多模式樞紐網絡中高鐵與航空均衡優化模型

張婧，陳治亞，黃帥，郭嘯，陳維亞

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多模式樞紐網絡中高鐵與航空均衡優化模型

張婧1, 2，陳治亞1，黃帥3，郭嘯3，陳維亞2

(1. 中南大學商學院，湖南長沙，410083；2. 中南大學交通運輸工程學院, 湖南長沙，410075；3. 中南大學數學與統計學院，湖南長沙，410083)

在高鐵與航空共存的多模式客運樞紐網絡中，考慮機場容量限制，通過多項式Logit模型，模擬行者對交通方式、交通方式運營商和出行路線的選擇行為，建立競爭情形下運營商各自利潤最大化的Nash均衡優化模型。利用約束優化的KKT條件，設計基于非線性互補問題的求解算法，并通過實例驗證模型的合理性和算法的有效性。研究結果表明：機場容量的變化對運營商的決策和出行者的出行選擇有影響；通過關閉或開啟某些航段，可使航空運營商的利潤變大，或使得社會效益增加；此外，通過求解模型，得到機場容量擴容時帶來的邊際社會效益，可以為機場擴容提供一定的決策參考。

多模式樞紐網絡； Logit模型；彈性需求；Nash均衡；非線性互補問題

在高鐵與航空的競爭關系中，交通出行者的出行選擇行為和運營商的運營條件對交通運營商的決策起著重要作用。目前，描述交通出行者行為對高鐵和航空客流分擔率的影響，更多是針對單條線路中兩者競爭關系的研究[1?5]。在忽略機場容量限制的條件下，研究者詳細分析了交通出行者的出行選擇行為對高鐵和航空客流分擔率的影響，但沒有考慮樞紐網絡中各市場的相互影響關系。隨著高鐵和航空樞紐網絡的發展，對樞紐網絡中高鐵與航空競爭關系的研究逐漸增多。如Alder等[6]在建立Logit選擇模型的基礎上，分析了整個歐洲航空與高鐵體系的競爭關系；Takebayashi[7]利用SUE模型描述乘客的出行行為，分析連接度對乘客出行選擇和運營商決策的影響。但他們都沒有考慮機場容量等限制條件對交通運營者決策的影響。Socorro等[8?9]考慮到樞紐機場容量對運營者決策的影響，建立了線性理論模型，全面分析了樞紐網絡中高鐵和航空的競爭、合作關系，但Socorro等[8]-只討論了客票價格對需求的影響。在實際情況中，乘客選擇何種出行方式更多地依賴于包含票價、旅行時間等因素的廣義出行費用。為此，本文作者針對有機場容量約束的多模式樞紐網絡對高鐵與航空的競爭關系進行研究。在更加詳細描述旅行負效用(包含票價、程前程后時間、在途時間、換乘時間、延誤時間)的基礎上，使用多項式Logit公式模擬出行者對交通方式和運營商的選擇，建立考慮交通出行者行為響應的航空和高鐵均衡優化模型。為了求解所建立的均衡優化模型，首先利用約束優化的KKT(Karush?Kuhn?Tucker)條件將其轉化成互補問題，然后利用Fischer?Burmeiste函數，將互補問題轉換成非線性方程組問題，通過計算求解非線性方程組來得到均衡優化模型的解。對于一個有多家航空公司運營的多模式樞紐運輸網絡實例，利用構造的模型模擬出行者出行的所有實際情況，并計算機場容量變化對運營策略的影響，以驗證模型和算法的適用性。

1 問題描述

本文研究的多模式樞紐交通網絡=(，) (其中，為通行城市集合，為城市所對應的機場集合，為相鄰兩城市間的運輸路段集合)。由于地理或政治的原因，分為國際、國內路段，其中，國內路段存在高鐵和航空2種運輸方式，國際路段通常只有航空這種運輸方式。設為運營商的集合，則且(其中，為網絡中航空公司集合，為高鐵集合)。并設為網絡中所有OD對的集合；J為OD對的所有路線集合；和分別表示OD(Origin?destination)對中運營商獨自運營的路線與其他公司共同運營的路線；下標表示獨自的，表示共同的。設I為運營商運營的路段集合，不失一般性，進行如下假設。

假設1 考慮2類局中人即交通出行者和交通方式運營商。交通出行者對交通方式、交通方式運營商和出行路線做出選擇決策，力圖使自身旅行負效用最小。

假設2 假設交通出行者擁有關于出行路線和運營商的完美信息，因此, 出行者對路徑和運營商的選擇滿足確定性用戶均衡原理[10]。

假設3 假設高鐵和航空沒有實現聯運，即運營商不提供高鐵和航空聯程服務(一票制)。

假設4 交通出行者可以選擇航空、高鐵或換乘方式到達目的地。其中換乘方式g包括3種：航空換乘航空(一票制)1、航空換乘航空(非一票制)2、航空換乘高鐵(高鐵換乘航空)3。

2 模型建立

首先根據定義的旅行負效用函數建立交通出行者選擇的Logit模型，然后考慮航空、高鐵在實際運營時的約束，建立航空、高鐵均衡優化模型。

2.1 旅行負效用函數

旅行者出行的負效用通常包括從起點到終點的程前程后時間(程前時間指從出發地到機場或車站的時間；程后時間指機場或車站到目的地的時間)、車內(艙內)路線旅行時間、調度延誤時間、換乘時間、票價，可表示為[11]

式中：u為OD對間路線上的旅行負效用；為出行者的時間價值參數；t，w，d和g分別為OD對間路線的車內(艙內)旅行時間、程前程后時間、調度延誤時間和換乘時間；1，2和3分別為將w，d和g折算成當量車內(艙內)旅行時間的系數；p為OD對間路線上的票價。

車內(艙內)路線旅行時間可表示為該路線上所有路段旅行時間之和，即

類似地，調度延誤時間可表示為路線上所有路段的調度延誤時間之和，即

式中：為起始機場平均運營時間，通常取18 h[13?14]；為路段上運營者的運行頻率。

由于沒有空中管制與天氣因素的影響，在實際運營過程中，高鐵準時率達到95%以上，因此，在本文中，當=為高鐵時，取為0。

換乘時間可以表示為路徑上所有的換乘方式時間之和，即

式中：n為OD對中路線上所需換乘方式的次數；g為換乘方式所需要的時間。g可以分解為換乘步行時間T1、排隊等候時間T2和換乘候車時間T33部分，即[15]

2.2 出行者選擇模型

由假設4，出行者的方式選擇滿足如下Logit公式[16]：

式中：q為OD對之間的需求；h為OD 對間路線上的乘客流量；為反映出行者對旅行負效用理解差異的參數。因此，OD對間的期望旅行負效用為[17]

考慮旅行負效用對出行需求的影響，引入如下的彈性需求函數[18]：

票價p為OD對間路線中各個子路線的票價之和，

2.3 航空和高鐵均衡優化模型

交通方式運營商的運營策略影響出行者的選擇行為，反過來，出行者對交通方式運營商的選擇影響運營者的決策。交通方式運營者的利潤等于總收入減去總運營成本，在實際中，不同交通方式的利潤和運營時需要滿足的約束有區別。

其中：等式右邊前2項為航空公司在所有路線上的收入，第1項為路線集合上所獲得的收入，第2項為在路線集合上所得收入；右邊第3項為運營成本之和。考慮到實際運營時，運營商的約束，航空公司的利潤最優化模型為

s.t.

其中：式(14)表示路段上公司承運的實際人數不能超過該公司所提供的座位數與上座率的乘積；式(15)為機場的容量約束；式(16)和(17)分別為票價和運行頻率的非負約束；為航空公司在航段上平均每個航班所提供的座位數；o為上座率；I為與機場連接的所有航段的集合；Q為機場的容量。

對于高鐵運營商，由于政治或者地理原因，大部分國家的高鐵只服務國內市場，且由于運營編排設置，高鐵的運行頻率在很長一段時間內都是固定的，因此，本文只將票價作為高鐵的決策變量。由于服務頻率固定，其可變的運營成本為0 元，因此，本文沒有考慮高鐵的運營成本[7]。

對于高鐵公司=，它的利潤函數為

其中：模型只要求票價非負。

由于模型 (19)的決策變量為模型(13)~(17)中的參數；反之，模型(13)~(17)中的決策變量為模型(19)中的參數，所以，航空、高鐵優化模型是一個Nash均衡優化模型。該交通網絡中的社會效益為[19]

式(20)右邊第1項為用戶盈余，第2項為所有運營商的利潤。

3 模型的求解

3.1 等價的互補問題

為了求解上面的模型，首先將其轉換為等價的互補問題。令

分別為所有航空公司對應的票價、頻率、約束(14)和約束(15)對應的Lagrange乘子、高鐵公司對應的票價所構成的向量。記，則模型(13)~(17)的KKT條件可表示為

式(24)和(25)為KKT條件中Lagrange 函數對決策變量的導數為0，式(26)~(29)為KKT條件中約束條件(14)~(17)的互補條件。

類似地，模型(19)的KKT條件為

式(30)為KKT條件中Lagrange函數對決策變量的導數為0，式(31)為KKT條件中非負約束的互補條件。令

則航空、高鐵均衡優化模型的解是以下非線性互補問題的解：

3.2 算法

一般地，為了求解互補問題(33)，需要將其轉化成如下非線性方程組求解[20]：

令

為非線性方程組(35)的效益函數。將互補問題轉化為非線性方程組問題后，采用Matlab自帶的fsolve函數解決非線性方程組(35)。需要注意的是：fsolve求解非線性方程組的效果與初始點的選取有關，為了較準確地得到方程組的解，類似文獻[21]中的Minfinder 法，本文構造如下算法。

算法1

step 1給定迭代次數和比較小的數，令=1,。在給定的區間中隨機選取初始點。

step 2利用產生的初值, 調用 fsolve 函數，求解非線性方程組(35)，得到一組解以及效益函數值。若且，則，否則轉step 3。

step 4：若對*中的第個元素，存在*中另外一個元素，使得對，有，則，=+1，轉step 5。

對于算法1，由于約束優化的KKT條件是一階必要條件，所以，航空、高鐵均衡優化模型的解一定是互補問題(33) 的解，從而是非線性方程組(35)的解，但反之不一定成立。由于非線性方程組(35)可能存在多組解，因此，需要根據給定數據，首先確定均衡解可能存在的區間，然后在該區間中隨機產生初始點。

利用文獻[21]中的Minfinder 法，可以找到給定區間中非線性方程組(35)的所有解。由于模型的目標是運營者最大化各自的利潤，因此，計算方程組每個解對應的運營者的利潤，并找出使得各個運營商利潤不會增加的值作為解。若此時仍然有多組解，則這些值都可能是均衡優化模型的解，此時，選擇使得社會效益最大解作為模型的解。

4 實例研究

多模式單樞紐網絡如圖1所示。考慮吉隆坡(1)、廣州(2)、長沙(3) 3個城市組成的多模式單樞紐網 絡[8?9]--。網絡中有2個路段卻有3個OD市場：吉隆坡—廣州，吉隆坡—長沙，廣州—長沙，分別用12，13和23市場表示。12之間僅有航空運營的中國南方航空公司(南航)和馬來西亞航空公司(馬航)；23之間既有航空又有高鐵，如南航、中國深圳航空公司(深航)、中國廣州鐵路集團(廣鐵)；13之間沒有直達航班，乘客只能經停2中轉到達3，乘客可以自由選擇運輸方式和運營商，也可以選擇南航提供中轉聯程服務(一票制)。本文選取2012?12—2013?11的航空與高鐵歷史數據進行分析，只考慮2樞紐機場容量限制時的情況。

1—高鐵；2—南航；3—深航；4—馬航

首先根據歷史實際數據和式(9)估計出一個需求，然后，將此需求上調25%作為潛在需求[12]，這樣得到12，13和23的潛在需求分別為1 048，114和 -12 114人。對于航空公司，市場12，13和23的艙內運行時間分別為1.25，5.25和4.00 h；程前程后時間均為3.00 h，距離分別為2 603，3 122和519 km。對于高鐵，市場23的車內運行時間為2.75 h，程前程后時間為2.00 h，距離為707 km。此外，出行者的時間經濟價值約為15.5 $/h，1=2=3=1.3，1=1.0 h，2=2.5 h，3=4.0 h。南航、深航國內航段的機型為170座/次，南航國際航段的機型為200座/次，馬航國際航段的機型為260 座/次，平均客座率為80%。運營國內航線的航空成本約為0.042 $/(km?人)[22]，運營國際航線的航空成本約為0.081 $/(km?人)[19]。

4.1 機場容量固定

當2樞紐機場容量為25架次/d時，可以求出運營商的最優決策，如表1和表2 所示。

表1 樞紐機場容量為25架次/d時運營商最優策略

表2 樞紐機場容量為25架次/d時運營商實際承運人數

從表1可以看出：市場23的高鐵票價低于航空票價，南航和深航有相同的票價和頻率。但在市場12，由于馬航的機型比南航的大，因此，其最優價格和頻率均比南航的低。

當機場容量為25架次/d時，運營商實際承運人數與負效用如表2所示。其中：S表示自由換乘，U表示一票制。從表1可知：價格越高，負效用越高，出行的人數越少；在市場13中，雖然南航提供一票制的中轉聯程服務，并且高鐵與航空沒有實現聯運，但乘客自行選擇高鐵和航空組合出行方式的人數還是要大于南航航空一票制承運的人數。而且市場12中，由于馬航提供的價格(248.0 $)低于南航提供的價格(265.5 $)，因此，選擇高鐵與馬航組合出行的人數也大于高鐵和南航組合出行的人數。

此外，還可得到南航、深航、馬航和高鐵公司的利潤分別為113 628.5，114 042.7，?2 003.1和464 085.9 $，該網絡的用戶盈余為3 420 266.8 $，社會效益為 4 108 881.7 $。在市場23中，馬航的利潤為負數，這與實際運營結果相同，主要原因是潛在需求比較少。隨著經濟的發展，潛在需求會增加，假設潛在需求人數是原來的7倍左右即1 700 左右時，馬航的利潤為正，為2 002 $，并且其利潤隨著需求人數的增加而 增加。

4.2 機場容量變化

隨著樞紐機場容量的改變，求解航空、高鐵均衡優化模型可得到不同運營商的最優決策。樞紐機場容量限制下不同市場中的票價、頻率優化方案如圖2所示。市場12中，南航記為cz1，馬航記為mh1；市場13中，南航記為cz2；市場23中，南航記為cz3，深航記為zh3，高鐵記為hsr3。

從圖2(a)可以看出：隨著機場容量增加，各市場運營商的票價都逐漸下降，其中市場13和市場23票價的下降速度比市場12的下降速度快；市場12中南航下降速度比馬航的下降速度慢，并且由于機型問題，南航的定價比馬航的要高。

(a) 票價優化方案；(b) 航班頻率優化方案；(c) 實際承運人數；(d) 實際利潤

圖2(b)表明：隨著機場容量的增加，各市場運營商的運行頻率都增加，且在市場23中，南航和深航頻率增長的趨勢大體一致。而在市場12中，南航的頻率增長更快。

從圖2(c)可以看出：隨著容量的增大，通過航空出行的人數增加，而高鐵的人數減少。

從圖2(d)可以看出：高鐵的利潤隨著樞紐機場容量的增大而減少；而國內航空運營商的利潤隨著機場容量的增大先增大后減少。

從圖2還可以看出：當樞紐機場容量擴大到45架次/d之后，各運營商的運營策略保持不變。

樞紐機場容量變化帶來社會效益的變化如圖3所示。從圖3可以計算出機場容量增加所帶來的邊際社會效益：當廣州的機場容量為15 架/d時，每增加1架次會帶將近30 000 $的社會效益，其主要原因是由交通網絡中需求人數增加。但隨著容量的增加，邊際社會效益逐漸減小，當機場容量增加到45架次/d時，邊際效益為0 $；在容量分配時，可以將此邊際社會效益作為容量分配最優時邊際機場容量的顯示價值，也可以作為機場容量擴容時的極限最大值。

1—邊際社會效益；2—實際總需求

4.3 航段的關閉與開放

在樞紐網絡中，由于樞紐機場的容量管理，航空公司可能會開設或者關閉某些支線航段。該模型同樣可以求解不同機場容量下開設或關閉不同航段所取得的效益。稱前面討論的網絡為基本網絡。此外，本文還要分析另外2種情形：網絡1，即南航不運行國際航線；網絡2，即南航不運行國內航線。

在網絡1中，南航不運行國際航線，因此，市場12中，馬航處于壟斷地位。在網絡2中，南航不運行國內航線，因此，市場23中，只有深航和高鐵運營。求解模型(13)~(17)和模型(19)可得到社會效益和用戶盈余隨著機場容量變化的關系，如圖4所示。

(a) 南航利潤；(b) 用戶盈余；(c) 社會效益

從圖4(a)可以看出：南航的主要利潤來自國內航線。在網絡2中，南航的利潤會比其他2種情況低很多，當樞紐機場容量為31架次/d時，南航的利潤保持不變。在基本網絡和網絡1中，南航的利潤隨著機場容量的增大先增大后減少，當機場容量為25架次/d時，南航的利潤都達到最大值。對于基本網絡，當機場容量大于45 架次/d時，機場容量的擴大對利潤沒有影響。在網絡1中，當機場容量大于43架次/d時，機場容量的擴大對利潤沒有影響，且南航在網絡1中的利潤大于基本網絡中的利潤。

從圖4(b)可以看出：3種網絡中的用戶盈余都隨著機場容量的增加而增加，最后趨向于不變；當機場容量在29(點) 到34(點)之間時，網絡2所帶來的用戶盈余大于其他2種網絡的用戶盈余；當機場容量大于34時，基本網絡中的用戶盈余比其他2種情況的大；當機場容量處于37(點)附近時，網絡1中的用戶盈余大于網絡2時的用戶盈余。

從圖4(c)可以看出：基本網絡中的社會效益最大，其次是網絡1，再其次是網絡2。

5 結論

1) 考慮機場容量限制和交通出行者的出行選擇行為，建立高鐵與航空均衡優化模型并設計求解算法。該模型適用于分析競爭情形下的高鐵與航空樞紐網絡運營決策問題。

2) 機場容量的變化對運營商決策會產生影響。為了保持最優利潤，當機場容量為緊約束且小于某個值時，所有交通運營者的票價隨著機場容量的增大而降低；但當機場容量大于這個值即為松約束時，運營商會保持原有的運營策略。該機場容量可作為機場容量擴建的極限參考值。

3) 當機場容量一定時，航空運營商可以通過開放或者關閉某些航段來實現航空公司的利潤最大化，或使得社會效益增加。

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(編輯 陳燦華)

Equilibrium optimization model of high-speed rail and airline in multi-modal hub network

ZHANG Jing1, 2, CHEN Zhiya1, HUANG Shuai3, GUO Xiao3, CHEN Weiya2

(1. School of Business, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 3. School of Mathematic and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China)

In view of airport capacity constraint in a multi-modal transportation hub network, a multinomial Logit model was used to describe the travelers’ selection about the travel modes, travel operators and the travel routes. A Nash equilibrium optimization model was presented for both high-speed rail (HSR) and airline operators to maximize their individual profits in a competitive environment. Utilizing the KKT condition of constraint optimization, an algorithm was designed based on the nonlinear complementary problem, and an empirical network was used to illustrate the applicability of the model and the rationality of the algorithm. The results show that the change of airport capacity has impact on the operators’ operative strategy and the travelers’ travel selection. Closing or opening certain flight segments can increase the profit of air carriers or make the social welfare rise. Furthermore, the marginal social welfare gain of airport capacity expansion can be calculated by the model, which can potentially serve as a benchmark indicator for airport expansion.

multi-modal hub network; Logit model; elastic demand; Nash equilibrium; nonlinear complementary problem

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.048

U115

A

1672?7207(2015)04?1544?09

2014?08?10；

2014?10?12

國家自然科學基金資助項目(61203162)；中國鐵路總公司科技研究開發計劃項目(2013X008-A)；湖南省自然科學基金資助項目(13JJ3002)(Project (61203162) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2013X008-A) supported by Scientific Research and Development Program of China Railway Corporation; Project (13JJ3002) supported by t he National Science Foundation of Hunan Province)

陳維亞，博士，副教授，從事交通運輸規劃與管理研究；E-mail：wychen@csu.edu.cn