐漸增大或從498.0 Hz開始逐漸減小，加4階卷積窗的測量精度明顯高于加2階卷積窗的測量精度。其原因為：4階卷積窗的主瓣比2階卷積窗的主瓣寬，過于靠近兩端的頻率時，4階卷積窗比2階卷積窗更容易產生主瓣干涉，進而影響算法測量精度；隨著信號頻率遠離低頻或者Nyquist頻率，主瓣干涉的影響將減小，4階卷積窗將體現出比2階卷積窗更好的譜泄漏抑制效果。圖形均呈現震蕩趨勢，是因為當信號頻率靠近頻率分辨率的整數倍時，負頻率成分的影響較小。

1—DTFT法；2—本文算法加2階卷積窗；3—本文算法加4階卷積窗

為更直觀地比較算法的測量精度，在加噪聲的情況下，選擇較短的、在信號頻率很低或接近Nyquist頻率的信號頻率取值范圍內對算法進行實驗比較分析，頻率取值分別為0.5~2.0 Hz和498.0~499.5 Hz，變化步長均為0.05 Hz。圖3所示為當信噪比NR=25 dB，頻率很低或接近Nyquist頻率時，分別采用DTFT法和本文算法(加2階卷積窗和加4階卷積窗)，經200次獨立實驗得到的相位差估計均方誤差隨頻率變化的曲線。從圖3可以看出：當頻率為0.5~2.0 Hz時，DTFT法的測量精度隨著頻率的增大有逐漸提高的趨勢，其中在靠近0.5，1.0，1.5和2.0 Hz附近精度較高，接近本文算法計算精度，本文算法始終保持著較高的測量精度；當頻率為498.0~499.5 Hz時，DTFT法的測量精度隨著頻率的增大有逐漸減小的趨勢，其中在靠近498.0，498.5，499.0和499.5 Hz附近精度較高，接近本文算法計算精度，而本文算法始終保持著較高的測量精度。其原因為：在頻率很低(靠近0.5 Hz)或接近Nyquist頻率(靠近499.5 Hz)時，負頻率成分會產生旁瓣干涉，進而影響傳統DTFT法的相位差測量精度；在頻率遠離這兩端尤其當信號頻率靠近頻率分辨率的整數倍時，負頻率成分的影響較小，傳統DTFT法接近本文算法測量精度。而本文算法考慮了負頻率成分的影響，并施加了一類新窗，有效地抑制了頻譜泄露的影響，所以能始終保持著較高的測量精度；此外，隨著信號頻率遠離低頻或者Nyquist頻率時，加4階卷積窗信號比加2階卷積窗的測量效果更好，這也證明了理論分析的正確性。

1—DTFT法；2—本文算法加2階卷積窗；3—本文算法加4階卷積窗

2.2 采樣點數變化影響

為考察采樣點數變化對相位差測量精度的影響，給出在迭加白噪聲的情況下，取信號頻率為2.5 Hz，采樣點數在100~1000范圍內變化時相位差均方誤差的變化曲線，如圖4所示。從圖4可以看出：當信號頻率靠近頻率分辨率的一半的整數倍時，負頻率成分的影響較小，DTFT法精度接近本文算法精度；隨著采樣點數的增加，DTFT法的測量精度明顯提高，而本文算法的測量精度提高較小；本文算法始終保持著較高的測量精度，說明本文算法在較少采樣點數的情況下也可獲得較高的測量精度。此外，當采樣點數增加到滿足一定采樣點數時，再增加采樣點數也不會明顯提高相位差的測量精度。

1—DTFT法；2—本文算法加2階卷積窗；3—本文算法加4階卷積窗

2.3 頻率波動影響

為考察頻率波動對相位差測量精度的影響，模擬科氏流量計相位差測量實驗進行比較分析。首先產生2路加高斯白噪聲的正弦時變信號，采用自適應格型陷波器進行濾波以求其頻率，然后對濾波后的信號分別采用DTFT法和本文算法測量相位差。由于本文算法中采用2階卷積窗和4階卷積窗的精度相當(4階卷積窗的效果略好于2階卷積窗)，在圖形中2條曲線基本重合，本文在此僅選擇4階卷積窗進行對比實驗。設信號頻率為146 Hz(采樣頻率遠高于信號頻率，可視為頻率很低的情況)，采樣頻率為10 kHz，采樣點數為20 000，信噪比為25 dB，相位差呈線性變化。由于陷波器存在一個收斂過程，為去除收斂過程帶來的影響，選取從3 000點以后開始進行相位差的計算，圖5所示為2種算法的相位差估計曲線。從圖5可以看出：本文算法在噪聲條件下，能實時跟蹤相位差的線性變化，能始終保持著較高的測量精度，而DTFT法隨著采樣點數的不斷增加，測量誤差越來越大。其原因是：傳統DTFT法需要取較長的數據點數才能保證算法的測量精度，從而影響該算法的實時性；隨著采樣點數的不斷增加，測量精度下降；而本文算法計及負頻率成分的影響，采用較短的數據點數就可獲得較高的測量精度，并采用滑動遞推的思想，減小了計算量，消除了冗余計算，增強了算法的實時和動態性能；采用4階卷積窗有效地抑制了頻譜泄露的影響，所以，對動態信號能始終保持較高的測量精度。

1—DTFT法；2—理論值；3—本文算法加4階卷積窗

2.4 應用驗證

為進一步考察本文所提算法的實際效果，利用圖6所示的科氏流量計實驗平臺進行實驗驗證。在實際應用中，因流體特性和流量狀態不同，科氏流量計信號頻率呈現出時變特性，采用自適應格型陷波器進行實時跟蹤估計，然后分別采用DTFT法和本文算法(加4階卷積窗)測量相位差，進而計算時間差。流量計振動信號的頻率約為146 Hz，采樣頻率為10 kHz。由于現有技術條件的限制，無法得到每點的實際相位差和時間差，可根據流量計的性能曲線，將實際流量換算成相應的時間差，以此作為時間差的理論參考值來估計相對誤差。表1所示為不同流量下應用DTFT法和本文算法計算得到的時間差均值及相對誤差。從表1可見：本文算法(加4階卷積窗)的計算結果更接近理論參考值，精度更高，這也證實了本文算法在實際應用中是實用、有效的。

表1 不同流量下的時間差均值及相對誤差

圖6 科氏流量計實驗平臺示意圖

3 結論

1)采用由卷積運算構造出的一類新窗、計及負頻率成分的影響以及采用滑動遞推的思想，提出一種基于一類新窗的滑動DTFT相位差測量算法。

2) 本文所提算法能更好地抑制頻譜泄露的影響，在有無噪聲、采樣點數變化和頻率波動的情況下，均能始終保持較高的測量精度；應用于實際的科氏流量計相位差測量，同樣能始終保持較高地測量精度，可適用于高精度的相位差測量應用場合。

3) 采用的一類新窗能夠有效地抑制頻譜泄露；采用滑動遞推的思想，減小了算法的計算量，增強了算法的實時和動態性能。與傳統DTFT法相比，該算法性能有很大提高，能實現相位差的高精度測量，可應用于工程實際。

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(編輯 陳燦華)

New sliding DTFT algorithm for phase difference measurement based on a new kind of windows and its analysis

SHEN Tingao, TU Yaqing, LI Ming, ZHANG Haitao

(Department of Information Engineering, Logistical Engineering University, Chongqing 401311, China)

In order to obtain a stronger inhibition of spectral leakage, a better dynamic characteristic and a higher accuracy of phase difference measurement, a new sliding DTFT algorithm for phase difference measurement based on a new kind of windows was presented, which was based on the traditional discrete time Fourier transform (DTFT) algorithm, and a new kind of windows was adopted by conventional cosine window combined with negative frequency contribution and the idea of sliding recursive. Its principle, the process of formula derivation and achievement method were also detailed. The results show that the algorithm has less computer work and is easy to be realized. When the algorithm is applied to phase difference measurement, the measuring error caused by spectral leakage can be reduced, and the new method obtains a higher precision than conventional method of cosine window DTFT does. Simulations and engineering applications verify the feasibility and effectiveness of the proposed method.

phase difference; discrete time Fourier transform; cosine window; spectral leakage; negative frequency

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.019

TN911

A

1672?7207(2015)04?1302?08

2014?05?12；

2014?06?22

國家自然科學基金資助項目(61271449, 61302175)；重慶市自然科學基金和重慶市研究生創新基金資助項目(CSTC2013jcyjA40030，CYB14100)(Projects (61271449, 61302175) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects (CSTC2013jcyjA40030, CYB14100) supported by the Natural Science Foundation and Postgraduate Research Innovation of Chongqing City)

涂亞慶，教授，從事智能檢測與智能儀表研究；E-mail：yqtcq@sina.com