一類具有年齡結構的SIRS模型的全局穩定性

張仲華，鎖要紅

（西安科技大學理學院，西安　710054）

一類具有年齡結構的SIRS模型的全局穩定性

張仲華，鎖要紅

（西安科技大學理學院，西安710054）

建立了一類具有隔離措施及年齡結構的SIRS傳染病（免疫期有限的傳染病）模型，定義了疾病的基本再生數，并通過構造Lyapunov函數討論了模型的平衡點的全局漸近穩定性.

染病年齡；SIRS傳染病模型；全局漸近穩定性

具有染病年齡結構的傳染病模型因為能更準確地刻畫一些疾病（如性病等）傳播的實際情況，所以近年來受到了廣大數學工作者的廣泛關注，并成為了應用數學領域的一個新的研究熱點［1-11］.然而由于年齡結構的引入，傳染病模型表現為偏微分方程（partial differential equation，PDE）與常微分方程（ordinary differential equation，ODE）相結合，即具有微分-積分結構的數學模型.由于這類數學模型的結構復雜，傳統的構造Lyapunov函數的方法無法研究模型平衡點（特別是地方病平衡點）的全局漸近穩定性.已有的研究工作對這類模型的地方病平衡點的全局漸近穩定性也鮮見涉及.Thieme等［4］建立了一類具有飽和接觸率及染病年齡結構的艾滋病傳播SIA模型，并運用特征值方法及Laplace變換等討論了地方病平衡點的漸近穩定性.Kim等［5］將一般的非線性光滑函數及染病年齡結構引入傳統的SIR模型，并討論了模型非負解的存在唯一性.后來，Kim［6］又給出了傳統的SIR模型的地方病平衡點指數漸近穩定的一般性條件.另外，Zhang等［10］研究了一類具有一般飽和接觸率的SIRS模型（免疫期有限的傳染病模型）的非負解的存在唯一性以及地方病平衡點的指數漸近穩定性.本工作在假設種群的接觸率及隔離率均為種群規模的線性函數的基礎上建立了一類SIRS模型，并通過構造合適的Lyapunov函數系統地研究了模型局部及全局漸近穩定性等動力學性態.

1　模型的建立

Mena-Lorca和Hethcote在文獻［12］中將整個人群分為S（易感）、I（感染）和R（免疫）3類，并建立了如下模型：

式中，S（t），I（t）和R（t）分別為t時刻易感者、感染者及免疫者的數量，Λ為人口的輸入率，β為傳染率，δ為免疫失去率，μ為自然死亡率，α為因病死亡率，γ為治愈率.Mena-Lorca和Hethcote證明了模型（1）地方病平衡點在δ=0時的全局漸近穩定性［12］.

本工作在模型（1）的基礎上，通過引入染病年齡建立如下SIRS模型：

式中，i（t，τ）為t時刻染病年齡為τ的感染者的數量，γ（τ），β（τ）分別為染病年齡為τ的感染者的治愈率和傳染率，β1，β2分別為接觸率（β1T（t））和隔離率（β2T（t））的系數.

由文獻［10］中給出的方法可證，對于非負初值S0≥0，η（τ）≥0，R0≥0，模型（2）存在唯一的全局非負解.將模型（2）中的第2式關于τ積分，并結合第1，3，4式，可得

2　平衡點的存在性

設（S，i（τ），R）為模型（2）的平衡點，則其滿足如下微分-積分方程組：

為討論方便，引入如下記號：

疾病的基本再生數定義為

式中，πa（τ）為一個病人能夠活過年齡τ的概率表示一個病人在整個染病期的感染力.因此，R0表示一個典型的感染者被引入的種群時在其整個染病期內所制造的二次感染數.

定理1當R0≤1時，模型（2）僅存在無病平衡點時，模型（2）除存在無病平衡點外，還有唯一的地方病平衡點其中

證明由式（3）中的第2式，可得i（τ）=i（0）πa（τ），則i（τ）≥0，當且僅當i（0）=0時等號成立.

當i（τ）＞0時，由式（3）中的第1，3式，可得

將上述第2式代入式（3）中的第4式，可得

3　無病平衡點的穩定性

首先討論無病平衡點的局部漸近穩定性.

將式（5）中的第2式關于τ積分，可得

從而可求得特征方程

令λ=x+iy，其中i為虛數單位，分離式（6）的實部、虛部，可得

當x≥0時，由式（7）可得

顯然，式（8）與定理的條件矛盾.因此，當R0＜1時，式（6）不具有非負實部的解.

因此，當R0＜1時，無病平衡點0，0）局部漸近穩定.

定理3當R0≤（μ+α（τ））πa（τ）dτ時，無病平衡點（，0，0）全局漸近穩定.

證明構造如下Lyapunov函數：

式中，S0=，κ（τ）為待定的函數.函數V1（t），V2（t），V3（t）的全導數分別為

令V4（t）=V2（t）+V3（t），則有

因此，

令V=V1（t）+V4（t），則有

因此，當R0≤（μ+α（τ））πa（τ）dτ時，無病平衡點（，0，0）全局漸近穩定.

4　地方病平衡點的穩定性

由文獻［10］中給出的方法不難得到：當R0＞1時，地方病平衡點（S?，I?，R?）局部漸近穩定.下面討論當R0＞1時地方病平衡點（S?，I?，R?）的全局漸近穩定性.

定理4當R0＞1，δ=0時，地方病平衡點（S?，I?，R?）全局漸近穩定.

將式（2）中的第2式沿特征線t=τ+c積分，可得

將式（9）代入V2（t），則函數V2（t）可轉化為

函數V2（t）的全導數為

令V（t）=V1（t）+V2（t），則有

當δ=0時，式（2）中關于S（t）和i（t，τ）的方程及其定解條件構成一個獨立的子系統，由Lyapunov穩定性理論可得

另外，由式（2）中的第3式可得

因為

所以，由洛必達法則可得

因此，當R0＞1，δ=0時，地方病平衡點（S?，I?，R?）全局漸近穩定.

5　結束語

本工作建立了一類具有染病年齡結構及隔離措施的SIRS傳染病模型，該模型是由常微分方程與偏微分方程相結合生成的微分-積分模型.這類傳染病模型的平衡點（特別是地方病平衡點）的穩定性一直是應用數學領域的一個研究熱點及難點.

本工作首先定義疾病的基本再生數，然后通過分析特征方程解的分布情況及構造恰當的Lyapunov函數，討論了由基本再生數R0決定的模型無病平衡點及地方病平衡點的穩定性，最后得到了平衡點全局漸近穩定的充分條件.

［1］Song J，Yu J Y.Population system control［M］.Berlin：Springer-Verlag，1987.

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［12］Mena-Lorca J，Hethcote H W.Dynamic models of infectious diseases as regulators of population size［J］.Journal of Mathematical Biology，1992，30：693-716.

Global stability of an age-structured SIRS epidemic model

ZHANG Zhong-hua，SUO Yao-hong
（College of Sciences，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China）

An age-structured SIRS epidemic model with screening strategy and infectionage is formulated.The basic reproductive number is defined.Global stability of equilibria of the model are disucssed by constructing suitable Lyapunov functions.

infection-age；SIRS epidemic model；globally asymptotical stability

O 175

A

1007-2861（2015）03-0336-08

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.010

2014-09-21

國家自然科學基金資助項目（11201277，10971064，11271125，11402054）；中國博士后基金資助項目（20090461281）；陜西省教育廳專項科研計劃基金資助項目（09JK601，12JK0851，2013JK0611）；陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目（2015JM1011）；信陽師范學院種群生態模擬與控制重點實驗室開放課題基金資助項目（201004）

張仲華（1977—），男，副教授，博士，研究方向為生物數學.E-mail：wwwzhangzhonghua@163.com