反加窗算法及其在擴頻系統窄帶干擾抑制中的應用

孟 東 繆玲娟 張 希

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反加窗算法及其在擴頻系統窄帶干擾抑制中的應用

孟 東 繆玲娟*張 希

(北京理工大學自動化學院 北京 100081)

為了證明反加窗算法是一種完全重構算法，將完全不同的反加窗算法和重疊加窗算法合并為相同的信噪比數學模型，分析了反加窗算法；通過建立等效模型，用信號重構理論推導出等效模型的信噪比損失，證明了反加窗算法是一種完全重構算法，提出了反加窗算法只有在信號不完全重構的條件下才需要使用的觀點。在直接序列擴頻系統中，通過對布萊克曼窗和漢寧窗的對比，在窄帶噪聲干擾下仿真誤碼率，證明了該文結論的正確性，并提出了干擾抑制方案。

衛星導航；直接序列擴頻系統；反加窗算法；信號重構；重疊加窗

1 引言

在衛星導航領域的直接序列擴頻系統中，為消除信號中的窄帶干擾，導航系統需要對信號進行干擾抑制。常用方法有：傅里葉變換(FFT)技術、重疊變換技術[1](lapped transform)、完全可重構濾波器組技術[2]等。其中，基于傅里葉變換的時-頻變換技術需對信號加窗處理，使無限長信號變成分段的有限長信號。加窗會造成頻譜泄露，普通矩形窗的旁瓣抑制力只有約13 dB[3]，必須選取特定的、旁瓣抑制力強的窗函數加窗，以減小頻譜泄漏；而特定的窗函數依然會造成信號失真，增大導航信號的誤碼率。

為了克服上述問題，文獻[4]對加窗FFT的信噪比損耗進行了研究，提出了重疊變換加窗的思想；文獻[5]對重疊變換加窗算法的損耗進行了理論推導，分析了加窗引起的信噪比損失為零的條件；文獻[6]總結了該算法參數最優的選擇方案；文獻[7]研究了重疊加窗技術的完全重構條件，提出了完全重構理論，并給出了可選的窗函數類型。文獻[8]在文獻[4~7]的基礎之上，提出了反加窗算法，證明了該方法能有效提高信號的信噪比，但是沒有理論分析該算法的信噪比損失；文獻[9]應用了文獻[8]中的反加窗算法，討論了該算法的計算量，找到了一種快速濾波的計算量小的干擾抑制設計方案，但同樣未討論該算法關于信噪比損失的理論分析；文獻[10]提出在反加窗算法前提下，不用考慮加窗引起的信噪比損失的觀點，但是缺乏理論證明。

本文研究了反加窗算法的信噪比損失；建立等效模型，用信號重構理論推導出等效模型的信噪比損失，證明了反加窗算法是一種完全重構算法，提出了反加窗算法只有在信號不完全重構的條件下才需要使用的觀點；得出了完全重構的重疊加窗可以完全替代反加窗的結論；仿真反加窗算法，統計了直接擴頻系統中的誤碼率，證明了理論分析的正確性，找到了正確使用反加窗算法的理論依據。

2 時-頻變換域干擾抑制原理

2.1 干擾抑制方案

衛星擴頻通信系統在接收到外部信號后，常用基于時-頻變換的干擾抑制技術，對信號進行干擾抑制的處理，用以消除窄帶干擾。在時-頻變換的干擾抑制技術中，發展了重疊加窗和反加窗算法，減少加窗帶來的信噪比損失。本文根據文獻[8]和文獻[14]，采用了如圖1所示的基于時-頻變換的干擾抑制方案。

令重疊變換加窗算法中的延遲為，該方案選擇了重疊變換加窗算法中延遲=1/2周期的設計方案。輸入信號被分成兩條通路，一條通路直接輸入窗函數，順次進行傅里葉變換、干擾抑制、傅里葉反變換；另一條通路比前者多了延遲環節，其它步驟相同。兩條通路進入重疊組合部分后，再進行反加窗算法的處理。

信號中干擾的剔除，主要發生在圖1中的兩個環節：窗函數和干擾抑制環節。由于窗函數可以等效為低通濾波器，加窗過程可以剔除高頻干擾；頻域內的干擾抑制環節可以通過檢測信號的頻域信息，剔除干擾；而重疊加窗、反加窗等重構方法是在窗函數抑制干擾等步驟之后，最大限度地減少加窗帶來的損失，復現原始信號，降低干擾在總信號中的比重，從而達到抑制干擾的效果。

圖1 干擾抑制結構示意圖

2.2 重疊加窗算法

為了應用傅里葉變換技術，連續信號必須在變換之前進行加窗處理，采用矩形窗的窗函數，就會產生嚴重的頻譜泄漏現象。

頻譜泄漏的產生是因為在矩形窗的邊緣，信號從零值突變到滿值，幅值變化劇烈，丟失了某頻段的信號，產生了類似噪聲的高頻信號，造成處于中心頻率的能量譜向附近的頻帶發散的現象，這種發散出的能量譜叫做旁瓣。窗函數的旁瓣越小，頻譜泄漏的程度越小，矩形窗旁瓣的旁瓣抑制力只有約13 dB[3,15]，頻譜泄漏嚴重。所以，選擇窗函數時，應盡量選擇旁瓣抑制能力強的窗函數，如漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗等。但也不能完全消除頻譜泄漏和信號失真。因此，發展了重疊變換加窗技術[6]。

重疊加窗技術是通過多路信號的延時加窗，再將多路信號相加或者選擇的方法，得到接近完全重構(信噪比損失為零)的信號。重疊加窗技術可以重構信號，有效補償因頻譜泄漏造成的信號失真。多路數據可以采用重疊相加方式處理，或者采用重疊選擇方式處理。由于重疊相加方式的處理精度高，本文主要介紹基于重疊相加的反加窗技術。重疊加窗示意圖，如圖2所示。

圖2中顯示的是重疊加窗的一般過程。窗函數1、窗函數2、窗函數3代表不同延時下的加窗函數。3個加窗函數中，共有兩次重疊相加的計算，相加部分為(+)段和(+)段數據。窗函數長度為，延遲時間為段為未疊加部分。窗函數2分別與前后兩個窗函數加窗求和后，形成輸出序列。加窗都會伴隨信噪比損失，重疊加窗會補償信噪比損失，重構信號。段為未疊加部分，未補償加窗損失。

從時域來看，窗函數從中間向兩端逐漸衰減，越靠近兩端，衰減越嚴重，引起的信號畸變也越大，從而帶來的信噪比損耗越大。因此，在實際應用重疊加窗的過程中，一般把延遲設為窗函數長度的1/2或1/4，即當0=/2時，+=+=/2,=0[16]。文獻[5]根據圖2，推導出了重疊加窗過程中的信噪比損失。

圖2 重疊加窗示意圖

2.3 完全重構理論

2.3.1完全重構理論的描述[6]信號的完全重構方法就是指使加窗引起的信噪比損失為零的信號重構方法。加窗函數會帶來導航信號的信噪比損失，但重疊加窗算法在特定條件下可以使該信噪比損失為零，即實現信號的完全重構。下面討論重疊加窗算法的信噪比損失。

在圖2中，重疊相加前的干擾抑制支路的輸出噪聲功率為[5]

其中，T為總信噪比損失，W為加窗引入的信噪比損失，E為干擾抑制引入的信噪比損失。當信噪比損失為零時，W=1。因加窗引入的信噪比損失W為

其中

2.3.2不同延遲下的完全重構條件及其信噪比損失[6]

當延遲=1/2和=1/4周期時，窗函數()可完全重構信號的條件分別為

式中1,2表示某個常數，滿足式(4)的窗函數，如表1所示。

表1滿足完全重構的窗函數

窗函數T=N/2T=N/4 1巴特萊特窗布萊克曼窗 (-58 dB) 2漢寧窗精布萊克曼窗(-58 dB) 3漢明窗窗 4窗窗 5布萊克曼-哈瑞斯窗(4采樣) 6布萊克曼-哈瑞斯窗(3采樣)

注：布萊克曼窗()代表布萊克曼窗的旁瓣抑制能力最大為58 dB，外部信號的干信比值最低，當干信比低于時，窗函數性能開始惡化。

分析不同延時下的信噪比損失，將式(4)分別代入式(3)中，可得

則有

即證明了式(4)中的條件使信噪比損耗為零，是完全重構條件。

對于不同的完全重構方法，在相同窗函數和頻域內抗干擾方法的前提下，其在干擾抑制方面的效果是相同的。因為完全重構在理論上已經證明，其使加窗引起的信噪比損失為零，可以完全復現原始信號。

3 反加窗算法

3.1 反加窗算法的描述[8]

反加窗方法是為了提高信號的信噪比，在重疊變換加窗的基礎上進一步補償幅值損耗而產生的。反加窗算法是對經過傅里葉變換、干擾檢測、干擾抑制、IFFT、重疊組合后的信號，乘以窗函數權值倒數，以恢復時域信號的方法。假設混有窄帶干擾的導航信號序為

3.2 反加窗算法在信號重構中的理論分析

由3.1節得，反加窗算法可以減小加窗對導航信號的損耗，改善信號的信噪比。本文結合重疊加窗算法，通過建立等效模型，提出定理1。

定理1 反加窗算法可以使加窗引起的信噪比損失降為零，可以等效為完全重構算法。

證明 將反加窗算法等效為一種重疊加窗算法，分析其信噪比損失。參照圖2，令是重疊加窗算法中的加窗函數，是窗函數的個延遲，則重疊加窗算法的簡化過程表示為

反加窗算法的簡化過程可表示為

對式(13)變形

即

式(14)就是反加窗算法的等效模型。對比式(12)和式(14)，將反加窗算法等效為延遲為、加窗函數的重疊加窗算法，此時。將等效模型式(14)代入式(3)得

對照圖2，式(3)中包括了兩次重疊加窗的過程，等效模型(15)代表式(3)中的第2次重疊加窗的過程，研究了段數據的信噪比損失。顯然，段數據未涉及第1次重疊加窗的過程，即有

將式(16)，式(17)，式(18)代入式(15)中，化簡得

4 仿真

4.1 反加窗算法的理論仿真

在不同的重構條件下，且沒有窄帶干擾的情況下，使用反加窗算法，仿真證明3.2節的理論分析。實驗中，窗函數長度為400個點，依次使用布萊克曼窗、漢寧窗，分別構造出信號不完全重構和完全重構的環境，對比分析重疊加窗和反加窗后信號的大小。仿真結果如圖3，圖4所示。

圖3顯示了在不完全重構條件下，導航信號經加窗、重疊加窗以及反加窗的時域波形。窗函數采用布萊克曼窗，重疊比例為1/2。從圖3中可以看到，直接加窗造成了嚴重的時域信號畸變，經窗函數重疊加窗后的時域信號仍存在一定程度的信號失真。經反加窗后，信號得到了完全恢復，消除了因加窗引入的信號失真。因此，在不完全重構條件下，通過反加窗算法，可以消除因加窗帶來的信噪比損失，恢復原來的時域導航信號。這一結果同3.2節的理論推導是一致的，證明了反加窗算法是一種完全重構算法。

圖4中顯示了在完全重構條件下，導航信號經加窗、重疊加窗以及反加窗的時域波形。窗函數采用漢寧窗，重疊比例為1/2。信號經加窗和重疊加窗后，信號得到完全重構，沒有明顯的畸變；再經反加窗算法后，產生二次重構，信號沒有變化。此時，反加窗算法在第2次重構中不起作用，還增加了程序計算量。

結合實際應用，在不同重構條件且有窄帶干擾的情況下，使用反加窗算法，觀察反加窗算法在有窄帶干擾情形下的效果。窄帶干擾為中心頻率為50 Hz，帶寬為100 Hz，其余條件與圖3，圖4相同，仿真結果如圖5，圖6所示。

圖3 不完全重構條件下反加窗算法示意圖

對比圖3，圖4，從圖5和圖6中看到，增加窄帶干擾后，干擾信號增多，信號信噪比下降；不論在何種重構條件下，每個圖中圖(a)與圖(d)都是一致的。從而證明了反加窗算法在有窄帶干擾情形下，也能重構原始信號，使加窗引起的信噪比為零。

圖4 完全重構條件下 ???? ?????? 圖5 不完全重構條件下加入 ??? ?????? 圖6 完全重構條件下加入

反加窗算法示意圖 ??????? ?????? 干擾的反加窗算法示意圖 ??? ??????? 干擾的反加窗算法示意圖

本節的仿真，證明了3.2節的理論分析的正確性，并測試了其在加入窄帶干擾下的效果。

4.2 窄帶干擾抑制的應用研究

結合圖1給出的基于重疊組合算法和反加窗算法的頻域窄帶干擾抑制方案，使用MATLAB進行了性能仿真，研究反加窗算法在干擾抑制中的應用，統計了在擴頻系統中導航信號在噪聲干擾下的誤碼率。

誤碼率就是指在導航信號解擴后得到的C/A碼中，錯誤接收的碼元數在總碼元數中所占的比例。導航信號中，信噪比越高，誤碼率越低。通過誤碼率的變化，反應信噪比的變化，進而考察在頻域系統的實際應用中，不同算法的作用。

仿真條件如下[17,18]：選用1024點窗函數和FFT計算模塊；延遲512個點，窗函數重疊比例為1/2；采用反加窗算法和重疊加窗方式；干擾信號是信噪比為0~30 dB的隨機窄帶干擾，隨機窄帶干擾由基于瑞利分布的單音干擾和高斯窄帶干擾組成，其中單音干擾的中心頻率為1 Hz，幅值為基于瑞利分布的隨機分布；高斯窄帶干擾帶寬為0~100 Hz；窗函數分別選取布萊克曼窗和漢寧窗，仿真結果如圖7和圖8所示。

由圖7知，布萊克曼窗在1/2重疊比例下，為不完全重構條件。反加窗算法的誤碼率始終比不使用反加窗算法的誤碼率低，反加窗算法起到了重構導航信號、改善信號信噪比的作用。證明了反加窗算法是一種完全重構算法。

由圖8知，漢寧窗在1/2重疊比例下，為完全重構條件。兩誤碼率曲線完全重合，反加窗算法的誤碼率始終和不使用反加窗算法時的誤碼率相等。反加窗算法沒有起到重構導航信號、改善信噪比的作用。

在圖7中所示，當信噪比在15 dB左右時，出現誤碼率的波動現象。當仿真條件中剔除掉窄帶干擾中的單音干擾時，這種波動就消失了，且仍滿足3.2節的結論，證明了這種波動是由于窄帶干擾中的單音干擾引起的，再次驗證了反加窗算法在干擾環境下的應用價值。對比圖7和圖8可知，反加窗算法只適用于信號不完全重構的情況，在完全重構條件下沒有必要再進行反加窗運算，進一步證明了本文3.2節結論的正確性。

5 總結

本文對反加窗算法進行了理論創新，將原本并列的反加窗算法和重疊加窗算法合并為同一信噪比模型，用重疊加窗算法的信噪比數學模型分析了反加窗算法；通過建立等效模型、理論推導及實驗，證明了：(1)反加窗算法是一種完全重構算法。它可以使加窗引入的信噪比損失為零。(2)反加窗算法只適用于信號不完全重構，在信號完全重構的條件下，反加窗算法沒有改善信號信噪比的作用，如若使用，會帶來二次重構，增加算法的計算量。完全重構的重疊加窗可完全替代反加窗算法。因此，本文為正確使用反加窗算法提供了理論依據，進行了理論創新，并提出了抗干擾應用方案。

圖7 布萊克曼窗下的誤碼率統計 ????????????? ????? 圖8 漢寧窗下的誤碼率統計

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Inverse Windowing Algorithm and Its Application to Narrow-band Interference Suppression in Direct Sequence Spectrum System

Meng Dong Miao Ling-juan Zhang Xi

(,,100081,)

In order to prove the inverse windowing algorithm is a complete reconstruction algorithm, the inverse windowing algorithm is analyzed, through the method that the completely different inverse windowing algorithm and overlapping windowing algorithm are combined into the same mathematical model of SNR; equivalent model is established, the SNR loss of equivalent model is deduced by signal reconstruction theory, which demonstrates that inverse windowing algorithm is a kind of perfect reconstruction algorithm, so the idea is proposed that it is necessary for inverse windowing algorithm to use under conditions of incomplete reconstruction. Compared windowing effects between Hanning window and Blackman window in DSSS which contains narrow-band interference, error rate is simulated, which proves the correctness of this article conclusion.Interference suppression scheme is proposed.

Satellite navigation; Direct Sequence Spectrum System (DSSS); Inverse windowing algorithm; Signal reconstruction; Over lapping windowing

TN967.1

A

1009-5896(2015)10-2349-07

10.11999/JEIT150200

2015-02-03；改回日期：2015-05-08；

2015-07-17

繆玲娟 miaolingjuan@bit.edu.cn

國家自然科學基金(61153002)和總裝備部預先研究基金(51309030104)

The National Natural Science Foundation of China (61153002 ); The Advanced Project of PLA General Equipment Department Foundation of China (51309030104 )

孟 東： 男，1985年生，博士生，研究方向為GPS導航和濾波理論.

繆玲娟： 女，1965年生，教授，博士生導師，研究方向為GPS導航和慣性導航.

張 希： 男，1989年生，博士生，研究方向為GPS導航定位.