四輪轉(zhuǎn)向車輛的操縱穩(wěn)定性分析

劉　剛　陳思忠　鄭凱鋒　王文竹

1.沈陽航空航天大學(xué)，沈陽，110136　　2.北京理工大學(xué)，北京，1000813.中國(guó)北方車輛研究所，北京，100072

四輪轉(zhuǎn)向車輛的操縱穩(wěn)定性分析

劉剛1陳思忠2鄭凱鋒3王文竹1

1.沈陽航空航天大學(xué)，沈陽，1101362.北京理工大學(xué)，北京，1000813.中國(guó)北方車輛研究所，北京，100072

針對(duì)四輪轉(zhuǎn)向(4WS)車輛的操縱穩(wěn)定性問題，以線性二自由度車輛模型為基礎(chǔ)，從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度分析了如何通過控制后輪轉(zhuǎn)角相位與角度來提高4WS車輛的低速機(jī)動(dòng)性和高速穩(wěn)定性。用0.4g的側(cè)向加速度來界定四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的有效工作區(qū)域，推導(dǎo)出后輪轉(zhuǎn)角的合理范圍。對(duì)比分析了兩種典型控制算法的穩(wěn)態(tài)特性和瞬態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)特性不依控制算法的改變而改變，控制算法二則明顯提高了4WS車輛的瞬態(tài)響應(yīng)品質(zhì)。研究結(jié)果為4WS系統(tǒng)的開發(fā)提供了理論依據(jù)。

四輪轉(zhuǎn)向(4WS); 操縱穩(wěn)定性; 穩(wěn)態(tài); 瞬態(tài)

0　引言

以改善低速操縱靈活性和(或)高速行駛穩(wěn)定性為主的四輪轉(zhuǎn)向(four wheel steering，4WS)系統(tǒng)在20世紀(jì)80年代得到迅速發(fā)展，其中日本的Honda、Mazda、Nissan和Mitsubishi等汽車公司都推出了4WS車輛[1]。4WS控制方法是通過調(diào)節(jié)輪胎的側(cè)向力來控制車輛的運(yùn)動(dòng)，但當(dāng)側(cè)向加速度超過0.4g時(shí)，輪胎側(cè)向力趨近飽和狀態(tài)，車輛進(jìn)入了非線性工作區(qū)域[2]，因此，可用0.4g的側(cè)向加速度來界定4WS系統(tǒng)的有效工作區(qū)域。

針對(duì)4WS的控制算法研究一直在進(jìn)行，從最早的基于車速的定比例前饋控制[1,3]，到具有橫擺角速度的反饋控制[1,3]，再到基于現(xiàn)代控制理論的最優(yōu)控制、基于H2、H∞、μ綜合理論及滑模變變結(jié)構(gòu)的魯棒控制[4-5]，最后還有基于模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的非線性控制[6-7]等，都有許多研究成果。但是，目前在4WS控制上還存在一些不足：①對(duì)后輪轉(zhuǎn)角的范圍沒有明確界定；②很少顧及4WS系統(tǒng)的有效工作區(qū)域；③過于強(qiáng)調(diào)控制的魯棒性而忽視控制的實(shí)用性。本文著眼于4WS車輛操縱穩(wěn)定性的理論分析，以線性二自由度車輛模型為基礎(chǔ)，以兩種典型的控制算法為例，從理論上對(duì)4WS車輛的特性進(jìn)行研究。

1　四輪轉(zhuǎn)向的理論分析

研究和實(shí)驗(yàn)都證明，采用線性二自由度模型設(shè)計(jì)4WS控制器是合理的[8]。為了使公式具有統(tǒng)一的表達(dá)形式，設(shè)整車質(zhì)心到前軸的距離為正，到后軸的距離為負(fù)，則線性二自由度模型[9]可以寫為

(1)

Ca=C1+C2>0

Cb=L1C1+L2C2<0

式中，m為整車質(zhì)量；u為車輛縱向速度；L1、L2分別為整車質(zhì)心到前軸和后軸的距離，則軸距為L(zhǎng)1-L2；C1、C2分別為前軸和后軸的輪胎側(cè)偏剛度(左右輪胎側(cè)偏剛度之和，均為正值)；Iz為整車的橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；δ1、δ2分別為前輪和后輪轉(zhuǎn)角，規(guī)定左轉(zhuǎn)為正，右轉(zhuǎn)為負(fù)；β為質(zhì)心側(cè)偏角；r為橫擺角速度。

對(duì)式(1)進(jìn)行Laplace變換并化簡(jiǎn)可得

(2)

(3)

P0=(L1-L2)2C1C2-(L1C1+L2C2)mu2>0

P1=(L2-L1)L2C1C2-L1C1mu2

P2=(L1-L2)L1C1C2-L2C2mu2>0

P3=(L1-L2)C1C2>0

對(duì)P1進(jìn)行分析，可知

(4)

定義um為轉(zhuǎn)折車速:

(5)

車輛的穩(wěn)態(tài)側(cè)向加速度為

(6)

以0.4g的側(cè)向加速度來界定4WS系統(tǒng)的有效工作區(qū)域，由式(6)以及轉(zhuǎn)向時(shí)側(cè)向加速度大于零的條件可得后輪轉(zhuǎn)角范圍為

(7)

式(7)給出的后輪的最大轉(zhuǎn)角范圍并沒有考慮具體控制算法，當(dāng)考慮具體的控制算法時(shí)，后輪轉(zhuǎn)角將小于式(7)給出的范圍。

車輛穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角為

(8)

車輛穩(wěn)態(tài)橫擺角速度為

(9)

以上分析同樣適用于傳統(tǒng)的前輪轉(zhuǎn)向(FWS)車輛(令δ2=0)。以相同的前輪轉(zhuǎn)角δ1(δ1>0)作為輸入，當(dāng)u≤um、δ2<0時(shí)，即車速小于轉(zhuǎn)折車速、后輪與前輪逆相位轉(zhuǎn)向時(shí)，由式(7)～(9)可見，4WS相對(duì)于FWS減小了車輛的質(zhì)心側(cè)偏角，增大了穩(wěn)態(tài)橫擺角速度和側(cè)向加速度；u>um、δ2>0，即車速大于轉(zhuǎn)折車速、后輪與前輪同相位轉(zhuǎn)向時(shí)，4WS同樣可減小車輛的質(zhì)心側(cè)偏角，同時(shí)降低橫擺角速度和側(cè)向加速度。此特性不依控制算法而改變，反映了4WS系統(tǒng)的本質(zhì)特性。另外需要指出的是，高速時(shí)后輪采用逆相位轉(zhuǎn)向會(huì)使側(cè)向加速度嚴(yán)重滯后[1,10]，車輛容易出現(xiàn)急轉(zhuǎn)現(xiàn)象。后輪與前輪逆相位轉(zhuǎn)向或者同相位轉(zhuǎn)向時(shí)僅能定性地分析穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角及橫擺角速度的變化，若要定量分析，則必須考慮具體的控制算法。下面給出兩種典型的控制算法，進(jìn)一步討論4WS系統(tǒng)的特性。

2　兩種控制算法的穩(wěn)態(tài)分析

根據(jù)式(8)，以穩(wěn)態(tài)零質(zhì)心側(cè)偏角為目標(biāo)設(shè)計(jì)后輪轉(zhuǎn)角(稱為算法一)，可得

(10)

將式(10)進(jìn)行Laplace變化后分別代入式(2)和式(3)中，可得質(zhì)心側(cè)偏角及橫擺角速度對(duì)前輪轉(zhuǎn)角的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(11)

(12)

算法一實(shí)際上以車速及前輪轉(zhuǎn)角作為變量來計(jì)算后輪的轉(zhuǎn)角，并未考慮車輛的狀態(tài)，當(dāng)增加橫擺角速度反饋后可設(shè)計(jì)出下面的算法二。

將式(1)的質(zhì)心側(cè)偏角微分方程重寫為

(13)

令式(13)的質(zhì)心側(cè)偏角及其變化率都為零，則可得后輪轉(zhuǎn)角為

(14)

將式(14)進(jìn)行Laplace變換代入原車輛方程式(2)和(3)中可得質(zhì)心側(cè)偏角及橫擺角速度對(duì)前輪轉(zhuǎn)角的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(15)

(16)

由式(12)和式(16)可知，兩種控制算法穩(wěn)態(tài)時(shí)的橫擺角速度和側(cè)向加速度均分別為

(17)

(18)

以0.4g的側(cè)向加速度來判定車輛是否工作在線性區(qū)域，結(jié)合式(4)與式(18)，可得出后輪轉(zhuǎn)角的范圍為

(19)

可見，兩種控制算法穩(wěn)態(tài)時(shí)的橫擺角速度和側(cè)向加速度是相同的，印證了4WS系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性是不依控制算法的改變而改變的。兩種控制算法的不同之處在于瞬態(tài)過程。

3　四輪轉(zhuǎn)向仿真分析

3.1特征根分析

車輛參數(shù)如表1所示。

表1　車輛參數(shù)

系統(tǒng)的特征根反映了車輛轉(zhuǎn)向的穩(wěn)定特性，當(dāng)采用算法一時(shí)，特征多項(xiàng)式如下：

s2mu2Iz+s(IzuCa+muCc)+P0=0

(20)

而當(dāng)采用算法二時(shí)，特征多項(xiàng)式變?yōu)?/p>

s2mu2IzC2+s(IzuCaC2+muP2)+CaP2=0

(21)

車速由5km/h增至200km/h時(shí)，兩種控制算法下特征根的分布如圖1所示。

(a)算法一(b)算法二圖1　系統(tǒng)特征根隨車速變化曲線

由圖1可見，兩種算法的特征根都在負(fù)半軸，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖1中箭頭方向代表速度增加方向。對(duì)于算法一，低速時(shí)具有負(fù)實(shí)根，高速時(shí)具有一對(duì)共軛復(fù)根，即當(dāng)車速從低速增至高速時(shí)，車輛由過阻尼系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榍纷枘嵯到y(tǒng)。對(duì)于算法二，車輛一直處于過阻尼狀態(tài)。

3.2穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向分析

圖2是穩(wěn)態(tài)側(cè)向加速度小于0.4g的前提下，F(xiàn)WS和4WS前輪轉(zhuǎn)角的界限曲線。兩條曲線交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的車速為轉(zhuǎn)折車速，um=42km/h。可見，當(dāng)u>um時(shí)，4WS的界限值大于FWS的界限值，即較大的前輪轉(zhuǎn)角才能使4WS系統(tǒng)進(jìn)入非線性區(qū)域。

圖2　線性工作區(qū)域內(nèi)前輪最大轉(zhuǎn)角

由圖3可見，隨著車速的增大，后輪轉(zhuǎn)角由逆相位轉(zhuǎn)向逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橥辔晦D(zhuǎn)向。為了保證高速情況下車輛都工作在線性區(qū)域，后輪最大轉(zhuǎn)角就應(yīng)該小于2.7°。

1.δ1=0°　2.δ1=1°　3.δ1=2°4.δ1=3°　5.δ1=4°圖3　穩(wěn)態(tài)后輪轉(zhuǎn)角

由圖4可見，對(duì)于FWS，隨車速增大，側(cè)向加速度迅速增大。而對(duì)于4WS，只要前輪轉(zhuǎn)角輸入小于3°，整個(gè)車速范圍內(nèi)車輛的側(cè)向加速度一直都小于0.4g。可見較小的后輪轉(zhuǎn)角介入，便可將車輛線性工作區(qū)域的車速提高。

1.δ1=0°　2.δ1=1°　3.δ1=2°4.δ1=3°　5.δ1=4°圖4　穩(wěn)態(tài)時(shí)側(cè)向加速度

由圖5可見，當(dāng)u≤um時(shí)，4WS的橫擺角速度大于FWS的橫擺角速度，即表明當(dāng)駕駛員以相同的橫擺角速度進(jìn)行轉(zhuǎn)彎時(shí)，4WS下駕駛員對(duì)轉(zhuǎn)向盤的輸入轉(zhuǎn)角要比FWS時(shí)小；當(dāng)u>um時(shí)，情況相反，即駕駛員需多打轉(zhuǎn)向盤來完成轉(zhuǎn)向。

1.δ1=0°　2.δ1=1°　3.δ1=2°4.δ1=3°　5.δ1=4°圖5　穩(wěn)態(tài)時(shí)橫擺角速度

圖6給出了前輪轉(zhuǎn)角為2°時(shí)，考慮輪胎側(cè)偏角時(shí)的汽車轉(zhuǎn)彎半徑。可見，低速時(shí)4WS車輛的轉(zhuǎn)彎半徑小，從而提高了低速時(shí)的機(jī)動(dòng)性，而高速時(shí)轉(zhuǎn)彎半徑大，即采用了同相位轉(zhuǎn)向，提高了高速時(shí)的穩(wěn)定性。

圖6　穩(wěn)態(tài)時(shí)轉(zhuǎn)彎半徑(δ1=2°)

3.3角階躍輸入下的瞬態(tài)分析

首先分析4WS時(shí)算法一的瞬態(tài)特性。采用前輪零時(shí)刻角階躍作為輸入，將式(12)進(jìn)行Laplace反變換，可得到算法一關(guān)于橫擺角速度的二階振動(dòng)微分方程:

(22)

其中，固有頻率ω0和阻尼比ζ分別為

同理，將式(16)進(jìn)行Laplace反變換，可得到算法二關(guān)于橫擺角速度的二階振動(dòng)微分方程為

(23)

其中，固有頻率ω0和阻尼比ζ分別為

可見，兩種控制算法的固有頻率和阻尼比是不同的。

橫擺角速度達(dá)到且不再超出穩(wěn)態(tài)值的容許誤差范圍(穩(wěn)態(tài)值95%～105%之間)的最短時(shí)間τ稱為穩(wěn)定時(shí)間。從圖7中可以看出，當(dāng)u≤um時(shí)，4WS控制算法一的穩(wěn)定時(shí)間與FWS的穩(wěn)定時(shí)間基本相同，而當(dāng)u>um時(shí)，4WS控制算法一的穩(wěn)定時(shí)間遠(yuǎn)大于FWS的穩(wěn)定時(shí)間，其原因是同相位轉(zhuǎn)向使橫擺運(yùn)動(dòng)響應(yīng)速度減小。三者相比，4WS控制算法二的穩(wěn)定時(shí)間最短。原因由圖8可見，后輪先進(jìn)行逆相位轉(zhuǎn)向，使之快速響應(yīng)轉(zhuǎn)向盤輸入，加快橫擺運(yùn)動(dòng)，使穩(wěn)定時(shí)間縮短，然后立刻轉(zhuǎn)變?yōu)橥辔晦D(zhuǎn)向，以提高車輛的操縱穩(wěn)定性。

圖7　達(dá)到穩(wěn)態(tài)值95%的響應(yīng)時(shí)間

圖8　后輪轉(zhuǎn)角(δ1=1°,u=100 km/h)

3.4頻率響應(yīng)特性

由圖9可見，低頻時(shí)，4WS算法一和算法二的橫擺角速度增益比FWS的橫擺角速度增益要小得多，即高速時(shí)后輪采用同相位轉(zhuǎn)向，橫擺角速度明顯下降。相比來看，算法二的共振頻率點(diǎn)較高，所以其對(duì)應(yīng)的通頻帶較寬，從而保證了必要的反應(yīng)速度。從相頻圖上來看，4WS算法一的相位滯后略大于FWS的相位滯后，其原因依然是高速時(shí)后輪直接進(jìn)行同相位轉(zhuǎn)向，減小了橫擺響應(yīng)速度。算法二相頻特性的絕對(duì)值較小，所以其轉(zhuǎn)向失真度較小。圖10中給出的側(cè)向加速度頻率響應(yīng)與橫擺角速度有著相似的特性，不再贅述。

圖9　橫擺角速度頻率響應(yīng)(u=100 km/h)

圖10　側(cè)向加速度頻率響應(yīng)(u=100 km/h)

4　結(jié)論

(1)后輪于轉(zhuǎn)折車速前的同相位轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)折車速后的逆相位轉(zhuǎn)向提高了4WS車輛的低速機(jī)動(dòng)性和高速操縱穩(wěn)定性。以輪胎工作在線性區(qū)域?yàn)榍疤幔o出了4WS后輪轉(zhuǎn)角的范圍，后輪轉(zhuǎn)角不宜過大。

(2)4WS系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性不依控制算法的改變而改變。控制算法二能夠提高車輛的響應(yīng)頻率，使轉(zhuǎn)向過程一直處于過阻尼狀態(tài)，而且增大了頻響帶寬，減小了橫擺角速度和側(cè)向加速度的相位滯后角。

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(編輯蘇衛(wèi)國(guó))

Analysis of Vehicle Handling and Stability of Four Wheel Steering

Liu Gang1Chen Sizhong2Zheng Kaifeng3Wang Wenzhu1

1.Shenyang Aerospace University,Shenyang,110136 2.Beijing Institute of Technology,Beijing,100081 3.Chinese North Vehicle Research Institute,Beijing,100072

Based on the 2DOF linear bicycle model, the handling and stability of 4WS vehicle was studied herein.The rear wheel control algorithm was discussed in time domain and frequency domain in order to improve the maneuverability at low speed and stability at high speed. By using the lateral acceleration as 0.4gto define the effective working area for 4WS, the range for rear steering angle was derived. The steady-state and transient-state of two typical control algorithms were compared and analyzed. The control algorithm does not affect the steady-state characteristics of the vehicle, but can improve the transient response. This provides the theoretical basis for the development of the 4WS system.

four wheel steering(4WS); handling and stability; steady-state; transient-state

2013-08-16

2015-03-24

U463.4< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.09.022

劉剛，男，1975年生。沈陽航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院講師、博士。主要研究方向?yàn)閼壹芟到y(tǒng)理論與控制。發(fā)表論文10余篇。陳思忠，男，1958年生。北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。鄭凱鋒，男，1983年生。中國(guó)北方車輛研究所工程師。王文竹，男，1976年生。沈陽航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院講師。