以“應用基本不等式求最值”為例談高三文科數學專題課教學設計

葉為川

摘 要：在高三數學復習中，專題性質的復習課是高三復習課的一種重要模式。而有效教學設計是提高高三專題復習課效率的重要途徑。有效的教學設計必須在課題的選擇、數學思想方法的合理滲透、例題與練習的選擇與設置、對學生思維的啟發與引導、方法的提煉與思維的拓展等方面得到真正貫徹與落實。

關鍵詞：高三數學;專題復習;有效教學

圍繞“如何能使高三的專題復習課更加有效”這一主題，2012年10月14日，本人在我校高中數學教研組主題研討會上開了一段片段教學“應用基本不等式求最值問題”，以下呈現該片段教學的教學設計，希望能與同行進行交流，以期拋磚引玉。

一、教學目標

（1）知識目標：熟練理解掌握課本兩個基本不等式，并能靈活選用基本不等式解決求最大與最小值的問題。

（2）能力目標：培養學生的觀察分析，拓展延伸，發現新結論與新方法的能力;培養學生抽象概括，轉化化歸以及應用數學知識解決問題的能力。

（3）情感態度與價值觀：課堂教學中，學生通過對基本問題與基本方法的觀察分析，拓展延伸，培養了細心觀察，敢于探索，大膽發現的科學創新精神與能力。循序漸進的問題設置，激發了文科學生學習數學的自信心與積極性，提高了學習效率。

二、教學重點

基本不等式的回顧與拓展，靈活選用基本不等式解決一類求最大與最小值的問題。

三、教學難點

（1）理解應用基本不等式求最值的三個條件：“一正、二定、三相等”。

（2）靈活選用基本不等式解決求最大與最小值的問題。

四、學生特征分析

教學對象是高三文科班學生，數學基礎相對較弱;從學習數學的心理角度分析，相當部分學生害怕數學。學習方式更趨于背與記，思維不夠靈活，學習數學效率較低。比較適合的教學方式是教師表達數學方式通俗易懂，如教師語言通俗易懂，錯綜復雜關系，抽象問題借助圖表表述使其更生動形象等。問題的設置簡單精致而內涵豐富，教學過程循序漸進等。

五、教學方法

引導學生回顧基本不等式及成立的條件，并在此基礎上啟發學生探討幾個基本不等式的內在聯系，進一步發現新的不等式及在解決數學問題中的應用;在對例題的分析過程中，引導學生在對已知條件分析透徹的前提下恰當進行問題轉換。求最值問題的關鍵是鎖定目標函數，根據題設條件與目標函數的特征靈活選擇基本不等式求目標函數的最值。

六、本節課的構想

本片段教學構想分成兩部分，其一：加深對基本不等式的理解，拓展基本不等式：在引導學生對基本不等式進行回顧的基礎上，引導學生對基本不等式的簡單證明、成立的條件進行理解與分析，然后進一步引導學生揭示基本不等式的內在聯系，發現新的基本不等式及其應用。目的在于使復習課能夠以點帶面，夯實基礎，形成知識體系;其二：靈活選用基本不等式解決最值問題。應用基本不等式解決有關最值的問題是新教材、新課標、新考綱的要求，教學時，我根據文科學生的特點，設置一些學生熟悉的、簡單精致但蘊含豐富數學思想的問題，引導學生進行觀察、分析與轉化，讓學生學會如何根據題設條件靈活選用基本不等式來解決最值問題，提高學生分析與解決問題的能力，提高學習效率。

七、教學過程

過程1：引導學生對基本不等式進行回顧：

師：同學們，請你們回顧一下，我們學過哪些基本不等式呢？（教師板書）

預設：學生平時應用較多的是a+b≥2（a>0，b>0），ab≤（a>0，b>0），a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）當且僅當a=b時取等號。

師：在應用基本不等式ab≤求最值時，常要求a>0，b>0，請同學們思考一下，a，b在實數范圍內會成立嗎？為什么？

預設：在教師引導下，學生對不等式進行等價變形，能發現在實數范圍內不等式也會成立。

師：還有其他的基本不等式嗎？（學生疑惑）

師：我們來看看這幾個基本不等式之間的內在聯系：我們對這幾個基本不等式進行歸納，發現它們之間的關系無非就是兩個數的和與積的關系，平方和與積的關系，我們用一個三角形的示意圖來揭示它們之間的關系如圖，這個圖引導我們進一步思考：兩個數的和與平方和之間有沒有一個不等式相聯呢？

師：能不能從a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）這個不等式上找到答案？觀察這個不等式，左邊已是平方和，右邊能否轉化為和？如何轉化？只要在不等式的左右兩邊同時加上a2+b2，就得到聯系平方和與和的不等關系：2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R，b∈R）。補充結構圖：

過程2：應用基本不等式求最值：

師：今天這節課我們來解決一個問題：靈活選用基本不等式解決有關最值的問題。

利用基本不等式求最值的方法的回顧及方法的提煉：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（兩個數為正數）、二定（定值）、三相等（能取得到等號）

（2）當兩個正數的積為常數，和有最小值，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0，），當且僅當a=b時取等號。

（3）當兩個正數的和為常數，則這兩個正數的積有最大值，常用不等式：

ab≤（a>0，b>0），當且僅當a=b時取等號。

（4）當涉及兩個正數的平方和與積時，通常選用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

（5）當涉及兩個正數的平方和與這兩個數的和時，通常選用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

過程3：典例分析

例1：已知一個直角三角形的斜邊長為2。

（1）求這個直角三角形面積的最大值;

（2）求這個直角三角形周長的最大值。

設計意圖：這個問題的設置是在研究課本例題的基礎上進行變式，克服學生的思維定勢，引導學生根據題設條件與目標函數的關系恰當靈活地選用基本不等式（選擇平方和與積以及平方和與和的不等關系）解決問題。

例2：若兩個正數a，b滿足ab=a+b+3：

（1）求ab的范圍;

（2）求a+b的范圍。

設計意圖：培養學生觀察分析問題的能力，引導學生根據題設條件與問題靈活選用基本不等式（選擇和與積的不等關系）解決問題。其中滲透了已知與未知之間的轉化化歸思想（已知和與積的關系，要求積的范圍，如何把和轉化為積;要求和的范圍，又如何把積轉化為和）以及換元的思想。

例3：三角形△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數列，求角B的范圍。

設計意圖：這個問題綜合性較強，涉及數列，三角函數，余弦定理及基本不等式知識，目的在于訓練學生綜合應用知識的能力。教學中，我引導學生把已知條件分析透徹，由已知：2b=a+c，給出的是三角形邊的關系。要求三角形角的范圍，引導學生思考：如何將三角形的邊與角聯系起來？三角函數！根據已知條件特點，將目標函數定為角B的余弦！

（當且僅當a=c時取等號），由余弦函數圖象，得角B的范圍為：

cosB===-≥-=（當且僅當a=c時取等號），由余弦函數圖象，得角B的取值范圍為：（0，]。

過程4：總結與提升：

引導學生對例題進行回顧與反思，提煉解題方法。

常見問題的回顧及方法的提煉：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（兩個數為正數）、二定（定值）、三相等（能取得等號）

（2）當涉及兩個正數的和與積關系時，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0）或ab≤（a>0，b>0），

當且僅當a=b時取等號。

（3）當涉及兩個正數的平方和與積的關系時，通常選用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

（4）當涉及兩個正數的平方和與這兩個數的和的關系時，通常選用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），當且僅當a=b時取等號。

（4）三個基本不等式之間的三角關系

參考文獻：

陳日斌.巧用基本不等式變形解題[J].高中數學教與學，2014（1）.

？誗編輯 李建軍