基于解耦型GMDH的車身材料參數反求

殷為洋　王　琥　馮　慧　湯　龍

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

基于解耦型GMDH的車身材料參數反求

殷為洋王琥馮慧湯龍

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

動態載荷作用時,具有應變率效應的材料在碰撞仿真中會展現出不同于靜態載荷時的性能,準確的材料參數是獲得可靠仿真結果的前提。主流的近似模型優化方法忽略了對變量間耦合關系的判定,造成近似模型中存在不必要的耦合項,增大誤差項所占比重,降低模型的效率和泛化能力。為此,提出了解耦型數據分組處理方法(GMDH),在建模初期判斷變量之間的耦合關系,進而確定模型的耦合項。在高維非線性函數測試中,該方法表現出優良的建模性能;將該方法與臺車試驗結合,反求出兩種材料構成的拼焊板參數,與試驗結果的對比表明,該反求方法具有較高的精度。

應變率效應;耦合關系;解耦型數據分組處理方法(GMDH);近似模型

0　引言

汽車輕量化是涉及到安全、節能和環保的綜合性課題。車體減重10%可節省燃料8%～10%[1]。隨著科學技術的進步,新型材料不斷涌現,這為汽車輕量化開辟了廣闊的發展空間。大部分車身材料具有應變率效應,即在動載荷作用時會呈現出不同于靜載荷作用時的力學特性。汽車碰撞是以大位移、大轉動及大應變為特征的復雜非線性動力學問題。在傳統的材料參數確定中,材料參數是在標準試樣件拉伸試驗的基礎上通過測試解析關系得到的,不能反映材料在汽車碰撞仿真中的動態性能，在仿真時會造成相當大的誤差。因此,選擇合適的應變率模型并獲得正確的材料參數是汽車碰撞仿真的前提[2]。

目前,國際上主流的參數反求方法是試驗與仿真結合的混合數值方法，即將材料參數反求轉化為工程優化問題：以試驗測試結果為目標依據，利用計算機對真實試驗進行仿真，將仿真值與試驗值之間的誤差函數最小化，從而得到材料參數。曹銀峰等[3]介紹了參數反求的基本公式和關鍵算法,并將試驗點的活度規則與試驗結合反求出材料參數;Eggertsen等[4]將周期屈服試驗與響應面結合，反求出模擬回彈的材料參數;Sedighi等[5]將Levenberg-Marquardt算法與高速拉伸試驗結合，反求了兩種鋼的材料參數;李恩穎等[6]將最小二乘支持向量機回歸(least squares support vector regression,LS-SVR)與碰撞試驗結合，反求出了DP600高強鋼的材料參數。

隨復雜度的增大,花費在仿真計算的時間成本大幅度增加，為了提高效率和節省成本，有效方法是建立近似模型。目前,國內外構造近似模型的方法有神經網絡、多項式響應面及移動最小二乘等[7]。通過驗證,發現這些近似模型方法應用于低維問題時有較好的效果,然而,隨著問題維數的增加,用于構造這些近似模型的樣本點數目及計算成本會急劇增加,同時變量之間不必要的耦合項會變成冗雜項,增加網絡的冗雜度,大大降低模型的效率和泛化能力。

結合樣本點成本問題與高維變量間耦合性問題,本文提出解耦型數據分組處理方法(group method of data handling, GMDH)近似模型：在傳統GMDH的基礎上，引入耦合性判斷機制，根據判斷結果決定是否保留耦合項。在高維測試函數算例中，算法表現出較高的精度。最后將該算法成功運用到車身拼焊板材料參數的反求中。

1　GMDH近似模型

GMDH的基本思想是用模擬生物有機體演化的方式來構造數學模型,它不要求模型開發者完全掌握系統的內部變化機理,不需要事先確定模型及其參數,而是利用輸入、輸出的實測數據確定模型輸入變量及其參數。在建模過程中并非利用人為事先確定的函數關系式，而是利用所提供的建模數據通過計算機自動尋找數據間的函數關系。

GMDH近似模型的構造過程[8]如下:

(1)確定輸入變量xi(i=1,2,…,N)和目標變量y,輸入變量即構成第一層的各個活動節點。

(2)將輸入變量兩兩配對,組成N(N-1)/2個活動節點,以完全二次多項式作為活動節點的部分描述,并對該層所有的節點進行精度評估,保留一定數目的節點作為母本進入下一層節點的構造中,直至滿足終止準則。

(3)終止準則。滿足下列兩個條件中的任何一個即終止GMDH網絡的構造:①當只有一個節點時；②當本層中的最小準則值大于上一層的最小準則值時(此時選擇上層中最小準則值對應的節點)。

傳統的GMDH模型沒有判斷變量間的耦合關系而直接加入耦合項,對于沒有耦合關系的變量會增加不必要的耦合項即誤差項。隨著構造進程的推進，不必要的耦合項經過多次再耦合，模型中的不必要項所占比重也逐漸增大,導致誤差項增大，大大降低近似模型的效率和精度。

2　解耦型GMDH近似模型

傳統GMDH模型在構建初期不判斷耦合關系就引入耦合項,最終影響近似模型精度。解耦型GMDH模型則在構造第二層各個活動節點之前，首先利用高維模型表示(high dimensional model representation,HDMR)方法[9]判斷變量間的耦合關系，根據判斷結果決定是否加入耦合項，其構造過程如下：

(1)所有變量xi構成網絡的第一層節點。

(2)取問題域中心點并計算樣本值f0,該樣本點作為構造單變量非耦合項的評價準則。

(3)在單變量xi∈X(X=(y1,y2,…,xi,…,yN))的定義區間為構造其非耦合項fi(xi)=f(XT)-f0布點,然后利用徑向基函數(radialbasisfunction,RBF)方法[10]構造fi(xi)。與其他插值方法相比,RBF插值方法特別適合多維離散點的插值，不會因為插值點的位置關系而產生病態的系數矩陣，而且使用比較少的網格點即可得到同最小二乘方法相當的精度。

(4)判斷fi(xi)的線性與非線性。如果滿足收斂條件:

(1)

則單變量的非耦合項構造完成;否則,繼續采樣構造單變量的非耦合項直至滿足收斂條件。由于實際工程問題中不確定因素的增多以及系統誤差的存在,在運用解耦型GMDH算法解決工程問題時,可將收斂條件適當放寬。

(5)循環執行步驟(3)和(4)直至所有變量的非耦合項構造完畢。

(6)判斷兩兩變量間是否存在耦合關系。識別變量之間的耦合性,構造新樣本點WT=(y1,y2,…xi,…,xj,…yN)T(i≠j)并計算其真實樣本值f(WT)。在精度允許的誤差范圍內(即設定一較小的閾值，如0.0001),若滿足關系f(WT)=f0+fi(xi)+fj(xj),即常數項和非耦合項構成的近似模型已能夠模擬真實值,則認為輸入變量xi與xj之間不存在耦合關系,否則兩變量之間存在耦合關系。

(7)構建GMDH模型第二層的活動節點。以兩變量的完全二次多項式為基本表達式,根據步驟(6)中的判斷結果,靈活決定活動節點的部分表達式是否剔除耦合項a5x1x2。

(8)篩選并確定母本。利用AIC準則(Akaike’s information criterion)[11]對步驟(7)中構造出的所有節點進行評價,在本層所生成的所有活動節點中,選擇AIC值最小的5個節點作為母本繼續構造下一層，直至達到收斂條件。

AIC準則是由Akaike在研究信息論特別是在解決時間序列定階問題時提出來的[12],其顯著特點之一是“吝嗇原理(principle of parsimony)”的具體化,公式為

PAIC=-2lnP+2Q

(2)

式中,PAIC為AIC值;P為模型的極大似然函數;Q為模型的獨立參數個數。

當從待選擇模型中選擇最佳模型時,AIC值最小的模型是最佳的。當兩個模型之間存在相當大的差異時，這個差異在式(2)右邊第一項得到表現;而當兩個模型之間的差異幾乎沒有時,則式(2)第二項起作用，從而參數個數小的模型是好的模型。

解耦型GMDH近似模型構建流程見圖1。

圖1　解耦型GMDH近似模型構建流程圖

3　高維測試函數測試

為驗證解耦型GMDH近似模型的精度,采用高維函數進行測試。

3.1近似模型評價指標[13]

(1)判定系數R2為

(3)

R2是一個整體指標,其值越接近1,模型越精確。

(2)平均絕對誤差ERAAE(relative average absolute error)為

(4)

式中,STD為標準差。

ERAAE是一個整體指標,其值越小,模型越精確。

(3)最大絕對誤差ERMAE(relative maximum absolute error)為

(5)

ERMAE是一個局部指標,它描述了設計空間中的局部誤差,其值越小模型精度越高。

3.2所用測試函數及結果

對每個測試函數建立其10維問題的近似模型,均用隨機生成的樣本連續測試30次,其中De-GMDH代表解耦型GMDH方法,GMDH代表傳統數據組處理方法,PR代表多項式方法,RBF代表徑向基函數方法。

(1)不含耦合項的測試函數如下：

(6)

(7)

(8)

上述3個函數的各指標結果對比分別見表1～表3。

表1　式(6)函數各指標結果對比

表2　式(7)函數各指標結果對比

表3　式(8)函數各指標結果對比

以上各個函數中變量之間不存在耦合關系,采用解耦型GMDH構建近似模型過程中均能準確判斷變量的耦合性，在初始建模階段就剔除了耦合項，不僅簡化了模型結構,還減小了誤差項的比重，提高了精度,即使樣本點數目減少一半，各個指標值也均優于傳統的GMDH。

(2)含有耦合項的測試函數如下：

(9)

(10)

(11)

上述3個函數的各指標結果對比分別見表4～表6。

表4　式(9)函數各指標結果對比

表5　式(10)函數各指標結果對比

表6　式(11)函數各指標結果對比

以上各個函數中變量之間存在耦合關系,解耦型GMDH保留了部分表達式中的耦合項，整個建模過程與傳統GMDH幾乎一樣,即樣本數目與精度基本保持一致。

根據上述兩種類型的高維測試函數測試結果可以得到：在構建上述近似模型過程中，解耦型GMDH能夠準確判定出各個變量之間的耦合關系，進而在構建第二層活動節點時只需決定是否添加耦合項，從而達到了減小誤差項比重、提高擬合精度的效果。

4　建立薄壁吸能筒近似模型

4.1吸能筒的幾何參數

圖2　四部分構成的薄壁吸能梁撞擊剛性墻

圖3　橫截面尺寸

根據實際的吸能筒臺車碰撞試驗中所用吸能筒的幾何尺寸及材料匹配情況,建立雙吸能筒有限元模型，如圖2所示。其中，前后兩個吸能筒的材料分別為DP590和DP780,厚度分別為1.0 mm和1.5 mm,每個吸能筒由上下兩部分焊接組合而成,具體的橫截面幾何參數如圖3所示。圖3中各部分長度如表7所示。此外每個吸能筒的長度為200 mm。

表7　吸能筒橫截面尺寸　mm

4.2吸能筒臺車碰撞有限元模型

參照試驗條件下的臺車結構，在Hypermesh中建立八邊形主機吸能前縱梁-臺車結構的有限元模型(圖4)。吸能筒的單元尺寸設置為5 mm, 臺車的速度設置為30 km/h。臺車部分的屬性設置為不變形的剛體,采用第20號剛性殼體,調整模型質心位置,使之與實際臺車質心位置一致。

圖4　吸能筒臺車碰撞的有限元仿真模型

在臺車碰撞仿真中,輪胎是臺車模型中比較重要的部件。為了提高模型的精度,在臺車模型中考慮車輪模型高速旋轉運動和摩擦特性，使車輪由高速旋轉逐漸停止。為實現仿真與試驗中輪胎剛度的擬合,綜合考慮了輪胎單元屬性、材料參數、輪胎氣壓等，本文中的輪胎厚度與材料參數均為實際輪胎數據，輪胎剛度擬合參照文獻[14]。

4.3吸能筒的本構模型

常用的率相關本構模型主要有Johnson-Cook(JC)模型、Zerilli-Armstrong(ZA)模型、Cowper-Symonds(CS)模型及Piecewise-Linear(PL)模型等。其中JC模型引入了材料的應變率強化及熱軟化參數，適用于大多數金屬材料的準靜態變形到高速變形的仿真，如彈道穿透、碰撞等。本文選擇JC模型：

(12)

(13)

在不考慮溫度效應的情況下忽略式(13)，JC模型簡化為

(14)

4.4吸能筒的材料參數反求

在該焊接雙吸能筒的材料反求中,以兩種材料的JC模型參數為自變量(DP590的A、B、n、C和DP780的A、B、n、C),均勻選取21個加速度仿真值與對應試驗值的平均相對誤差作為目標變量：

(15)

式中,ati為第i個試驗數據加速度值;asi為第i個仿真數據加速度值；M為加速度值取樣點數。

各個加速度值是加速度曲線經濾波處理后均勻截取的。目標函數與各個待匹配參數的關系為

F=min(S(A1i,B1i,n1i,C1i,A2i,B2i,

n2i,C2i)-atest)=S(Xbest)-atest

(16)

(A1i,B1i,n1i,C1i,A2i,B2i,n2i,C2i)∈Di=1,2,…,M

式中,A1、B1、n1、C1、A2、B2、n2、C2為待求參數;S(A1,B1,n1,C1,A2,B2,n2,C2)為該組參數對應的仿真計算值;atest為試驗值;Xbest為參數的最佳組合值；D為參數區間。

以R2為收斂條件,逐漸增加樣本點,當滿足R2>0.9時即停止構造，并結合遺傳算法完成材料參數的反求。

DP590和DP780的JC模型參數取值區間設置分別如表8、表9所示。

表8　DP590的JC模型參數取值區間

表9　DP780的JC模型參數取值區間

采用解耦型GMDH和傳統GMDH兩種方法分別構造近似模型,并與遺傳算法結合來反求材料參數。設置種群大小為100,迭代次數為50,樣本點成本及收斂結果對比如表10所示。

表10　兩種方法收斂結果對比

反求得到的8個參數對比結果如表11所示。

表11　參數反求對比結果

5　試驗驗證

為了檢驗參數的可靠度,將反求的8個參數輸入有限元模型中，并將仿真結果與試驗結果進行對比，圖5為碰撞試驗的變形結果圖。

圖5　雙焊接吸能筒的臺車碰撞試驗

分別將有限元模型的加速度與試驗過程中的加速度在Original中繪制成圖形,對比結果如圖6和表12所示。

圖6　吸能筒碰撞仿真與試驗對比加速度曲線

試驗值(g)DeGMDHGMDH仿真值(g)相對誤差(%)仿真值(g)相對誤差(%)最大值28.243228.24030.010330.21526.9822平均值13.964814.79485.943516.137715.5598

進一步探究仿真加速度結果與試驗加速度結果之間的誤差,由近似模型技術反求得到的參數計算得到的仿真加速度與試驗加速度之間的誤差見表12。

吸能筒的碰撞涉及眾多復雜的因素,計算不可避免地產生誤差。在綜合各個影響因素的基礎上,從上述結果比較可以看出,仿真加速度與試驗加速度相差不大，且加速度曲線變化趨勢一致,加速度最大值及加速度平均值的誤差較小:將基于解耦型GMDH方法得到的材料參數輸入有限元模型并計算,與試驗結果對比,最大加速度的相對誤差為0.0103%;加速度平均值的相對誤差為5.9435%。這說明，材料參數精度較高，滿足工程應用，同時驗證了該近似模型方法在實際工程問題中的可靠度。

6　結論

(1)在傳統GMDH算法基礎上，提出了基于高維模型表示(HDMR)方法判斷變量間耦合關系的解耦型GMDH模型：在構造第二層活動節點時利用HDMR方法判斷變量間耦合關系，根據結果智能選取耦合項。該模型不但繼承了GMDH自組織的進化建模思想，還能在建模初期即可明確變量間的耦合性，提前剔除不必要的耦合項。

(2)由高維測試函數評價結果可以看出：對于不含耦合項的測試函數，解耦型GMDH在準確判定兩變量之間不存在耦合性的基礎上剔除了耦合項，與傳統GMDH相比，可以在樣本點減少一半的情況下各個指標仍能優于傳統GMDH所得結果；對于含有耦合項的測試函數，解耦型GMDH在準確判斷耦合項存在的基礎上保留了耦合項，此時的近似模型構造過程與傳統GMDH基本一致。

(3)試驗操作、試驗環境、試驗設備、試件制作及數據處理等存在大量的不確定因素,在綜合各個實際因素的基礎上，與試驗結果對比表明，反求得到的參數滿足實際工程精度要求，證明了基于解耦型GMDH近似模型的材料反求方法的可行性。

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(編輯蘇衛國)

Inverse Determination of Material Parameters Based on Decoupled GMDH Algorithm

Yin WeiyangWang HuFeng HuiTang Long

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

Since materials with strain rate effect showed different performances in crash simulation compared with they were under static conditions,accurate constitutive model parameters were the premise of reliable simulation results.The determination for the coupling relationship among the input variables was ignored during the construction program in traditional metamodel method,there would be coupled terms which were not necessary,on the contrary the proportion of the error term could be increased and efficiency and generalization ability of the metamodel were reduced.To deal with this problem,a decoupled GMDH algorithm was proposed:there would be a judgment process for the coupling relationship of all the input variables before the construction process,and the results are taken to determine whether choose the coupled term.In the test program of high dimension functions,the algorithm could provide accurate metamodel.Based on the trolley test,the method was implemented into match of the material parameters for two kinds advanced high-strength steel,and the results show that this algorithm owns good modeling performance.

strain rate effect;coupling relationship;decoupled GMDH(group method of data handling);metamodel

2013-12-20

國家自然科學基金資助項目(11172097,61232014);新世紀優秀人才支持計劃資助項目(NCET-11-0131);湖南省自然科學基金資助項目(11JJA001);國家高技術研究發展計劃(863計劃)資助項目(2012AA111802)

U467DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.09.016

殷為洋,男,1989年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室碩士研究生。研究方向為汽車被動安全與工程優化。王琥，男,1975年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室副教授、博士。馮慧,女,1989年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室博士研究生。湯龍,男,1986年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室博士研究生。