從足球海報看數學公式

朱國軍　葉軍

2013年11月4日，廣州恒大俱樂部貼出了亞冠決賽第二回合的海報，主題是“11月9日，我們共同解答，冠軍終歸這里”。海報中列出兩個恒等式代表恒大與首爾第二回合的預測比分。海報的寓意是，決賽終將以3：0奪冠。

11月9日，比賽當日，廣州恒大隊最終以主場1：1戰平首爾FC，以總比分3比3奪得亞冠冠軍。現實雖然和理想相去甚遠，但預測畢竟只是預測，這個有點僥幸的結果對中國足球來說，已經足夠慶賀一下了。恒大奪冠，對中國足球和大部分球迷來說，無疑是難得的喜訊，讓很多數學好或者不好的球迷一起去重溫這份海報。一時間，一份足球海報擔任了數學科普的角色，數學以一種奇特的姿態展示在世人面前。勉強得到的冠軍畢竟還是冠軍，怎么說總讓這兩個奇特的式子獲得了向大眾一露微笑的機會，其“教學效果”好像比數學老師在黑板上講n遍好得多。那么這兩個式子的意思究竟是什么呢？

左邊的是拉馬努金恒等式，結果等于3；右邊的是歐拉公式eπi+1=0。

拉馬努金（1887～1920），印度數學家。家境貧困，少年時代即顯示出對數學較強的直覺和洞察能力，10歲進入中學，通過自學的方式學習數學，14歲左右就顯示出自身的數學天才。成年以后，他的數學成果引起英國著名數學家哈代（G.H.Hardy）的關注，經引薦，拉馬努金到英國跟隨哈代學習數學，接受系統的數學訓練，后因健康問題回國，不久去世。拉馬努金的數學天才以偉大的洞察力著稱于數學界，簡單地說，拉馬努金不是“證明”數學公式，而是直接“發現”公式。如下面的與圓周率有關的級數公式：

無人知道拉馬努金短暫的一生對現代數學的損失究竟有多大，哈代在回憶中評價他和這位學生的合作，說和拉馬努金的合作是“我一生中最浪漫的事件”。

國際上主要有兩項拉馬努金為名的獎：SASTRA Ramanujan Prize和The Ramanujan Prize。前者由拉馬努金的故鄉在2005年創立，頒發給年齡不超過32歲的年輕數學家，獎金一萬美元。2006年的獲獎者，是澳大利亞的華裔數學家陶哲軒。后者The Ramanujan Prize由ICTP（國際理論物理中心）2005年創立，頒發給發展中國家的優秀數學家。獲獎者的年齡不超過45歲，清華數學中心訪問學者張偉榮獲2010年SASTRA Ramanujan獎。

下面的故事能充分說明拉馬努金對數字的敏感和洞察力。有次拉馬努金生病，哈代前往探望。哈代說：“我乘出租車來，車牌號碼是1729，這個數沒什么意思。”拉馬努金答道：“不，那是個很有趣的數。在可以表示為兩個數的立方之和，而且僅有兩種表達方式的數之中，1729是最小的。”（即1729=13+123=93+103，后來這類數被趣稱為“的士數”）哈代的好友，同樣是數學家的利特爾伍德聽了這個故事后評價說：“每個整數都是拉馬努金的朋友。”

如果把所有的根號擦去，剩下的數字是：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，8…相當于在自然數列1，2，3，4，5…相鄰兩個數之間中插入1。掌握這一規律，不需要很多的數學知識，你也能把拉馬努金恒等式隨意寫下去，它們的值都等于3。

網上有人指認，書寫恒大比分的筆是一種“名牌鋼筆”，而書寫首爾隊比分的筆不過是普通的圓珠筆，此中意味，似乎不言自明。廣告設計者若真的在書寫工具上企圖給出某種暗示，以求迎合國內球迷的求勝心理，似乎毫無必要。要知道，歐拉公式eπi+1=0，其數學內涵，絲毫不比前一個公式遜色：在一個簡短的式子中，把數學中最常用的5個數e（自然對數的底數，e=2.718281828…也是一個無理數）、π（圓周率）、i（虛數單位）、1、0連接起來，該公式被評為“最美的數學公式”。只不過，要給廣大球迷順便科普一下歐拉公式，好像沒那么容易。

（作者單位：南京師范大學附屬中學江寧分校）