基于尺規(guī)作圖的新型公切線畫法

張菁宇　李虎祥

摘要：簡(jiǎn)述了公切線的定義、性質(zhì)，介紹了新型公切線尺規(guī)作圖方法，并對(duì)這種尺規(guī)作圖法進(jìn)行了數(shù)學(xué)原理論證。

關(guān)鍵詞：公切線；尺規(guī)作圖；數(shù)學(xué)原理

引言

在生活工作中，公切線被廣泛運(yùn)用在各個(gè)領(lǐng)域。在生活中，自行車鏈輪傳動(dòng)中的運(yùn)用；在工作中，拖拉機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)之間帶輪傳動(dòng)的運(yùn)用等等，公切線在機(jī)械設(shè)計(jì)制造中被運(yùn)用到的例子層出不窮，公切線給人類帶來了廣泛的好處、方便、美觀。為了更好地將公切線運(yùn)用在為人類服務(wù)行業(yè)中，我們?cè)跈C(jī)械設(shè)計(jì)制圖工作中，會(huì)了解公切線，會(huì)運(yùn)用公切線變成了一種實(shí)際需要，下面就介紹一種新型尺規(guī)作公切線的方法及其數(shù)學(xué)原理論證。

1.公切線

和兩個(gè)圓相切的直線叫作這兩個(gè)圓的公切線。公切線有兩種，如果兩個(gè)圓在公切線的同側(cè)，則這公切線叫外公切線；如果兩個(gè)圓在公切線的異側(cè)，則叫內(nèi)公切線。如圖1、圖2所示。

2.公切線尺規(guī)作法

2.1 外公切線尺規(guī)作法

第一步：作大圓O1、小圓O2，其中圓O1的半徑為R，圓O2的半徑為r、兩圓圓心O1O2間距長(zhǎng)度為L(zhǎng)（其中：L>R+r>R>r>0）。過圓心O1作一半徑為r的圓r。

第二步：定義線段O1O2上一線段長(zhǎng)度為R-r，如上圖示。

第三步：過圓心O1作一半徑為R-r的圓R-r。

第四步：過圓心O1作一半徑為L(zhǎng)的圓L；過圓心O1作線段O1O2的垂線O1A，點(diǎn)A為與圓R-r的交點(diǎn)；過A點(diǎn)作線段O1 A的垂線AB，點(diǎn)B為與圓L的交點(diǎn)；定義線段AB長(zhǎng)度為x。

第五步：過圓心O2作一半徑為x的圓x，與圓R-r的交點(diǎn)為C，連接圓心O1與點(diǎn)C；延長(zhǎng)O1C與圓R相交于點(diǎn)D；連接圓心O2與點(diǎn)C，得一線段O2 C。

第六步：過點(diǎn)D作O1D的垂線DE，過圓心O2作直線DE的垂線，交點(diǎn)為E，則直線DE即為所求公切線。（以下為外公切線數(shù)學(xué)原理證明。）

2.2 內(nèi)公切線尺規(guī)作法

第一步：作大圓O1、小圓O2，其中圓O1的半徑為R，圓O2的半徑為r、兩圓圓心O1O2間距長(zhǎng)度為L(zhǎng)（其中：L>R+r>R>r>0）。

第二步：延長(zhǎng)直線O1O2交大圓O1于點(diǎn)A ；過點(diǎn)A作一半徑為r的圓r，交直線O1O2于點(diǎn)B。過圓心O1作一半徑為R+r的圓R+r。

第三步：過圓心O1作一半徑為L(zhǎng)的圓L；作直線O1O2 垂線段O1C，交圓R+r于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作線段O1C的垂線段CD，交圓L于點(diǎn)D，定義線段CD長(zhǎng)度為x；過圓心O2作一半徑為x的圓x，交圓R+r于點(diǎn)E。

第四步：連接圓心O1與點(diǎn)E，交圓R于點(diǎn)F；連接圓心O2與點(diǎn)E。

第五步：過點(diǎn)F作直線O1 E的垂線FG，過圓心O2 作直線FG的垂線段O2G，交點(diǎn)為點(diǎn)G。則直線FG即為所求公切線。（以下為內(nèi)公切線的數(shù)學(xué)原理證明。）

3.結(jié)束語(yǔ)

尺規(guī)作圖法作公切線是一種簡(jiǎn)便的機(jī)械制圖方法，在教學(xué)中能得到廣泛的應(yīng)用，在工程中也不愧是一種簡(jiǎn)便的作圖方法，因此有必要加以推廣。