不等式易錯感悟

余欣

基本不等式是高中數學的重點內容，是高考的熱點，常用來求與最值有關的問題. 我們由于對公式缺乏深刻的認識，在解題中屢屢出錯. 現列舉解題中的典型錯誤，以期對大家有所幫助.

忽略[a<0]

例1 ?解不等式[（x+1）（2-x）<0].

錯解 ?因為方程[（x+1）（2-x）=0]的兩根為[x1=-1，x2=2]，

所以不等式[（x+1）（2-x）<0]的解集為（-1，2）.

分析 ?此時[x]的系數為負數，運用公式出錯.

正解 ?[x|x>2或x<-1]

感悟 ?必修五教材上解一元二次不等式的表格中，列出了不等式[ax2+bx+c<0（a>0）]在[Δ>0]即方程[ax2+bx+c=0]有不同兩根[x1，x2]的情況下，不等式的解集是在兩根之內，即[（x1，x2）.] 但[（x+1）（2-x）<0]類型的不等式，恰好隱蔽[a<0]，我們往往會因忽略[a<0]而出現上述解法錯誤. 而且我們常有先入為主[（a>0）]的定向思維，一看不等號方向是小于符號，會毫不猶豫地寫出在兩根之內的錯誤解集.

忽視定值

例2 ?已知[y=2x2+1][（x∈[1，+∞））]，求[y]的最小值.

錯解 ?[y=2x2+1≥22x2?1=22x].

又[x∈][[1，+∞）]，所以[22x≥22].

從而[y]的最小值為[22].

分析 ?[y=2x2+1≥22x2?1=22x]中，[2x2?1]不是定值.

正解 ?如圖，因為函數[y=2x2+1]在[x∈[1，+∞）]為單調增函數.

所以函數的最小值為3.

感悟 ?求和的最值，湊積為定值;求積的最值，湊和為定值.

忽視等號成立的條件

例3 ?已知[a>0，b>0，]且[a+b=1，]求[（a+1a）（b+1b）]的最小值.

錯解1 ?因為[a>0，b>0，]

所以[（a+1a）（b+1b）≥][2a?1a.2b?1b=4].

錯解2 ?[（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba]

[≥2ab?1ab+2ab?ba=4].

錯解3 ?[（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba]

[=ab+2ab-2≥2ab?2ab-2=22-2].

分析 ?錯解1和錯解2利用了兩次基本不等式，取等號的條件都是[a=b=1，]不可能成立. 錯解3盡管只用了一次，但注意到取等號的條件是[ab=2]，也不能成立.

正解 ?依題意知，[ab≤（a+b2）2=14]，所以[ab∈（0，14]].

又[（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba=ab+2ab-2]，

參考函數[y=x+2x]，如圖. 當[ab=14時]，有最小值[254].

例4 ?求函數[y=xa2-x20

錯解 ?由[00，2（a-x）>0，]于是，

[y= x a2- x2 ?=12x a + x ?（2a- 2x ）]

[≤12[x+ a+ x ?+ 2a- 2x 3]3=12a3.]

所以函數[y]的最大值是[12a3].

分析 上述解法中忽視了等號成立的條件. 事實上， 三個正數[x，a+x，2a-2x]不可能全相等， 所以解法是錯誤的.

正解 由[0< x< a]知， [00].

于是， [y2= x2a2-x22=12·2x2a2-x22]

[≤12[2x2+a2-x2 +a2-x23]3=427a6.]

又[y >0]， 所以[y≤239a3.]

當且僅當[2x2=a2-x2]，即[x= 33a]時，函數[y]有最大值[239a3.]

感悟 ?運用有關的定理性質、不等式放縮、同向不等式迭加時，要特別注意等號能否取得. 對例3中基本不等式利用一次、兩次都不成立的問題可轉化為形如函數[y=mx+nx（m，n>0）]的單調性問題. 利用函數的單調性構造不等關系時，要明確函數的單調性或單調區間及其定義域限制.

忽視正數

例5 ?求函數[y=x+4x]的值域.

錯解 ?因為[x+4x≥2x?4x=4]（當且僅當[x=2]時取等號），所以值域為[4，+∞].

分析 ?運用公式時，縮小了參數的取值范圍.

正解 ?（1）[當x>0時，x+4x≥2x?4x=4]（當且僅當[x=2]時取等號）.

（2）當[x<0時，-x>0.]而[（-x）+（-4x）≥2（-x）（-4x）=4]（當且僅當[x=-2]時取等號），

所以[x+4x≤-4].

綜上，函數的值域是[（-∞，-4]?[4，+∞）].

感悟 ?使用[a+b≥2ab]時，注意條件：[a，b∈R+].

遺漏端點

例6 ?已知集合[A=x|x2-x-2≤0，][B=x|a

錯解 ?[A=x|x2-x-2≤0=x|-1≤x≤2].

若使[A?B=?]，需滿足[a>2或a+3<-1]，解得[a>2或a<-4].

所以實數[a]的取值范圍是[a>2或a<-4].

分析 ?上面的解法錯誤原因在于忽視了集合[A=x|-1≤x≤2]的兩個端點值-1和2，其實當[a=2]時，[B=x|2

正解 ?[A=x|x2-x-2≤0=x|-1≤x≤2].

若使[A?B=?]，需滿足[a≥2或a+3≤-1]，解得[a≥2或a≤-4].

所以實數[a]的取值范圍是[a≥2或a≤-4].

感悟 ?不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值，求解時需注意其是否能夠取得.

隨意消項

例7 ?解不等式[（x2-4x+4）（x2-4x+3）≥0].

錯解 ?原不等式可化為[（x-2）2（x-1）（x-3）≥0].

[∵（x-2）2≥0，∴（x-1）（x-3）≥0].

所以[x≥3或x≤1].

所以原不等式的解集為[x|x≥3或x≤1].

分析 ?錯解是由于隨意消項造成的，事實上，當[（x-2）2=0]時，原不等式亦成立.

正解 ?原不等式可化為：[x≠2，（x-1）（x-3）≥0，]或[x=2]，

解得[x≥3或x≤1或x=2].

所以原不等式的解集為：[x|x≥3或x≤1或x=2].

感悟 ?解不等式時，要注意轉化的等價性，防止出現增解或漏解.