基于廣義位勢理論的巖土塑性應變增量方向非唯一性問題

溫勇，楊光華，傅旭東，鐘志輝，姚捷

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基于廣義位勢理論的巖土塑性應變增量方向非唯一性問題

溫勇1, 2, 3，楊光華1,2,3，傅旭東1，鐘志輝1，姚捷4

(1. 武漢大學土木建筑工程學院，湖北武漢，430072；2. 廣東省水利水電科學研究院，廣東廣州，510610；3. 廣東省巖土工程技術研究中心，廣東廣州，510610；4. 中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北武漢，430063)

基于廣義位勢理論提出的考慮擬彈性的彈塑性模型(擬彈性彈塑性模型)把總的塑性應變分解為滿足彈性分解準則的擬彈性部分和符合傳統塑性理論假設的純塑性部分，這樣分解后建立的模型更為合理和簡便，同時又可以解決巖土塑性應變增量方向非唯一性的問題。研究結果表明：基于廣義位勢理論的擬彈性彈塑性模型的模擬效果較好，傳統的彈塑性模型只能反映塑性應變增量方向的唯一性，而擬彈性彈塑性模型則能夠同時反映塑性應變增量方向的唯一性(高應力水平時)和非唯一性(低應力水平時)，結果更符合實際，從而為解決塑性應變增量方向非唯一性問題提供了一種有效的方法。

廣義位勢理論；塑性應變增量方向；非唯一性；擬彈性彈塑性模型

在傳統的塑性勢理論中，塑性應變增量方向被假定為具有唯一性，即與應力增量無關，這一假設對于金屬材料的試驗結果是符合的。但對于巖土材料，已有的研究表明[1?3]，其塑性應變增量的方向不僅與應力狀態有關，還與應力增量相關。更多的試驗研究則認為[4?6]，在應力水平較低時，塑性應變增量方向與應力增量方向相關，而當應力水平較高時，則近似認為與應力增量方向無關或相關性較小。因此，傳統的塑性勢理論只能用于表達塑性應變增量方向具有唯一性的情況，而現實的巖土材料暫且不說不同的土類，即使是同一種土，在不同的應力水平下，塑性應變增量方向都可能存在唯一性的情況(高應力水平時)和非唯一性的情況(低應力水平時)。因此，更合理的理論應該是不論塑性應變增量方向是否唯一，都能夠表述。楊光華等[3, 7?10]直接從數學原理出發，建立了土的本構模型的廣義位勢理論，其特點是數學原理明確，物理假設少，未涉及傳統的塑性勢假設和Drucker塑性公設等，從而為研究巖土本構模型提供了更為廣闊的理論基礎。為了解決傳統理論對塑性應變增量方向描述的不足，基于廣義位勢理論提出考慮擬彈性變形的土體彈塑性本構模型，其主要思想是把總的塑性應變分解為滿足彈性分解準則的擬彈性部分和符合傳統塑性理論假設的純塑性部分；通過試驗對該模型模擬塑性應變增量方向非唯一性的效果進行檢驗，力求為解決塑性應變增量方向非唯一性問題提供一個更好的模型。

1 傳統位勢理論的數學實質及其塑性應變增量方向唯一性假設

為清楚地了解傳統塑性位勢理論的數學實質，可從一般的情況作探討，設主空間上塑性應變增量與應力增量的一般關系為

式中：a為應力總量或應變總量或應力路徑等的函數。

文獻[11]已對[]的特性從數學上進行了探討，當[]的秩為1時，則從數學矢量場理論可知，[]只有1個基向量，且存在1個三維矢量(123)和3個系數1，2，3，[]可以表示為

將式(2)代入式(1)有：

由式(3)可知：

由于(=1，2，3)為σ或的函數，則式(4)表示塑性應變增量的方向與dσ無關，即塑性應變增量方向的唯一性假設。這一假設從數學上來看：則相當于假定了矩陣[]的秩為1，然而材料本構關系矩陣[]的秩是否為1，應取決于材料本身的力學特性，而不能人為假定。

若從?平面上分析，忽略Lode角和應力主軸旋轉等影響，塑性應變增量與應力增量的關系可表示為

式中：，，和為塑性系數；和分別為平均主應力和廣義剪應力；和分別為塑性體應變和塑性剪應變。

根據前面分析可知，則塑性應變增量方向具有唯一性的數學條件為[3]

對于金屬材料，0，0，0，滿足式(6)；但對于土體材料[12]，例如硬化剪縮土，＞0，＜0，＞0 ，＞0，則?＞0，即不滿足塑性應變增量方向具有唯一性的數學條件。因此，從數學角度來看，塑性應變增量要嚴格滿足方向唯一性是困難的，沈珠江[12]較早也對塑性應變增量方向具有唯一性的假設提出了疑問。

2 基于廣義位勢理論的巖土塑性應變增量方向非唯一性問題的研究

2.1 廣義位勢理論

廣義位勢理論把材料本構模型的研究分為2個主要方面[3]。以應力空間為例，一是主空間上的本構方程：

二是由主空間到一般坐標空間的數學變換，可采用廣義位勢理論的方法，當假設的主方向與的主方向相同時，則有：

將式(9)代入式(8)，可得：

式(12)即為傳統的塑性位勢理論的公式?？梢钥闯觯瑐鹘y的塑性位勢理論只是廣義位勢理論的一個特例。

2.2 基于廣義位勢理論的擬彈性彈塑性模型

由以上分析可知：廣義位勢理論數學原理明確，物理假設少，未涉及傳統的塑性勢假設和Drucker塑性公設等，從而為研究巖土本構模型提供了更為廣闊的理論基礎。針對傳統塑性位勢理論對塑性應變增量方向描述的不足，基于廣義位勢理論提出考慮擬彈性變形的土體彈塑性本構模型(即擬彈性彈塑性模型)，其主要思想是把總的塑性應變分解為滿足彈性分解準則的擬彈性部分和符合傳統塑性理論假設的純塑性部分。這樣使符合彈性應變的矩陣增大，改善了彈塑性矩陣的性質，同時也符合內在的力學機理，因而是一個較好的處理方法[13?14]。

按照這一方法，若從?平面上分析，塑性應變增量與應力增量的關系式可由式(5)變為：

式中：pe和pe擬彈性參數；pp，，和pp為純塑性系數。

擬彈性塑性應變部分假設符合廣義虎克定律：

純塑性應變部分則為

純塑性系數pp，，和pp滿足塑性應變增量方向唯一性的數學條件式(6)。

以式(13)~(15)中的塑性系數，，和沒有進行任何假設完全依據材料的客觀試驗結果通過擬合而得到。為了方便計算，也可以假設塑性系數，，和滿足關聯流動法則，但此時模型并不完全符合土的變形特性，這時可以把關聯流動法則下的計算結果和試驗值之間的差值部分歸并為擬彈性塑性部分進行修正，并根據差值部分確定pe和pe，此時塑性應變增量與應力增量的關系式可表示為

式(16)中的塑性系數，，和滿足關聯流動法則，可由鄧肯張模型中的切線模量t和切線泊松比t來表示[3]；也可以由類劍橋模型中的各向等壓固結壓縮指數、回彈指數及破壞常數來表示，例如，對于正常固結黏土，可表示為[15]

式中：=(?)/，一般情況下可取為1，也可通過常規三軸壓縮試驗確定。

對于砂土或超固結黏土，姚仰平等[16]通過修改劍橋模型的硬化參數來反映剪脹，即在劍橋模型計算出的塑性應變基礎上乘以進行修正(d為特征狀態應力比，對于正常固結黏土，=d)。基于此方法，為了使類劍橋模型能夠反映砂土等材料的剪脹性，引入特征狀態應力比d參數，此時塑性系數，，和可表示為[17]

這樣，由t和t或，，和d即可求得4個滿足傳統彈塑性理論的塑性系數，，和，即傳統的彈塑性關聯模型，再根據前面的“擬彈性分解”思想，從而得到相應的擬彈性彈塑性模型。

3 試驗驗證

本文共進行2個試驗驗證，首先將基于廣義位勢理論的擬彈性彈塑性模型、傳統的彈塑性理論模型與試驗結果進行對比，以驗證擬彈性彈塑性模型的合理性；在此基礎上，利用擬彈性彈塑性模型對塑性應變增量方向進行模擬，檢驗其反映塑性應變增量方向非唯一性的效果。

3.1 擬彈性彈塑性模型的合理性驗證

為了驗證擬彈性彈塑性模型的合理性，采用文獻[18]給出的砂土試驗結果進行驗證。選取類劍橋模型代表傳統的彈塑性理論模型，模型參數如表1所示。

表1 模型參數

試驗首先等向固結到196 kPa，然后進行常規三軸壓縮試驗。利用類劍橋模型對試驗結果進行預測，計算結果與試驗結果對比如圖1所示。

(a) 應力比σ1/σ3與軸向應變ε1關系曲線對比；(b) 體積應變εv與軸向應變ε1關系曲線對比1—類劍橋模型(傳統模型)；2—試驗數據

由圖1可知：類劍橋模型可以反映砂土的剪脹性，但體應變計算的后半段還有一點差距，根據2.2節的分析可知，此時可以考慮把類劍橋模型的計算結果和試驗值之間的差值部分歸并為擬彈性塑性部分進行修正，得到相應的擬彈性彈塑性模型，其計算結果與試驗結果的對比如圖2所示。

(a) 應力比σ1/σ3與軸向應變ε1關系曲線對比；(b) 體積應變εv與軸向應變ε1關系曲線對比1—類劍橋模型(傳統模型)；2—試驗數據；3—擬彈性彈塑性模型(本文模型)

由圖2可知：通過增加擬彈性部分進行修正后的模型(即擬彈性彈塑性模型)計算結果與試驗結果吻合較好，擬合效果得到了一定的改進，從而在一定程度上說明了擬彈性彈塑性模型的合理性。

3.2 利用擬彈性彈塑性模型反映塑性應變增量方向非唯一性

進一步對擬彈性彈塑性模型模擬塑性應變增量方向非唯一性的效果進行檢驗。采用文獻[19?20]給出的上海重塑軟土試驗結果，試驗首先等向固結到196 kPa，然后進行常規三軸壓縮試驗。同樣選取類劍橋模型作為傳統的彈塑性理論模型，模型參數如表2所示。同理，按2.2節提出的方法，對類劍橋模型增加擬彈性部分進行修正，得到擬彈性彈塑性模型，修正后的模型計算結果與試驗數據對比如圖3所示。由圖3可知：擬彈性彈塑性模型計算結果與試驗結果吻合較好。

表2 模型參數

(a) 應力比σ1/σ3與軸向應變ε1關系曲線對比；(b) 體積應變εv與軸向應變ε1關系曲線對比1—類劍橋模型(傳統模型)；2—試驗數據；3—擬彈性彈塑性模型(本文模型)

為了進一步檢驗模型在反映塑性應變增量方向非唯一性上的效果，在應力路徑上選取幾個不同的應力水平點，如圖4和表3所示。對于同一應力點，假定施加的應力增量大小相同，而應力增量方向則不同(如圖5所示)，各應力增量方向的角度分別為0°，45°，90°，112.5°和135°(逆時針方向)。

1—應力路徑；2—破壞線

圖5 應力增量方向示意圖

表3 用于計算塑性應變增量方向的不同應力水平點

分別利用類劍橋模型(傳統模型)和擬彈性彈塑性模型對其塑性應變增量方向進行模擬，結果如圖6和圖7所示。由圖6和圖7可知：采用類劍橋模型(傳統模型)模擬的塑性應變增量方向表現為唯一性，而擬彈性彈塑性模型則能夠反映不同應力增量方向下塑性應變增量方向的變化，即非唯一性。擬彈性彈塑性模型的模擬結果還表明，當應力水平較高時(如點)，塑性應變增量方向近似表現為唯一性，即與應力增量方向無關；當應力水平較低時(如點和點)，塑性應變增量方向表現為非唯一性，即與應力增量方向有關，這與文獻[1,4?6]的試驗結果一致，這表明擬彈性彈塑性模型能夠反映唯一性(高應力水平時)和非唯一性(低應力水平時)這一認可的力學特性，更符合實際。

(a) 應力點A的塑性應變增量方向；(b) 應力點B的塑性應變增量方向；(c) 應力點C的塑性應變增量方向

圖7 不同應力增量方向下的塑性應變增量方向(擬彈性彈塑性模型)

4 結論

1) 基于廣義位勢理論基礎上提出的考慮擬彈性的彈塑性模型，把總的塑性應變分解為滿足彈性分解準則的擬彈性部分和符合傳統塑性理論假設的純塑性部分，為解決塑性應變增量方向非唯一性問題提供了一種有效的方法。

2) 通過試驗驗證表明，基于廣義位勢理論的擬彈性彈塑性模型的模擬效果良好，傳統的彈塑性模型只能反映塑性應變增量方向的唯一性，而擬彈性彈塑性模型則能夠同時反映塑性應變增量方向的唯一性(高應力水平)和非唯一性(低應力水平)，結果更符合實際。

3) 針對傳統理論的局限性，本文利用廣義位勢理論探索了一種新的表達途徑，取得了一定的效果，但由于巖土材料力學特性的復雜性，尚有一些問題需進一步深入研究。

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(編輯 楊幼平)

Problem on non-uniqueness of direction of plastic strain increment of geomaterials based on generalized potential theory

WEN Yong1, 2, 3, YANG Guanghua1,2,3, FU Xudong1, ZHONG Zhihui1, YAO Jie4

(1. School of Civil and Architectural Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China; 2. Guangdong Research Institute of Water Resources and Hydropower, Guangzhou 510610, China; 3. Geotechnical Engineering Technology Center of Guangdong Province, Guangzhou 510610, China; 4. China Railway Siyuan Survey and Design Group Co. Ltd., Wuhan 430063, China)

An elastic-plastic model considering quasi-elastic deformation (quasi-elastic-plastic model) was proposed based on the generalized potential theory, of which the traditional plastic strain increment was decomposed into quasi-elastic part and pure-plastic part. The quasi-elastic part obeys elastic rule and the pure-plastic part obeys the traditional plasticity theory. The proposed model is more reasonable and convenient, and it can solve the problem of non-uniqueness of the direction of plastic strain increment of geomaterials. The results of test validation show that the simulation effect of the quasi-elastic-plastic model based on the generalized potential theory is good. The traditional elasto-plastic model can only reflect the uniqueness of the direction of plastic strain increment, while the quasi-elastic-plastic model can reflect the uniqueness (in high stress level) and the non-uniqueness (in low stress level) of the direction of plastic strain increment simultaneously. It proves that the quasi-elastic-plastic model based on the generalized potential theory conforms to reality better than the traditional elasto-plastic model and it provides an effective method for the study on the problem of non-uniqueness of the direction of plastic strain increment.

generalized potential theory; direction of plastic strain increment; non-uniqueness; quasi-elastic-plastic model

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.033

TU452

A

1672?7207(2015)04?1428?08

2014?04?13；

2014?06?16

國家自然科學基金資助項目(51378131, 51378403, 51174093)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(2012210020203)(Projects (51378131, 51378403, 51174093) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2012210020203) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

溫勇，博士后，從事土的本構理論研究；E-mail：wy876633@163.com