一根多變 融會貫通

何勇波

課本題根 ?（高中A版選修1-1第99頁B組習題第（3）題）當[x>-1]時，不等式[ex≥1+x]成立，當[x=0]時，等號成立.

題根應用 ?[ex≥1+x]①.

例1 ?已知函數[f（x）=（1+x）e-2x]，當[x∈0，1]時，求證：[f（x）≥1-x].

證明 ?因為[ex≥1+x]，所以[f（x）=（1+x）e-2x>（1+x）][（1-2x）=1-x-2x2≥1-x]. 即[f（x）≥1-x]成立.

例2 ?已知[f（x）=（1-x）ex-1].

（1）求證：當[x>0]時，[f（x）<0];

（2）數列[xn]滿足[xnexn+1=exn-1]，[x1=1]，求證：數列[xn]遞減且[xn>12n].

證明 ?（1）略.

（2）由[xnexn+1=exn-1]得，[exn+1=exn-1xn].由①得，[exn+1=exn-1xn>xn+1-1xn=1]，所以[xn+1>0]，即[xn>0].由（1）知[f（xn）<0]，即[（1-xn）exn-1<0]，[exn-112n]的過程略）

例3 ?設函數[f（x）=ex-e-x].

（1）證明：[f（x）]的導函數[f（x）≥2];

（2）若對所有[x≥0]都有[f（x）≥ax]，求[a]的范圍.

解析 ?（1）略.

（2）要使[f（x）≥ax]，即[ex-e-x≥ax]恒成立，根據①得，[ex-e-x≥1+x-11+x=x2+2x1+x]，只需[x2+2x1+x≥ax]，即[a≤x+21+x=1+11+x]. 令[g（x）=1+11+x]，易知，當[x≥0]時，[f（x）]單調遞減，故[g（x）=1+11+x]的最大值是[g（0）=2]，[a]的范圍是[a≥2].

點撥 ?以上三個例子是題根不等式的直接應用，其作用就是將證明以底數的指數式轉化為一次函數的問題. 例1中，其標準答案的解法是：先移項，然后構造函數，再求導數，根據導數判斷函數的單調性，最后利用函數的單調性證明該不等式. 本題直接利用題根不等式和不等式的性質通過適當縮小就可以證明原題，過程簡單明了. 例2中，其標準答案的解法是：利用數學歸納法，步驟呆板僵化，過程冗長，利用課本題根解答則簡潔明快，容易理解. 例3是恒成立問題，解題的過程通常是移項構造函數，再根據導數的正負情況判斷函數的單調性，將恒成立問題轉化為求函數的最大值問題.

題根變式1 ?在題根中，令[t=1+x，]可得[t-1≥lnt，][t>0]②.

例4 ?設函數[f（x）=ln（1+x），][g（x）=xf（x），][x≥0，]其中[f（x）]是[f（x）]導函數.已知[f（x）≥ag（x）]恒成立，求實數[a]的取值范圍.

解析 ?要使[f（x）≥ag（x）]，即[ln（1+x）≥ax1+x]恒成立，分離參數得：[a≤（1+x）ln（1+x）x]恒成立. 根據②有[（1+x）ln（1+x）x≤（1+x）xx=1+x]. 只需使[a≤1+x]恒成立.當[x≥0]時，[1+x]的最小值是1，因此，[a]的取值范圍是[a≤1].

例5 ?已知函數[f（x）=ex-ln（x+m）]， 當m≤2時，證明：f（x）>0.

證明 ?要使f（x）>0恒成立，即[ex-ln（x+m）][>0]，即[ex>ln（x+m）]（*）恒成立. 根據題根和②式有，[ex≥1+x，]當[x=0]時，等號成立;而[ln（x+m）≤x+m-1，]當[x+m=1]時，等號成立. 等號不能同時成立，因此[ex≠ln（x+m）]. 于是要使（*）恒成立，只需[1+x≥x+m-1]，即m≤2.

點撥 ?題根變式1的作用就是將含自然對數的函數放大為一次函數，再將原問題轉化為求一次函數的最小值問題. 例4是恒成立問題，使用題根不等式的變式1只需要先分離參數，再求出一次函數[y=1+x]當[x≥0]時的最小值就可以了，避免了對參數進行分類討論. 例5是2013年高考理科Ⅱ卷的壓軸題，按標準答案解題，需要對參數進行討論;而運用題根及其變式1，把含指數和對數的問題轉化為比較兩個一次函數的大小問題，過程十分簡潔，同時也避免了對參數的討論.

題根變式2 ?在題根中，令[x=1k]（[k≠0]），得到[1k>ln1+1k]，即[ln（k+1）-lnk<1k]③.還可以得到[kln1+1k<1]，即[1+1kk

例6 ?已知函數[f（x）=][2aln（1+x）-x][（a>0）]. 求證：[4lge+lge2+lge3+…+lgen>lge（1+n）nnn（n+1）（n∈N*）].

分析 ?要證原不等式成立，只需證[4+12+13+…][+1n>lge（1+n）nnn（n+1）lge，]即證[4+12+13+…+1n>lne（n+1）nnn+][ln（n+1）]，即證[4+12+13+…+1n][>ln（n+1）+1+1nn].在不等式③中分別令[k=1，2，][…，n]得，[ln2-ln1<1]，[ln3-ln2<12]，…，[ln（n+1）][-lnn<1n]，將以上各不等式的左右兩邊分別相加得，[1+12+13+…+1n>ln（n+1）]. 根據④可得，[3>e>1+1kk].

證明 ?在不等式③中分別令[k=1，2，][…，n]得，[ln2-ln1<1]，[ln3-ln2<12]，…，[ln（n+1）-lnn][<1n]，將以上各不等式的左右兩邊分別相加得，[1+12+13+…+][1n>ln（n+1）].

根據④可得，[3>e>][1+1kk].

[∴4+12+13+…+1n>ln（n+1）+1+1nn，]

[∴4+12+13+…+1n>lne（n+1）nnn+ln（n+1），]

[∴4+12+13+…+1n>lge（1+n）nnn（n+1）lge，]

即不等式[4lge+lge2+lge3+…+lgen>lge（1+n）nnn（n+1）]成立.

點撥 ?題根變式2是聯系指數式與自然對數式的橋梁. 本題的標準答案是利用數學歸納法證題，步驟呆板，過程復雜，難以理解;但利用題根變式2，短短幾行就可以說明問題.

題根變式3 ?由①得[1+xex≤1]，當[x>0]時，有[0<1+xex<1]⑤.

例7 ?已知函數[f（x）=lnx+kex]（[k]為常數，[e=]2.71828…是自然對數的底數），曲線[y=f（x）]在點[1，f（1）]處的切線與[x]軸平行. 設[g（x）=（x2+x）f（x）]，其中[f（x）]是[f（x）]的導函數. 證明：對任意[x>0，][g（x）<1+e-2].

分析 ?由題意可得[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）]. 由⑤得，[g（x）<1-x-xlnx]，要證明原不等式成立，只需證明[1-x-xlnx<1+e-2].

證明 ?由題意可得，[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）].令[h（x）][=1-x-xlnx，]則[h（x）=-2-lnx.] 所以，當[-2-lnx>0]時，即[00，h（x）]是增函數;當[x>e-2]時，[h（x）<0，h（x）]是減函數. 因此，當[x=e-2]時，[h（x）=1-x][-xlnx]有最大值[he-2=1-e-2-e-2lne-2=][1+e-2，]即[1-x][-xlnx≤1+e-2.] ?則[g（x）=（x+1）ex（1-x-xlnx）<][（x+1）e2（1+e-2）.]由⑤得，[（x+1）e2（1+e2）<1+e-2，]即[g（x）<1+e-2]成立.

點撥 ?本題直接利用題根變式3就可以證明[g（x）<1+e-2]. 避免構造函數，通過求導判斷函數的單調性來證題，簡化了證題過程.