一道高考數列題的解法探究

黃俊峰

例題 ?（2014年高考新課標卷） 已知數列[{an}]滿足[a1=1，an+1=3an+1.]

（1）證明：[an+12]是等比數列，并求數列[{an}]的通項公式;

（2）證明：[1a1+1a2+…+1an<32].

第1問易求得[an=3n-12]，下面給出第2問的幾種證明方法.

證明一 ?利用裂項相消證明數列不等式

第2問的和式可轉化為利用裂項相消求和，求和后再放縮.

由[1an+1=23n+1-1=2（3n-1）（3n+1-1）（3n-1）<2?3n（3n+1-1）（3n-1）][=13n-1-13n+1-1]得，

[1a1+1a2+…+1an=1+（131-1-132-1）+（132-1-133-1）][+…+（13n-1-1-13n-1）]

[=1+12-13n-1<32.]

點撥 ?放縮結論：（1）[1k-1k+1=1k（k+1）<1k2<][1k（k-1）=1k-1-1k（k≥2）;]

（2）[2（1k-1k+1）=2k+k+1<1k<2k+k-1][=2（1k-1-1k）（k≥2）.]

證明二 ?直接構造等比數列

設數列[cn]是公比為[q]，首項[c1=1a1=1]的等比數列.

若[1an≤cn]，則只需數列[cn]的前[n]項和[Sn<32]即可.

而[Sn=c1+c2+…+cn=c1（1-qn）1-q

而[c1=1，]易求得[q=13.]

則只需證明[1an≤cn=c1?qn-1=13n-1，]即證明[23n-1≤13n-1].

用分析法容易證明上面的不等式成立，

則有[1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=32（1-13n）][<32.]

點撥 ?當可以直接用等比數列求和時，求和后放縮;否則先將通項放縮，從某一項開始放縮后，和式轉化為等比數列求和，求和后再放縮.

證明三 ?利用不等式放縮為等比數列

依題意易得，[1an=23n-1].

因為當[n≥1]時，[3n-1≥2×3n-1]，

所以[13n-1≤12×3n-1]，即[1an=23n-1≤13n-1].

以下同證明二.

點撥 ?為了轉化為等比數列求和后再放縮，有時也可用不等式放縮來達到目的.

證明四 ?利用分式性質放縮為等比數列

[n≥2]時，[1an=23n-1<2+1（3n-1）+1=33n=13n-1.]

以下同證明二.

點撥 ?為了轉化為等比數列求和后再放縮，可以利用假分數的一個性質[ba>b+ma+m（b>a>0，m>0）]來證明.

證明五 ?利用因式分解放縮為等比數列

[n≥2]時，[3n-1=（3-1）（3n-1+3n-2+…+3+1）>2?3n-1，]

則[1an=23n-1<2+1（3n-1）+1=33n=13n-1].

以下同證明二.

證明六 ?利用遞推關系放縮為等比數列

由[a1=1，an+1=3an+1]得，[an+1>3an，]

則[an>3an-1>][32an-2>33an-3>…>3n-1a1=3n-1.]

以下同證明二.

點撥 ?對于一個式子的[n]次方與一次式、二次式等進行比較的類型，一般可采用二項式定理進行減項放縮.

證明七 ?利用二項展開式放縮為等比數列

[n≥2]時，[3n-1=（2+1）n-1=C0n?2n+C1n?2n-1+…+1][-1][>2n+n?2n-1≥2n+2?2n-1=2n+1，]

[∴1an=23n-1<22n+1=12n，]

[∴1a1+1a2+…+1an]

[≤1+14+18+…+12n]

[=12+12（1-12n）1-12=32-12n<32].

證明八 ?數學歸納法

數學歸納法是證明與正整數有關的數學命題的常用方法，如果直接采用數學歸納法，從[n=k]到[n=k+1]很難過渡，故需將此不等式轉化為[1a1+1a2+…][+1an<32-λ?13n].

由數學歸納法的原理可知，

[1<32-λ?13，32-λ?13k+23k+1-1<32-λ?13k+1，]解得[1<λ<32].

取[λ=54，]下面用數學歸納法證明[1a1+1a2+…+1an][<32-54?13n].證明過程略.

點撥 ?對于數列型不等式[i=1naim]），可以先轉化為[i=1naim-f（n）]），然后用數學歸納法加以證明.

以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關鍵在于根據問題的特征選擇恰當的方法，有時還需要幾種方法融為一體. 在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果. 但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮后得不出結論或得到相反結論的現象. 因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要. 要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點. 以上八種方法中，轉化為裂項相消和等比數列是通用性方法，需要好好體會，只要我們有了方向和目標，那么問題就好解決了. 掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活.