壽險年金的最優現值研究：正態分布與ARIMA模型融合

張會玉 馬岱琪 董師琪

【摘要】 日趨老齡化的人口基本國情決定了壽險產品普遍化、多樣化的必然趨勢，研究和推出定價合理的壽險產品具有極大的市場價值。本文結合1955—2014年的基準利率，推算出利率滿足正態分布時的保險年金現值模型，再通過R軟件分析驗證分別得出利率在符合正態分布和ARIMA模型的條件下n年期生存年金的精算現值。在此基礎上，本文依據總預測殘差方差最小原則，分別對兩組擬合利率賦予不同的權重，從而得出最優年金現值。本文的研究成果將對保險公司壽險產品的定價具有極大的參考價值。

【關鍵詞】 正態分布 時間序列分析 隨機利率 年金定價

一、引言

2014年6月份新“國十條”的頒布，對我國的保險改革有了明確的指導意義。保險監管部門將以市場為導向監督保險產業并且放開了對保險產品的價格管制，費率市場化必將是大勢所趨。預定利率在壽險費率的厘定方面較預訂死亡率及預訂附加費用率起的作用最大。預訂利率過高，收取保費偏少，保險公司將會面臨破產風險；預訂利率過低，收取保費偏多，將會降低壽險產品的吸引力。因此，預定利率的確定無疑將對壽險精算構成極大的挑戰。

基準利率在整個利率體系中處于關鍵地位，無疑各種利率均是圍繞其上下波動。各金融機構的存款利率目前可圍繞基準利率上下浮10%，貸款利率可圍繞基準利率上下浮20%，因此基準利率可以反映市場利率。貨幣市場利率以SHIBOR作為市場利率的呼聲較為高昂，但是由于SHIBOR僅有七年的歷史，數據偏少而且其值變化頗不穩定。鑒于此，我們選擇基準利率作為市場利率的參考，本文選擇1955—2014年的基準利率，展開來研究壽險產品定價。鑒于n年期壽險生存年金深得投保人青睞，本文選擇n年期年初付保險年金作為主要研究對象，在年金純保費的定價方面，旨為國內外學者提供科學的研究方法。

二、文獻綜述

在預測波動數據的研究方法上，國內外學者運用較多的是ARIMA模型、正態分布模型//指數平均模型、Monte Carlo模擬研究和復合泊松過程等。但是目前還未有學者將正態分布及ARIMA模型詳細具體地運用到年金定價上。不同于以往學者只用一種模型預測隨機利率，本文結合正態分布及ARIMA模型分別對利率呈現獨立分布及非獨立分布的情況進行理論推導及實證分析來研究年金定價。

在模型改進方面，對兩種模型進行實際分析，吳航等人（2009）對數據擬合得到2個ARIMA模型，并加權重對兩個模型進行優化。博迪《投資學》在資產定價法一章中，著重介紹了投資組合資產權重的確定方法。在模型優化過程中，本文基于依據兩種模型的擬合利率的殘差及殘差間的相關性，對兩組殘差賦予不同權重，依據總預測殘差方差最小原則，得出兩組擬合利率所應賦予的權重及最優年金現值。首先對基準利率進行預測，得出1996—2014年的基準利率符合正態分布。在先前論文的基礎上，在模型推導方面，結合個人的生存率，運用概率統計及微積分知識得出折現到購買保險年份所應繳的躉交純保費。另外，本文克服了大部分論文純理論或者純應用的不足，將模型理論推導、實證檢驗及應用結合。

三、正態分布模型應用

1、數據來源

1955—2014年一年期基準利率來源于中國人民銀行官網。當一年內多次調動利率的情況下取平均值計算。選擇中國人壽保險業經驗分布表（2000～2003）中的非養老金男性業務表數據計算被保險人確定年點的死亡率，生存率等。

2、正態分布模型應用過程

（1）正態分布驗證。正態分布模型前提條件是利率服從正態分布。因此，我們首先要檢驗數據的正態性且在保證正態性的同時盡可能多的選擇數據樣本。夏皮羅-威爾克Shapiro-Wilk檢驗（W檢驗）通過檢驗數據與回歸曲線的殘差來檢驗數據是否符合正態分布。在R語言中，通過調用stats包中的shapiro.test函數可以直接預測。經過正態W檢驗，1996—2014年的基準利率服從正態分布。

（2）定價應用。假設被保險人為30歲男子，購買20年期壽險年金。自被保險人50歲起，保險人將于每年初向被保險人支付保險年金1000元，止于69歲年初。若被保險人在20年內死亡，保險公司將停止支付，否則保險公司需要支付年金直到期滿為止。利用隨機利率呈正態分布的特點計算該年金的精算現值，將參數帶入模型，利用R軟件計算，本文得出保險年金精算現值E（A0）=8472.98。

四、自回歸求和滑動平均模型（ARIMA）分析

由于國內外書籍對ARIMA模型的理論推導已經規范化，本文此處將不對該模型的理論部分做相關論述。

1、數據描述和序列的平穩性檢驗

由于樣本越多預測效果更佳，因此在ARIMA模型擬合過程中，我們利用全部數據進行分析。首先對利率進行自然對數變換，得到LNI，并作出時間序列變化的趨勢。可以看出1955—2014年的利率變化起伏較大。數據經歷了先升后降，直到平穩波動變化的趨勢。對LNI進行一階差分，一階差分后的變量表示為DLNI，對其進行平穩性檢驗。在R軟件上，我們需要加載fUnitRoots包才可以應用該功能。adfTest（）可以直接得出ADF值及P。通過分析結果，我們取對數后進行一階差分后數據是穩定的。我們消去了趨勢部分，剩下不規則部分。

2、模型定階及結果展示

（1）自回歸檢驗和偏自回歸檢驗。我們對數據進行自回歸檢驗和偏自回歸檢驗，由檢驗結果得知自相關系數及偏自相關系數均在置信區域范圍內。由時間序列特征我們可知自相關函數及偏自相關函數均屬于拖尾。此處我們選擇ARIMA（p，1，q）進行分析。

（2）AIC準則自助法定階。在ARIMA（p，1，q）模型參數估計中，本文選擇極大似然法估計并依據AIC值最小為原則選擇出最佳的模型。根據極大似然值最大、方差估計最小、AIC值最小原則我們選擇ARIMA（0，1，2）進行預測，得到模型如下：

△logIt=？著t+0.7659？著t-1+0.2341？著t-2It+1=elogIt+△lgIt

我們利用Ljung-Box檢驗及QQ圖的形式來判斷擬合的優度。Box和Pierce提出統計量Q=n（），并用該指標來檢驗殘差是否是獨立的。Ljung-Box檢驗則是基于該變量上的檢驗方法。P值越大，則說明擬合效果較佳。對殘差檢驗得出p值為0.2543。P值大于0.1，表明沒有證據證明在滯后1-20階中預測誤差是非零自相關的。為了檢查預測誤差是否是平均值為0且方差為常數的正態分布，我們利用QQ圖來檢驗預測誤差是否為白噪聲，得到結果殘差在QQ圖直線附近，得出結論：預測方差為白噪聲，即我們所預測的模型是有效的。

3、定價應用

由被保險人30歲，年金發放50歲時生效且保險將截止于69歲。那么，在預測保險年金現值的過程中，我們需要對未來四十年的利率進行預測。在R軟件上進行程序操作，基于ARIMA（1，1，0），預測出未來40的年數據，并對數據進行未來值預測，計算出未來39年值如下：假設t+1年初收到保險年金c元。經過分析得知未來年金折現現值，且結合P0得出年金現值定價模型如下：

得出年金現值定價為：E（A0）=7301.56元

五、模型擴展與優化

基于R軟件，本文依據兩種不同算法，得到不同的保險現值。由于前期分別對兩種模型的殘差進行分析驗證，得知這兩種模型都較好地擬合了利率走勢，所以基于兩種算法的精算現值都具有合理性。

利率在兩種模型的擬合下，分別得出對于歷史數據的擬合殘差A及B。雖然兩種模型的殘差都比較小，但是為了得到更為精準預測利率，我們考慮將兩組歷史數據的殘差分別賦予不同權重，從而使總的參差方差最小。當殘差方差最小時，也就意味著預測殘差最小。預測殘差最小的模型可以保證得到最小誤差的預測利率從而進行公平定價。

正態分布過程中，預測利率利用正態分布隨機數的方式得出。我們分別設預測利率呈正態分布模型及ARIMA模型情況下的殘差數組r1，r2。對所得結果賦予不同權重w1，w2且w1+w2=1。設兩種模型下，殘差的標準差為？滓1，？滓2。為了讓模型預測最為精準，我們最小化模型組合的預測方差。

六、總結及展望

本文借鑒高建偉（2006）壽險年金的定價模型，以中國1955—2014年的基準利率為參考，得出利率服從正態分布及ARIMA模型的情況下壽險年金的現值。本文在年金定價過程中基于兩個模型得出不同結果。最后利用證券組合最小方差原理，賦予不同模型權重，得出較為滿意的結果。但是，一方面由于基礎面風險難于預測，預測利率難免存在誤差；另一方面由于本文以基準利率為研究對象，但是隨著時代進步，利率市場化將會更加成熟，純保費計算中所基于的數據也會處于變化中。本文旨在提供參考的定價研究方法及模型。在現實生活中保險定價還需要考慮更多因素，并不能單純的應用本文的定價模型。學者共同致力于保險定價的研究方案，旨在提供最為精確的壽險定價。

（注：華中師范大學大學生創新創業訓練計劃A類項目，項目編號A2014047。）

【參考文獻】

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（責任編輯：熊亞）