基于樂觀值和悲觀值的不同風險態度行程時間預算

李小靜，劉立艦，NAUMOV Stanislav

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基于樂觀值和悲觀值的不同風險態度行程時間預算

李小靜，劉立艦，NAUMOV Stanislav

(蘭州交通大學交通運輸學院，甘肅蘭州，730070)

研究3種風險態度出行者的行程時間預算。首先從隨機變量的樂觀值和悲觀值出發，對比收益函數和成本函數的樂觀值和悲觀值的概念及特征。然后從行程時間可靠度基本概念引出行程時間的機會約束規劃(CCP)minimin和minimax模型，通過假設路段行程時間服從正態分布，求出了路段和路徑行程時間的樂觀值和悲觀值，又根據Hurwicz樂觀系數準則建立2種極端情況的綜合平衡模型。最后提出行程時間可靠度指標，并進行了算例分析。研究結果表明方法正確指標合理，可以進行不同風險態度的行程時間預算，并針對具體情況可采用不同的可靠度指標預算出行時間并評價道路性能。

樂觀值；悲觀值；機會約束規劃；Hurwicz準則；行程時間預算；可靠度指標

路網的可靠度評價指標主要包括3種，即連通可靠度、行程時間可靠度和容量可靠度[1?4]，其中的行程時間可靠度是出行者最為關心的一個重要指標。我國很多城市出現了交通擁堵的問題，使得對行程時間可靠度的關注得到加強。出行者不僅考慮行程時間最少，還要考慮行程時間的可靠性最大的道路出行。行程時間由于各種隨機因素的影響是一個隨機變量，每一位出行者在出行前都要進行行程時間預測，估計一下最好和最壞行程時間并做出相應的決策。Lo等[5]提出了行程時間預算(travel time budget, TTB)的概念，并定義TTB為期望出行時間與邊際出行時間之和。要甲等[6]建立了基于出行時間預算的多模式多類用戶城市交通均衡分配模型。呂彪等[7]以TTB為基礎研究了預算?超額平衡模型。Siu等[8]介紹了通勤者考慮可靠度時行程時間預算與規避風險的擇路行為之間的關系。行程時間預算從行程時間和行程時間可靠性兩方面進行了考慮，很符合出行者實際出行中所要考慮的問題，所以該指標非常重要[9]。而且行程時間預算與行程時間可靠度具有直接的關系，一般預算時間越長，可靠性越大，反之則越小。通常情況下，出行者由于性格愛好和對目的地重要性的認知不同，對行程時間可靠性的要求也不同，這恰好反映了出行者的風險取向的不同。不同類型的人對于風險規避的態度是不一樣的，預算的行程時間也是不一樣的。呂彪等[10]根據對待風險的不同態度，將出行者分為冒險型、中立型和保守型。Shao等[11]將出行者分為三類：風險趨向型、風險中立型和風險規避型。風險趨向型出行者是冒險主義者，通常會做最好的打算，認為行程時間會比平均時間減少一定的時間，但實際上行程時間并非如此，所以可靠性會很低；風險中立型出行者是中立主義者，認為行程時間等于平均時間，不關心行程時間的不確定性，可靠性也不高；而風險規避型出行者是保守主義者，一般會做出行的最壞打算，認為行程時間比平均時間多出一定的時間，可靠性會很高。可靠性主要用于實際工程中的不確定性，雖然不確定規劃中的隨機變量的特性已經得到證實并進行了大量的相關研 究[12?13]，但是目前文獻中描述其定義或者應用的都主要面向一種情況，那就是越大越好的目標函數變量，而越小越好的目標函數變量通常很少被應用[14]，而且對隨機變量人們更多地偏向于從期望值和方差角度來進行衡量。目前對于不確定理論仍然停留在理論研究和拓展階段，還沒有把相關理論很完善地應用于實際。在不確定理論中，隨機變量除了使用期望值和方差外，還可以使用樂觀值和悲觀值來度量。樂觀值和悲觀值在實際中應用并不是很多，而考慮出行者風險態度的行程時間預算的最好和最壞預算恰好可以用樂觀值和悲觀值來度量，而Hurwicz樂觀系數準則也可以很好地綜合兩種極端情況的預算[15]。樂觀值和悲觀值所對應的置信水平可以代表出行者的風險偏好程 度[16?17]，所以可以采用不確定理論中的機會約束規劃模型研究出行者在一定置信水平下的行程時間預算。計劃時間、計劃時間指數、預留時間、預留時間指數等可靠度指標已經被提出和應用[18?19]，但是這些指標都沒有與出行者風險態度相聯系，體現風險態度的指標更符合實際。因此，本文作者從不確定理論的樂觀值和悲觀值角度出發來描述行程時間可靠度，并建立行程時間預算的機會約束規劃模型。確定行程時間預算在一定置信水平下的樂觀值和悲觀值，由此得到行程時間預算的最大值和最小值，并提出體現出行者風險態度的行程時間可靠度指標。研究行程時間預算有助于出行者根據風險態度做出行程時間最好和最壞預算，并根據可靠度指標選擇可靠出行路徑。

1 樂觀值和悲觀值

1.1 隨機變量的樂觀值和悲觀值

為的樂觀值。其中Pr為概率測度。

從定義1可知隨機變量至少以概率大于或等于樂觀值。從定義本身理解，樂觀值等于滿足條件的的最大值，所以定義1等價于下面模型：

為的悲觀值。

從定義2可知隨機變量至少以概率小于或等于悲觀值。也就是說悲觀值等于滿足條件的的最小值，所以定義2等價于下面模型：

樂觀值和悲觀值相當于概率論中的百分位。例如隨機變量總數有100個，=0.9，滿足條件的的最大值等于處于隨機變量由大到小排列的第90分位的隨機變量數值。而滿足條件的的最小值等于處于隨機變量由小到大排列的第90分位的數值。

1.2 目標函數的樂觀值和悲觀值

目標函數有兩類：一類是越大越好的目標函數例如利潤、效率等；另一類則是越小越好的目標函數例如成本、時間等，把這兩類函數分別稱為收益函數和成本函數。假設是一個決策向量，是一個隨機向量，是收益函數，簡記為，假設為連續隨機變量，其概率密度函數、分布函數、反函數分別為()，()和?1()。是成本函數，簡記為，假設為連續隨機變量，其概率密度函數、分布函數和反函數分別為，和，(=1，2，…，)是隨機約束函數。下面將研究兩類函數的樂觀值和悲觀值。

1.2.1 收益函數的樂觀值和悲觀值

若目標函數為利潤或效益等的收益函數，決策者則希望極大化該函數的樂觀值和悲觀值。

首先，若決策者希望在隨機環境下極大化收益函數的樂觀值，則可以建立機會約束規劃maximax模型：

其中：和為決策者事先給定的置信水平；是收益函數的樂觀值，是滿足條件的最大的。可以定義樂觀值為

樂觀值也可以表示為下面模型：

同時，若決策者希望在隨機環境下極大化收益函數的悲觀值，則可以建立機會約束規劃maximin模型：

式(9)等價于下面模型：

收益函數的樂觀值隨著的增大而減小，是減函數。而悲觀值隨著的增大而增大，是增函數。并且若＞0.5，則，若≤0.5，則。其結論與定理1是完全相同的。一般取＞0.5時，收益函數值處于之間，這是收益函數在一定置信水平下的取值區間。

1.2.2 成本函數的樂觀值和悲觀值

若目標函數為成本或者時間等的成本函數，決策者則希望極小化該函數的樂觀值和悲觀值。

首先，若決策者希望極小化成本函數的樂觀值，則可以建立如下的minimin機會約束規劃(CCP)模型：

樂觀值還可以表示為下面模型：

同時，若決策者希望極小化成本函數的悲觀值，則可以建立如下的minimax機會約束規劃(CCP)模型：

式(15)等價于下面模型：

由前面可以得到下面結論：

1) 成本函數樂觀值為的增函數

2) 成本函數悲觀值為的減函數

該結論與定理1剛好相反。這主要是因為收益函數和成本函數本來就是相反的關系，所以兩類函數的樂觀值和悲觀值具有恰好相反的性質。一般取＞0.5時，成本函數值處于之間，這樣就得到了成本函數在一定置信水平下的取值 區間。

2 行程時間CCP模型

2.1 行程時間可靠度

行程時間可靠度是指在規定的時間內，車輛能從起點到達訖點的概率[20]，還可以描述為：車輛在對間所用實際行程時間小于等于行程時間預算的概率。可以用如下公式表示：

式中：為實際行程時間；為行程時間預算。

文獻[5]中行程時間預算被描述為平均行程時間加上預留的行程時間。路段的預算為

其中：b，t和s分別為路段的行程時間預算、平均行程時間和預留行程時間。

路徑的行程時間預算等于路徑平均行程時間加上預留行程時間，可以表示為

2.2 路段行程時間

隨機環境下，出行者更多關心的是行程時間所處的范圍，最好的估計和最壞的估計時間是多少。對此可以根據成本函數的樂觀值和悲觀值進行研究，建立行程時間的機會約束規劃模型。

若出行者希望在預先給定的置信水平下，路段行程時間不高于行程時間預算，則可以建立如下的minimin CCP模型：

其中：minb為路段行程時間的樂觀值。其具體形式可以表示為

由假設路段服從正態分布，所以式(21)可以表示為

若出行者希望在隨機環境下，在一定的置信水平下，實際行程時間不低于預算時間，則可以建立如下minimax CCP模型：

一般取1＞≥0.5，1＞≥0.5時，可得到路段行程時間所處的區間為：。=時，，路段行程時間平均值等于其樂觀值與悲觀值的平均數，這個結論在假設服從正態分布時成立。

2.3 路徑行程時間

根據極限定理，不管路段行程時間分布，路徑行程時間都服從正態分布，其中和分別為路徑的平均時間和標準差。

出行者希望在預先給定的置信水平下，路徑行程時間不高于行程時間預算，可以建立如下的minimin CCP模型：

若出行者希望在預先給定的置信水平下，路徑行程時間不低于行程時間預算，則可以建立如下的minimax CCP模型：

一般取1＞≥0.5，1＞≥0.5，可得到路徑行程時間所處的區間為：，當0＜≤0.5，0＜≤0.5時，可得到路徑行程時間所處的區間為：。與路段一樣，當=時，路徑行程時間平均值也等于其樂觀值與悲觀值的平均數，即，這個結論在服從正態分布時成立。

2.4 Hurwicz準則下的CCP模型

對于同一個成本函數優化問題，根據不同的決策目的，均可以建立minimin機會約束規劃模型，也可以建立minimax機會約束規劃模型，很顯然，minimin和minimax模型是2種極端情況，這2個模型的評價指標分別為樂觀值和悲觀值。為了方便采用和表示路徑行程時間的樂觀值和悲觀值，即，。當1＞，≥0.5時，，可以把這2種情況進行綜合考慮，而Hurwicz樂觀系數準則在極端樂觀和極端悲觀間建立了一種平衡。賦予這2種情形不同的權重和1?，給出了極端樂觀和極端悲觀的一種折衷方案，即

其中：為樂觀系數，且0≤≤1。當=0時，式(26)為悲觀值，表示“非常”悲觀；當=1時，式(26)退化為樂觀值，表示“非常”樂觀。有時候單獨用樂觀值和悲觀值很難達到決策的目的，所以根據Hurwicz樂觀系數準則，可以把CCP模型寫為如下的形式：

3 路徑行程時間可靠度指標

得到行程時間的樂觀值和悲觀值后，可以使用下面指標來反映道路出行者的實際感受。為了方便平均行程時間和標準偏差分別用和簡單表示。采用＞0.5和＞0.5。路徑行程時間可靠度指標有：

1) 行程時間窗(0)：表示在一定的置信水平下不同風險態度的出行者的行程時間估計區間，。

2) 預留時間()：這個指標可以直觀反映出行者的感受，當考慮出行者態度時，可以分為樂觀預留時間(sup)和悲觀預留時間(inf)。=時，sup=inf。該時間指標越小越好。

3) 預留時間指數(0)：預留時間要與道路平均時間相比較才能消除不同道路平均時間差異的影響。如2條不同道路的平均時間分別為10 min和100 min的預留時間都是5 min，僅根據預留時間無法判斷，就需要用預留時間指數來消除。該指標越小越好。也根據出行者態度分為樂觀預留時間指數()和悲觀預留時間指數()，=時，。具體計算方法如下：

4) 計劃行程時間()：與行程時間預算概念相同。樂觀計劃行程時間(sup)等于行程時間的樂觀值，悲觀計劃行程時間(inf)等于行程時間的悲觀值。

5) 計劃行程時間指數(0)：與預留時間指數類似，在計劃行程時間基礎上深化研究，用來消除平均時間差異的影響。分為樂觀計劃行程時間指數()和悲觀計劃行程時間指數()。計算方法如下：

6) 折衷值()：采用Hurwicz樂觀系數準則求出的時間指標值，表示為。

7) 折衷時間指數(0)：折衷值與平均時間的比值可以消除不同道路差異的影響。計算方法為：

同一對比較時可采用絕對指標0，，和；但是對于不同對，就需要比較0和0這2個相對指標；0是一個綜合指標，根據樂觀系數的取值來確定。

4 算例分析

采用甘肅省蘭州市安寧區路網簡化圖進行分析計算，如圖1所示，有兩橫五縱共7條路徑，路徑屬性如表1所示。

圖1 蘭州市安寧區道路網簡化圖

表1 路徑屬性

采用本文的可靠度指標方法進行分析計算，得到當==0.95時的樂觀值和悲觀值，得到路徑1和路徑2的行程時間可靠度指標如表2所示。

表2 路徑1和2的行程時間可靠度指標

表2所示為同一對的路徑1和路徑2，從0，，(sup和inf)和可以看出路徑2的指標值最小，所以選取可靠性較高的路徑2出行。綜合考慮當=0.7時，從表2 可知路徑2的0較小，選取路徑2；當=0.3時，路徑1的指標值0較小，這時選擇路徑1。可見樂觀系數對路徑的選擇還是有一定的影響的，出行者可以根據自己膽識、經驗和對道路狀況判斷能力確定樂觀系數。當=0.5時，由于=，折衷值等于平均時間。從表2也可以計算出平均時間等于其樂觀值與悲觀值的平均數，這個結論在假設服從正態分布時成立。

當==0.95時，求出的路徑4和路徑7的行程時間可靠度指標如表3所示。

表3 路徑4和7的行程時間可靠度指標

表3所示為不同對的2條路徑，兩者具有相同的預留時間，不能判斷其可靠性能。可從0和0(和)這2個相對指標來評判，可以得知路徑4的指標相對較小，所以該路徑較可靠。也可以綜合考慮，當=0.7時，從表3 可知路徑4的指標0較小，認為其較可靠；當=0.3時，路徑7的0較小，可靠性高。所以樂觀系數對不同對路徑的可靠性有很大的影響。當=0.5時，折衷值等于平均時間。

當=0.9，=0.8時，求出的路徑3，5和路徑6的行程時間可靠度指標如表4所示。

表4 路徑3，5和6的行程時間可靠度指標

表4所示為不同對的路徑3，5和路徑6，當≠時，從和可知路徑5的值最小，但從指標看可得到路徑3的值最小，從可得到路徑5的值最小，從0和0這2個相對指標無法得到統一的結果，這時可采用綜合指標0。=0.7時，路徑5較可靠；=0.3時，路徑3較可靠。=0.5時，由于＞，折衷值大于平均時間，路徑5的行程時間可靠性較高；若=0.8，=0.9時，即＜，則可以計算出路徑3的折衷值等于1.92小于其平均時間。

路徑預算時間均隨著置信水平的增大也增大，具有相同的變化趨勢。文中只畫出路徑1隨著置信水平變化的行程時間預算如圖2所示。

從圖2可知：置信水平越低，行程時間預算越小。路徑1的行程時間窗為[6.97,11.59]。還可以看到置信水平與3種風險態度的對應情況如下：

1) 1＞＞0.5，風險規避型，出行者認為存在的風險對出行不利，所以會留出比平均時間多的時間以防止遲到。

2)=0.5，風險中立型，行程時間預算等于平均時間9.28 min，出行者認為沒有風險，自己的行程時間預算等于平均時間。

3) 0＜＜0.5，風險趨向型，行程時間預算低于平均時間，出行者認為風險對出行有利，預算時間比平均時間還低。

5 結論

1) 研究了收益函數和成本函數的樂觀值和悲觀值的概念及特征，發現其規律剛好相反。

2) 建立了行程時間預算的minimin 和minimax模型，并采用Hurwicz樂觀系數準則進行了平衡折衷處理。

3) 提出了基于路徑行程時間的樂觀值和悲觀值的可靠度指標。

4) 采用可靠度指標可以得到行程時間窗，預算不同風險態度的出行者的出行時間，還可以分別采用絕對指標、相對指標或綜合指標確定最可靠路徑。

5) 路徑預算時間隨著置信水平的增大也增大，也驗證了置信水平與風險態度的關系。

6) 在路段行程時間服從正態分布假設下得到平均時間等于其樂觀值與悲觀值的平均數，在其他假設情況下該結論不一定成立。

7) 折衷值的樂觀系數在實際應用時要根據具體決策者的態度以及對道路狀況判斷能力來確定。

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(編輯 楊幼平)

Travel time budget of travelers with different risk attitudes based on optimistic and pessimistic values

LI Xiaojing, LIU Lijian, NAUMOV Stanislav

(School of Traffic and Transportation, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Travel time budget of travelers with three risk attitudes was studied. Starting from-optimistic and-pessimistic values of stochastic variables the definitions and the characteristics of optimistic and pessimistic values of a benefic function and a cost function were compared. Then a minimin model and a minimax model of chance-constrained programming (CCP) of travel time were derived from the conception of travel time reliability. The-optimistic and the-pessimistic values of link and path travel time were obtained through postulating a normal distribution of link travel time. And according to the Hurwicz optimistic coefficient criterion a comprehensive balance model was established. Finally several travel time reliability indexes were proposed, and the analysis was conducted through an example. The results show that the method is right and the indexes are reasonable, and that travel time can be budgeted on the basis of travelers’ risk attitudes. According to actual circumstances, different reliability indexes can be adopted to estimate travel time and evaluate road performances.

optimistic value; pessimistic value; chance-constrained programming (CCP); Hurwicz criterion; travel time budget; reliability index

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.049

U491

A

1672?7207(2015)04?1553?09

2014?04?28；

2014?06?18

國家自然科學基金資助項目(71361018，71161016)(Projects (71361018, 71161016) supported by the National Natural Science Foundation of China)

李小靜，博士研究生，從事交通運輸規劃與管理研究；E-mail：xjingli990@163.com