大學(xué)物理中引入質(zhì)心的作用

鄭曉毅

【摘 要】 質(zhì)心概念是大學(xué)物理中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，有著非常廣泛的應(yīng)用。文章從質(zhì)心的引入和定義出發(fā)，分析了質(zhì)心概念在多體系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定理、剛體力學(xué)中的平行軸定理、剛體的動(dòng)能與勢(shì)能中的重要應(yīng)用。表明引入質(zhì)心概念在處理經(jīng)典物理問題的優(yōu)越性。

【關(guān)鍵詞】質(zhì)心;動(dòng)量守恒;平行軸定理;平動(dòng)動(dòng)能;轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

中圖分類號(hào)：O412 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：

在大學(xué)物理中，質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)和剛體力學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，而且應(yīng)用廣泛。諸如多體系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定理，剛體力學(xué)中的平行軸定理，剛體的動(dòng)能與勢(shì)能推導(dǎo)中都可以看到質(zhì)心的作用。這些物理定理的掌握與應(yīng)用，是學(xué)生在大學(xué)物理課程學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。本文從質(zhì)心的引入以及定義出發(fā)，從幾個(gè)方面分析了質(zhì)心概念在大學(xué)物理中的重要應(yīng)用。

一、質(zhì)心的引入：

考慮最簡(jiǎn)單的一維空間中的兩個(gè)物體1和2，質(zhì)量分別為m1和m2。討論兩個(gè)物體的動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)用牛頓第二定律，對(duì)于物體1，有：

m1=m1x1=F1=F21+F1e ? ? （1）

其中x1為的簡(jiǎn)寫，F(xiàn)12表示物體2對(duì)物體1的作用力，F(xiàn)le表示除物體2以外外界對(duì)物體1的作用力，F(xiàn)1便表示物體1所受到的合外力。同理，對(duì)于物體2，有：

m2=m2x2=F2=F12+F2e ? ? （2）

將式（1）和式（2）左右兩邊相加起來(lái)，則有：

m1x1+m2x2=F12+F1e+F21+F2e ? ?（3）

根據(jù)牛頓第三定律，式（3）可以簡(jiǎn)化為：

m1x1+m2x2=F1e+F2e+Fe ? ? （4）

此時(shí)，我們引入一個(gè)新的物理量，令其為：X=，式（4）則可改寫成：MX=Fe

引入的新物理量則為質(zhì)心，它是系統(tǒng)質(zhì)量分布位置的一種加權(quán)平均，表明對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)，可以將其看成是所有質(zhì)量位于質(zhì)心處的一個(gè)整體，其動(dòng)力學(xué)方程僅受到合外力的影響，這便是質(zhì)心以及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。將以上質(zhì)心的概念推廣到多維空間中多個(gè)物體構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，得到質(zhì)心的一般形式：

M=e，其中=，M=mi，其中，

二、質(zhì)心與多體系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定理

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系組成的多體系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)規(guī)律滿足質(zhì)心運(yùn)

動(dòng)定理。則有M=e，當(dāng)e=0，則質(zhì)點(diǎn)系所受到的合外力為0，此時(shí)有M=constant，

也即M×=mii=constant，也就是質(zhì)點(diǎn)系

的動(dòng)量和保持恒量，即動(dòng)量守恒。可見，動(dòng)量守恒定理實(shí)際上便是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心動(dòng)量保持不變。

三、質(zhì)心與剛體中的平行軸定理

將質(zhì)點(diǎn)系推廣到剛體系統(tǒng)，質(zhì)心的概念同樣有著非常重要的作用。譬如在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算上也有非常重要的應(yīng)用。對(duì)于一任意質(zhì)量為m的剛體，若其轉(zhuǎn)動(dòng)中心O與其質(zhì)心C的距離d，用表示，剛體上任意的一小部分物體質(zhì)量為mi，轉(zhuǎn)動(dòng)中心O與質(zhì)心C到其的位矢分別用i和i表示，則對(duì)于任意的mi，總有：i=i+，則剛體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為：

Io=mii=mi（i+）（i+）

=miri2+d2mi+2mii ?（5）

其中mii=×mi，i是以質(zhì)心c為原點(diǎn)的位矢，也就是說(shuō)在以質(zhì)心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中，質(zhì)心顯然為0 。所以式（5）可以寫成：

Io=miri2+d2m=IC+md2 ?（6）

此即為平行軸定理。表明了對(duì)于任意質(zhì)量為m的剛體，其對(duì)任意轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0，其大小等于對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic加上md2，其中d為轉(zhuǎn)動(dòng)中心O與質(zhì)心C的距離。同時(shí)，由于md2恒大于零，可以看出，對(duì)于任意剛體，圍繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic是最小的。

四、質(zhì)心與剛體的動(dòng)能

緊接著，我們看質(zhì)心在質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能計(jì)算中的作用。討論由多個(gè)物體構(gòu)成的質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。有：

k=mivi2，i表示質(zhì)點(diǎn)系任意一部分相對(duì)于地面參考

系的速度，將i寫成i=c+ci，其中c表示質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心相對(duì)于地面參考系的速度，ci表示質(zhì)點(diǎn)系任意一部分相對(duì)于質(zhì)心的速度。則有：

K=mi（vc2+vci2+2c·ci）=Mvc2+mivci2+c· mici ? ? （7）

同樣地，在以質(zhì)心為原點(diǎn)表示的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，也即=i=mici=0所以式（7）可以簡(jiǎn)化為：

K=Mvc2+mivci2 ? （8）

也即是質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能看以看成是其全部質(zhì)量集中在質(zhì)心處的動(dòng)能加上系統(tǒng)各部分想對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能。特別地，將質(zhì)點(diǎn)系推廣到一般剛體，若剛體不做轉(zhuǎn)動(dòng)，那么剛體上各質(zhì)元對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能為零，剛體的總動(dòng)能可以看成是在剛體全部質(zhì)量集中在質(zhì)心處的平動(dòng)動(dòng)能，若剛體有做轉(zhuǎn)動(dòng)，則式（8）為：

K=Mvc2+mivci2=Mvc2+mirci2w2=Mvc2+ICw2 （9）

此時(shí)，剛體的總動(dòng)能為剛體全部質(zhì)量集中在質(zhì)心處的平動(dòng)動(dòng)能加上剛體上各質(zhì)元相對(duì)于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

五、質(zhì)心與剛體的勢(shì)能

一個(gè)剛體受到保守力的作用，可以引入相應(yīng)的勢(shì)能。如在重力場(chǎng)中的剛體就具有一定的重力勢(shì)能，它的重力勢(shì)能便是它的各質(zhì)元重力勢(shì)能的總和。對(duì)于一個(gè)質(zhì)量為M的剛體，它的重力勢(shì)能為：

U=mighi=gmihi ?（10）

又因?yàn)椋藭r(shí)剛體的質(zhì)心為：hc=

所以式（10）可以寫成：U=Mghc，也即是剛體的重力勢(shì)能可以看成其全部質(zhì)量集中在質(zhì)心處時(shí)候的重力勢(shì)能。

六、討論與總結(jié)

通過(guò)上面的討論可以看到，在質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)以及剛體力學(xué)中引入質(zhì)心的概念是非常有用的。引入質(zhì)心概念后，可以很自然地得出多體系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定理以及剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。同時(shí)，利用質(zhì)心的概念，使得剛體的動(dòng)能以及勢(shì)能得到更加準(zhǔn)確的表述，這表明了質(zhì)心在處理這類經(jīng)典物理問題中的優(yōu)越性。

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