化歸思想在數學教學中的應用

化歸是數學活動中一種最基本、而又具有普遍應用性的數學思想方法?；瘹w內涵的核心就是“求變”，通過“求變”實現問題有效轉化。本文通過對五種常用化歸方法的分析，揭示化歸方法在數學活動中的普遍應用性。

思想方法 ?化歸 ?轉化 ?數學活動

數學從哲學中派生出來，成為最具有方法論價值的基礎性工具性學科。[1]在數學方法論中，數學思想是指向個體內部的觀念，是數學知識與方法在更高層次上抽象與概括而成的數學觀點;數學方法則指向個體外部的操作，是數學思想的具體化與程序化。在數學活動中，數學思想與方法總是交融交織的。因此，常常不加區別地將它們統稱為數學思想方法。就數學思想方法的應用而言，化歸是一種最基本、而又具有普遍應用性的思想方法。

一、化歸思想方法原理分析

1.化歸的內涵

化歸，即轉化與歸結的科學概括，實現問題由未知到已知，由難到易，由復雜到簡單的轉化并解決。

從方法論的角度講，化歸是使原問題歸結為我們熟知的或簡單的、直觀的問題，它著眼于通過求變實現轉化;從認識論的角度講，化歸是用一種事物的普遍聯系與矛盾轉化的觀點來認識問題，它著眼于揭示聯系實現轉化。因此，化歸內涵的核心就是“求變”，通過求變，實現方法創新、思維突破。

2.化歸的模式

運用化歸方法解決問題的過程，可以歸結為：先通過某種途徑，將原問題轉化為一個有成熟解決方案的問題*，然后通過對問題*的求解，得到原問題的解答。化歸的一般模式如圖1所示。

3.化歸的原則

化歸的目的在于實現問題的有效解決?；瘹w應當遵循以下三個原則。第一，熟知性原則，即將生疏問題轉化為熟悉而熟知的問題。第二，簡單性原則，即將復雜問題轉化為簡單而容易的問題。第三，直觀性原則，即將抽象問題轉化為具體而形象的問題。

總之，化歸需要以已有的知識、經驗、方法作為基礎與引領。

二、化歸與數學活動

客觀事物是普遍聯系的，而矛盾是對立統一而又相互轉化的，這為化歸方法提供了哲學基礎。[2]數學內部之間的邏輯聯系、數學與客觀世界之間的聯系、以及方法與方法之間的聯系等，為數學化歸提供了可能性。因此，數學學科的特點及其哲學基礎，使得化歸成為數學活動中最基本而又具有普通應用性的方法。

數學嚴密的邏輯性，存在著大量的演繹論證。而演繹論證則是將原問題歸結到某些已知定理（公理）上去，實質上是一種化歸過程;數學高度的抽象性，具有形式化、符號化、模式化的特征，正是這些特征為化歸方法提供了便利條件;數學具有廣泛的應用性，在解決問題時，先是將其數學化、抽象化，創造出具有表現力的數學語言——數學模型，通過模型建立未知與已知之間的內在聯系，從這種聯系中規劃解決問題的思路，是化歸思想的具體應用。

數學活動中，大量運用觀察與聯想、歸納與類比、分析與綜合等科學方法，是人們探索數學規律、尋求問題解決途徑的重要方法。通過觀察與聯想，可以提出猜測、尋求原問題與熟知問題的內在聯系，為問題轉化提供思路;通過歸納與類比，可以探索化歸的方向，為問題轉化提供目標;通過分析與綜合，可以從本質上、從量與質兩個方面把握問題的內涵與外延，可以探求化歸的數學模式，為問題解決找到有效途徑。

三、數學教學中幾種常用的化歸方法

1.變換法

數學活動中，變換法是較為常見的、實現由未知（難、復雜）向已知（易、簡單）的化歸。常見的變換方法有：變式、變形、變條件、變結論等;有恒等變換、參數變換、坐標變換、幾何變換等等。

例如，參數變換法通過引入參數（換元）常常可以改變問題的外部形式與內部結構，把代數問題轉化為幾何或三角問題，把幾何問題轉化為代數問題或三角問題等，因而適用于數學各分支學科。[3]變換化這種思維方式在數學活動中是十分典型的。

2.特殊化與一般化方法

由特殊到一般，由一般到特殊，即由具體到抽象，由抽象到具體，它們相互制約，互為補充，是化歸的一種具體方法。[4]數學中，經常使用的歸納法與演繹法就是特殊化與一般化思想的集中體現。

（1）從一般到特殊：特殊化

特殊化，即將所討論的數學問題“退”到屬于它的特殊狀態（數量或位置關系、原始狀態或最簡單）下進行研究，從特殊狀態下獲得啟發，從特例中抽象歸納出共性，從而獲得一般情形的解決途徑。

面對某個一般性數學問題，如果直面難以解決，則可先退一步，解決其特殊情況。特殊情形往往簡單、直觀，并為我們所熟知，通過特例，可以給抽象的命題賦予具體內容和現實意義。然后通過對特例的考察為由特殊到一般的抽象提供必要的素材，將解決特殊情況的方法或結論推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答。最后，必要時還需借助新的特例來對獲得的一般性結論進行驗證。因此，特殊化的功能在于由隨意的特殊化，去了解問題;由系統的特殊化，為一般化提供基礎;由巧妙的特殊化，去對一般性結論進行檢驗。[5]

數學中，特殊化可以將抽象的數學符號與形式化表達式具體化、數量化，也可以就“極端”情形進行考慮，還包括作出具體的圖形等。

例如，探求n邊形內角和時，將其轉化為三角形便可輕易歸納出結論。這正是特殊化化歸的具體應用。

（2）從特殊到一般：一般化

一般化，即將所討論的問題，放在更廣泛、更一般的狀態下進行考察，先得出一般性的結論與處理方法。然后再把一般性結論或方法具體化到原問題上，從而實現問題解決。同時，也只有上升到一般的高度，才能更好引領人們深刻認識和理解各個特例?？疾靻栴}時，有時“跳”出具體對象，尋求普遍性規律，反而能更快地解決問題。[6]

數學活動中，經常通過改變或弱化條件、用變量代替常量等來獲得更為一般的結論。數學是追求一般性的科學，正如法國數學家波萊爾指出的：知道13=1，13+23=9，13+23+33=36，這不是數學。你必須知道：13+23+…+n3=（1+2+…+n）2，這才是數學[7]。

3.RMI方法

RMI方法，即關系（relationship）、映射（mapping）、反演（inversion）方法的簡稱，是由我國的徐利治教授首先提出的。

RMI方法的基本思想是：為了確定關系結構S中的某一個未知性狀的對象x（稱為目標原象），去尋求一個可逆映射？漬：S→S*，在S*中通過有限多步的數學手續將映象x*=？漬（x）（稱為目標映象）唯一地確定下來，然后再通過逆映射？漬-1求得S中的目標原象x=？漬-1（x*）（稱為反演）。這個可逆映射？漬稱為可定映映射;確定目標映象x*？漬=？漬（x）稱為定映;將彼此之間具有某種或某些數學關系的數學對象的集合稱為關系結構（如圖2所示）。

其過程可以概括為以下四個步驟：關系——映射——定影——反演（得解）

這種可逆映射具有確定的對應關系，能夠確保由此所獲得的結論的準確性和可靠性。RMI方法是在現代數學研究中實現化歸的一種重要方法，與一般的化歸方法相比達到了更高的抽象程度[4]，是一種高層次的數學思想方法。能否巧妙地引進恰當的映射，是運用RMI方法解決問題的關鍵所在。

（1）數學中常用的換元法、解析法、初等變換法、三角法、復數法、圖解法、構造法、母函數法等具體方法，本質上都是RMI方法在不同層次上的應用[8]。

（2）RMI方法是集合論的一個基本方法，而集合論的基本概念成為全部數學的基礎。

（3）“數學模型”方法是RMI方法的具體應用。經抽象化、數學化得到數學模型的數學抽象便可以理解為一種映射，把數學模型的有關結論回歸現實，給出實際問題的解答，可以理解為一個反演。

（4）RMI方法不僅可以得出問題肯定性解答，而且還可以得出問題否定性解答。例如，歷史上幾何三大難題（圓化方問題、倍立方問題、三等分任意角問題）不可解性的證明可以看成應用RMI方法得出問題否定性解答的實例[5]。

（5）中學數學中常用的RMI化歸方法有以下三種。

第一，對數計算方法。通過對數映射在正實數集R+與實數R這兩個代數結構之間建立起對應關系。對數運算是一種降級運算，這樣通過對數映射實現由復雜運算向簡單運算的化歸。

第二，解析幾何方法。解析幾何的創立是RMI方法的一次成功應用。通過引進適當的直角坐標系，在曲線與方程之間建立對應關系。先把幾何問題映射成代數問題，用代數方法處理;再把所得的代數結果翻譯回去，變成幾何問題所需的答案。建立適當的坐標系就是選擇一種映射，去實現平面幾何向代數的化歸。

第三，直角坐標平面到復數集上的映射。映射？漬：（a，b）？葑a+bi，將直角坐標平面變成復平面。實現幾何問題與復數問題的互化。

4.分割法

分割法就是把一個問題分割成幾個簡單的問題加以考慮，這樣便于深入內部，弄清本質。當然，分割與組合總是相輔相成的。對問題分割求解時，要注意分割的幾個問題必須滿足互斥、不遺漏。分割法在數學活動中大量存在。例如，用待定系數法把有理函數分成部分分式之和就是分割法的一個具體應用。

5.反證法

反證法的邏輯原理是：A→B？圳A∧B→P∧P’，這里P’與P是兩個矛盾或對立命題。即要證明命題A→B，只須從否定該命題的結論A∧B出發，去實現命題A→B到命題A∧B→P∧P’的轉化，推出一個邏輯矛盾（另一個已知真命題、或A的矛盾、或自相矛盾）結論，從而確立A→B的正確性。

可以看出，反證法實現問題解決的手段是否定原命題的結論，將其轉化為一個新命題。這樣，往往可以改變研究問題的視角，不僅能使論證目標更為簡單明確。另外，由于否定結論將其轉化為推理前提，實現結論向條件的轉化，更加拓展了論證思路。因此，反證法顯然隸屬于化歸法的范疇[9]。其結構如圖3所示。

數學思想方法是數學知識的靈魂與精髓，但又是隱藏在數學知識內部的內隱性知識，它是數學教學活動中最富創造力、最為生動的元素。教學中，作為教育形態的數學思想方法，需要教師對附著在教學材料深處的數學思想方法進行充分的挖掘、提煉、概括，并將其滲透在教學過程中，作有意識、有計劃的揭示。

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參考文獻

[1] ?吳增生.數學思想方法及其教學策略初探[J].數學教育學報，2014（6）.

[2] ?錢珮玲.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，2008.

[3] 李玉琪.化歸原則及其分類[J].數學通報，1990（7）

[4] 章士藻等.數學方法論簡明教程[M].南京：南京大學出版社，2008.

[5] 鄭毓信.數學方法論[M].廣西：廣西教育出版社，1996.

[6] 楊永平.運用化歸思想，探索解題途徑[J].數學通報，1994（8）

[7] 黃曉學等.關于高師數學方法論中“特殊化與一般化”一則內容的教學設計[J].徐州師范大學學報：自然科學版，1998（9）.

[8] 莫正芳等.高等數學思想方法的特征[J].長春師范學院學報：自然科學版，2006（8）.

[9] 李玉琪.反證法的邏輯原理與思想方法[J].曲阜師范大學學報：自然科學版，1989（10）.

[作者：胡先富（1964-），男，重慶人，重慶城市管理職業學院電子工程學院教授，碩士。]

【責任編輯 ?郭振玲】