幾何方法在大學數學教學中的應用

王輝

在大學數學的課堂教學中，如何應用幾何方法培養學生的邏輯與直觀相結合的完備的思維能力體系，是一個值得研究的問題。大學數學課程是高等教育各個環節的必修課程，它在高等教育過程中占有非常重要的地位。該課程具有高度的抽象性，學生在學習過程中難免會遇到些困難。以往的大學數學教學往往過多地關注結論的推理和演繹，卻忽視了數學科學的直觀性。通常認為，邏輯與直觀是數學思維的兩大來源，二者是相輔相成的，缺一不可。抽象離開了直觀是不會走得太遠的，同樣在抽象中如果看不出直觀，說明還沒有把握住問題的實質[1]。在教學過程中，我們應該對直觀性的數學思維方法給予一定的重視，可以適當地引進幾何直觀，用幾何方法或結論來幫助學生理解問題的產生、得出的結論等。從某種程度上來說，幾何直觀比嚴格的邏輯推理更重要。我們將從幾個方面來闡述如何有效地在大學數學課堂教學中引進幾何直觀，如何利用幾何直觀來理解概念、解決問題。

一 幾何方法在高等數學課程中的應用

高等數學課程是大學生進入大學校門的第一門理工科課程，它對各專業后繼課程的學習有重要的作用，它是學習后繼課程的必要準備和理論基礎，在高等教育中占有重要地位。但是，這門課程留給歷屆學生的印象往往是“抽象”“枯燥”“晦澀難懂”。為什么會出現這種情況，這是值得教育工作者，尤其是站在教學一線的廣大教師深思的問題。在以往的教學過程中，我們只注重結論的邏輯推理，忽視了問題具有直觀性的幾何意義。無論多么嚴格的邏輯推理，只是使學生相信結論的正確性，但不具有啟發性。我們在引導學生解決問題時，要注意適當地引進幾何直觀，開拓學生的視野，形成直觀性與抽象性相結合的思維體系。我們僅舉一例說明幾何直觀在高等數學課程中的作用。

例 求旋轉拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短距離。

關于這個問題，我們采用兩種不同的方法解決，其中之一是利用條件極值的方法[2]，不涉及幾何直觀方法，而另一種采用幾何直觀，再將這兩種方法加以比較。

方法一：設P（x，y，z）為旋轉拋物面z=x2+y2上任一點，則P到平面x+y-2z=2的距離為：d=|x+y-2z-2|。于是問題轉化為：求函數f （x，y，z）=（x+y-2z-2）2在約束條件z=x2+y2下的極值。作拉格朗日輔助函數：F（x，y，z，λ）=（x+y-2z-2）2-λ（x2+y2-z）。

令

F'=2（x+y-2z）-2λx=0，

F'=2（x+y-2z）-2λy=0，

Fx'=2（x+y-2z）（-2）+λ=0，

F

'=x+y

-z=0.

經過繁瑣的計算，得上述拉格朗日函數的唯一駐點：x=y=，z=，λ=1。將上述駐點代入距離d=|x+y-2z-2|，再由實際意義知最小值存在，于是得到旋轉拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短距離為。

上述解答看似簡單，但計算量較大，尤其是求駐點的過程十分繁瑣。我們再來看下一方法。

方法二：由幾何直觀，若旋轉拋物面z=x2+y2上點P（x，y，z）到平面x+y-2z=2的距離最短，則旋轉拋物面z=x2+y2在點P（x，y，z）的法向量平行于平面x+y-2z=2的法向量。但是很容易求得旋轉拋物面z=x2+y2在點P（x，y，z）的法向量為（2x，2y，-1），平面x+y-2z=2的法向量為（1，1，-2）。因此：==。從而解得x=y=。再將上述解代入旋轉拋物面的方程得z=。于是將上述三個變量的值代入點到平面的距離公式得到旋轉拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短距離d=。

我們將上述兩種解法加以比較，發現第一種解法運用條件極值的拉格朗日乘數法，計算量很大。而第二種解法在幾何直觀方法的幫助下，計算量很小，幾乎借助于心算就能解決問題。而且這種方法具有一定的普遍意義，例如用此方法可以解決閉曲面上到平面的最短和最長距離，等等，而第一種方法不一定湊效。其次，第二種方法所使用的直觀性數學思維，是數學學習和研究的最重要的思維方法之一，它有助于學生形成抽象與直觀相結合的完備的數學思維方法，而這正是新的形勢下社會對高等教育提出的新的要求，值得高等教育從業者大力倡導。

二 幾何方法在數理統計課程中的應用

通常認為，統計學與純數學的關系不大，甚至國內外有些學者認為統計學不屬于數學的范疇。但統計學是較多地將數學作為基本工具的學科是沒有爭議的。其實，不僅傳統的微積分等在統計學中運用較多，幾何學在統計學中也有用武之地。不僅如此，在統計學中，如能恰當地使用幾何學，往往能起到事半功倍的作用。教育工作者在從事統計學教學時，也要有意識地利用幾何直觀方法來培養學生的直觀思維能力。這往往有助于學生更深刻地理解統計學中的概念和方法，有助于學生理解和思考知識間的聯系，養成質疑和批判的習慣。這比接受知識更重要。我們也舉一例說明幾何方法在統計學中的重要性。

例 考察n個獨立的隨機變量，它們均服從正態分布，均值分別為μ1，μ2，…，μm方差均為σ2但未知。設k1，k2，…，kn，為n個不全為零的常數，求kμ 的置信系數為1-α的置信區間。

這個問題用傳統的統計學方法解決不難[3]。我們注意到，上述k1，k2，…，kn，是n個特定的常數。但是事實上我們往往要估計的不只是μ1，μ2，…，μm的一個線性組合，而是要同時估計μ1，μ2，…，μm的若干個線性組合，例如μ1-μ2，μ1+μ2-μ3及μ1+μ2-μ3等等。這時運用統計學的傳統方法就會顯得非常困難，甚至不能解決問題。下面我們從幾何直觀來考察這個問題，從中我們可以看出幾何直觀方法的有效性。

設X1j，X2j，…，Xmj，是來自總體N（μj，σ2）的樣本，樣本大小為m。記Xj=Xij。我們知道，隨機變量服從自由度n為的卡方分布χ2（n）。且由于上述隨機變量僅僅是X1，…，Xm函數，那么隨機變量與隨機變量V=（X-）2相互獨立。故隨機變量F=服從自由度為n和n（m-1）的F-分布。對于很小的正數a，查表可求得滿足P（F≤d）=1-a即P[（-μ）2≤]=1-a的常數d的值。注意到上式中的（-μ）是幾何學中n維歐式空間兩點之間的距離函數的平方，即點（μ1，μ2，…，μm）與隨機點（X1，X2，…，Xm）之間的距離平方，因此我們根據這個特征從幾何學的直觀性角度考慮這個問題。

在n維歐式空間中，過點（μ1，μ2，…，μm）的超平面方程為：

k1（x1-μ1）+k2（x2-μ2）+…+kn（xn-μn）=0，其中k1，k2，…，kn，

是n個不全為零的常數。點（X1，X2，…，Xm）到該超平面的距離平方為：。

幾何直觀告訴我們，隨機點（X1，X2，…，Xm）與點（μ1，μ2，μm）之間的距離是點（X1，X2，…，Xm）到形如k1（x1-μ1）+k2（x2-μ2）+…+kn（xn-μn）=0的平面之間的最大距離，k1，k2，…，km取遍n個不全為零實數。因此不等式（X-μ）≤成立0當且僅當不等式

≤對任何不全為零的實數k1，k2，…，km成立。于是對任意不全為零的實數k1，k2，…，km，kiμi的置信系數為1-a的置信區間為：

（kiXj-，kX+）（*）

于是我們利用幾何直觀性思維很容易地解決了這樣一個傳統統計學方法很難解決的問題。但在實際應用中，我們一般只需求得有限個線性組合kiμi的置信區間。上述方法不僅可以做到求置信區間，而且置信系數更高。設事件A為對任意實數組k1，k2，…，km，kiμi，kiμi的置信區間為（*）式，事件B為對有限實數組k1，k2，…，kiμi的置信區間為（*）式，則事件A發生時事件B必發生，那么P（A）≤P（B）。從而上述方法得到了kiμi的置信系數至少為的1-a置信區間。

我們再一次看到了幾何方法在大學數學教學中的作用。這種方法有利于培養學生的邏輯與直觀相結合的完備的思維體系。

參考文獻

[1]陳建華，蔡傳仁.幾何直觀在線性代數教學中的應用[J].工科數學，2002（1）.

[2]同濟大學數學系.高等數學（第六版，下冊），2007（6）.

[3]陳希孺.數理統計學教程[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2009（7）.