基于典型樣本的信度函數(shù)分配的構(gòu)造方法

王 霞，田 亮

（華北電力大學(xué)控制與計(jì)算工程學(xué)院，河北保定071003）

基于典型樣本的信度函數(shù)分配的構(gòu)造方法

王 霞，田 亮

（華北電力大學(xué)控制與計(jì)算工程學(xué)院，河北保定071003）

D-S證據(jù)理論信度函數(shù)分配的取值是得到較為準(zhǔn)確的融合結(jié)果的關(guān)鍵，然而傳統(tǒng)方法如采用隸屬度函數(shù)、正態(tài)分布等得到的信度函數(shù)分配都具有較大的主觀性。為使信度函數(shù)分配更具客觀性，在總結(jié)其它方法的基礎(chǔ)上，提出了基于典型樣本的信度函數(shù)分配構(gòu)造方法。首先采集各目標(biāo)模式下的樣本，并判斷每一模式下的各條證據(jù)服從何種概率分布，利用相應(yīng)的概率公式計(jì)算待識(shí)別目標(biāo)模式的各條證據(jù)的概率密度，然后進(jìn)行歸一化處理，最后利用聯(lián)合規(guī)則得到融合結(jié)果。實(shí)例表明利用此法可得到較為準(zhǔn)確的融合結(jié)果，不僅提高了判別結(jié)果的準(zhǔn)確性，而且降低了不確定度，并再一次證明了融合診斷結(jié)果比單一數(shù)據(jù)具有更高的可靠性。

證據(jù)理論；信度函數(shù)；典型樣本；概率分布

0 引言

由于D-S證據(jù)理論數(shù)據(jù)融合算法比單一傳感器診斷結(jié)果可靠，故其在融合診斷和模式識(shí)別方面得到了廣泛應(yīng)用［1］。在證據(jù)體確定的情況下，由于聯(lián)合規(guī)則是固定的，所以信度函數(shù)分配的獲取就造成了融合結(jié)果的不同。目前信度函數(shù)分配的獲取大致有以下幾種方法:把隸屬度函數(shù)經(jīng)適當(dāng)變換代替專家經(jīng)驗(yàn)得到基本概率，概念清晰，使用方便，但易受個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的影響［2］；采用漢明距離得到信度函數(shù)分配，意義明確，較為簡(jiǎn)單，但目標(biāo)模式較多時(shí)，會(huì)產(chǎn)生信息丟失現(xiàn)象［3］；利用正態(tài)分布計(jì)算證據(jù)在各目標(biāo)模式下的信度密度值，然后進(jìn)行歸一化處理得到信度函數(shù)分配，意義明確，減小了對(duì)專家經(jīng)驗(yàn)的依賴，但有時(shí)候證據(jù)的概率密度并不服從正態(tài)分布［4，5］。

本文在總結(jié)以上文獻(xiàn)中經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出首先對(duì)大量歷史樣本進(jìn)行分布判斷，然后選取相應(yīng)的概率密度函數(shù)計(jì)算待判別目標(biāo)模式的概率密度，然后進(jìn)行歸一化處理得到信度函數(shù)分配值，這種方法物理意義明確，與實(shí)際的結(jié)果相吻合，有效減小了對(duì)專家經(jīng)驗(yàn)的依賴。

1 相關(guān)概念

1.1 識(shí)別框架

如果定義代表某一事物的參數(shù)為θ，可能取值的集合為Θ，則稱Θ為識(shí)別框架。在故障診斷中，每一種可能的故障都為假設(shè)，各種可能故障的集合為識(shí)別框架，故障的每一癥狀為證據(jù)。

如果Θ是一個(gè)識(shí)別框架，那么函數(shù)m:2Θ→［0，1］稱為基本概率分布，滿足:

式中:m（ui）表示證據(jù)分配到ui上的信度函數(shù)值，m（ui）越大，表明該條證據(jù)可信度越大；反之則說(shuō)明該條證據(jù)的可信度越小。

1.2 聯(lián)合規(guī)則

根據(jù)D-S聯(lián)合規(guī)則，設(shè)m1，m2分別為同一識(shí)別框架Θ上的2個(gè)信度函數(shù)分配［6］，焦元分別為:｛u11、u21、…ui1｝，｛u12、u22、…uj2｝，設(shè):

則由下式定義的函數(shù):

當(dāng)uk=Ф時(shí)，m（uk）=0，式中:i、j、k= 1、2、…n；其中:

為聯(lián)合后的信度函數(shù)分配。C是表示完全沖突假設(shè)ui1和uj2所有信度函數(shù)乘積之和，所謂完全沖突是指ui1和uj2在Θ中不可能同時(shí)發(fā)生。對(duì)于D-S證據(jù)理論，其結(jié)果不受證據(jù)組合次序先后的影響，但在證據(jù)較多時(shí)，可先將證據(jù)兩兩融合，盡量避免使用中間融合結(jié)果，提高計(jì)算的精度和準(zhǔn)確率。

1.3 融合結(jié)果判定規(guī)則

盡管有很多不同的案例，但是對(duì)于目標(biāo)模式的判定具有相似的基本規(guī)則:

（1）因?yàn)樾哦群瘮?shù)分配代表了可信度的大小，顯然信度函數(shù)分配值最大的目標(biāo)模式可作為最終的判定結(jié)果。

（2）為了較少模棱兩可的情況出現(xiàn)，判定的目標(biāo)模式和其它任一目標(biāo)模式信度函數(shù)分配值之差應(yīng)大于某個(gè)限值，此限值依具體情況而定。

（3）整個(gè)目標(biāo)系統(tǒng)的不確定度必須小于某個(gè)限值［2］，以提高判別結(jié)果的可靠性。

2 信度函數(shù)分配的獲取方法

2.1 典型樣本

設(shè)待識(shí)別的目標(biāo)模式為｛u1，u2，u3，…，un｝，對(duì)任一目標(biāo)模式存在m個(gè)相互獨(dú)立的特征變量對(duì)其進(jìn)行描述，設(shè)為｛x1j，x2j，x3j，…xmj｝，j∈m，即為待融合的目標(biāo)模式。所有目標(biāo)模式下的各證據(jù)的典型值為｛x′1j，x′2j，…，x′mj｝，稱為典型樣本。

在實(shí)際生產(chǎn)中，由于歷史數(shù)據(jù)較多，難以確定典型樣本，任一目標(biāo)模式下的特征變量的取值可以是某一區(qū)間內(nèi)的任一值。某一樣本出現(xiàn)的次數(shù)越多，其發(fā)生的概率越大，因此可以將概率密度值最大的樣本作為典型樣本。

2.2 概率密度函數(shù)

各目標(biāo)模式下的特征變量是一個(gè)隨機(jī)變量，本文將探討的變壓器故障診斷的實(shí)例中，特征變量是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且取值具有一定的概率密度f(wàn)（x）。f（x）與置信概率p之間存在如下關(guān)系:

各目標(biāo)模式下的證據(jù)分布可能相同或不同，至于服從何種分布可以利用MATLAB程序?qū)颖具M(jìn)行判斷。通常情況下，樣本量越大，對(duì)概率分布的判斷就越準(zhǔn)確。整理文獻(xiàn)［7］附錄提供的數(shù)據(jù)并進(jìn)行概率分布判斷，得出其均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。而對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f（x）為

對(duì)數(shù)分布的概率密度y與隨機(jī)變量x的函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1 對(duì)數(shù)分布的概率密度函數(shù)

圖1（a）所示的是μ相同而σ不同時(shí)對(duì)數(shù)分布的概率密度函數(shù)的圖形。

圖1（b）是σ相同而μ不同時(shí)對(duì)數(shù)分布的概率密度函數(shù)的圖形。

由對(duì)數(shù)分布的概率密度函數(shù)公式和圖形可以得出以下結(jié)論；

（1）f（x）取最大值時(shí)的x值為

而此時(shí)的概率密度值為:

（2）μ相同時(shí)，σ越小，f（x）的極大值點(diǎn)越大；σ相同時(shí)，μ越大，f（x）的極大值點(diǎn)越大。

圖2是置信概率p與x之間的關(guān)系。

圖2 對(duì)數(shù)分布的累加函數(shù)

因此可將f（xij）定義為證據(jù)xi在模式uj下的信度密度函數(shù)。而對(duì)數(shù)分布置信區(qū)間的構(gòu)造可采用P值方法［8］，置信度為1-α的置信區(qū)間為:

具體計(jì)算方法為:

式中:第一項(xiàng)是樣本的均值；Sr是樣本的標(biāo)準(zhǔn)差；r是樣本個(gè)數(shù)；A可根據(jù)α和r的大小查T分布表得到。

從圖1可以看出μ越小，概率密度越集中；σ越大，概率密度的極大值點(diǎn)越小，說(shuō)明引入置信區(qū)間的必要性。

在置信區(qū)間改變后，概率密度函數(shù)的定義域也隨之改變，此時(shí)的概率密度分布函數(shù)記為M（xij），并將其定義為證據(jù)xi在目標(biāo)模式uj下的信度密度函數(shù)。

2.3 信度函數(shù)分配的構(gòu)造

引入信度密度函數(shù)的目的就是構(gòu)造信度函數(shù)分配。任一條證據(jù)xi對(duì)應(yīng)n個(gè)信度密度函數(shù)值，記為:｛M（xi1），M（xi2），…，M（xin）｝，將不確定的信度密度值定義為n個(gè)信度密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差［9］，即:

其中:

對(duì)各信度密度值進(jìn)行歸一化處理，n+1個(gè)信度密度值之和為:

定義證據(jù)xi在目標(biāo)模式uj下的信度函數(shù)分配為:

而證據(jù)xi在整個(gè)目標(biāo)系統(tǒng)下的不確定的信度函數(shù)分配為:

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，上述對(duì)信度函數(shù)分配的定義滿足其定義，在已知樣本的情況下就可利用下一節(jié)提到的數(shù)據(jù)處理方法得到各信度函數(shù)分配值。

3 數(shù)據(jù)處理

面對(duì)大量的歷史數(shù)據(jù)，需要對(duì)其進(jìn)行處理才能得到每一條證據(jù)在各目標(biāo)模式下的μ和σ這兩個(gè)參數(shù)值。文獻(xiàn)［10］中給出了這兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)方法，其中最常用的是最大似然估計(jì)法。設(shè)總體X服從參數(shù)為μ和σ2的對(duì)數(shù)分布，X1，X2，…，Xn為來(lái)自X的隨機(jī)樣本，那么μ和σ2的最大似然估計(jì)量為:

4 實(shí)例分析

變壓器是發(fā)電廠的重要設(shè)備，一旦發(fā)生故障則需盡快查出故障原因，進(jìn)行維修，將損失減小到最低程度。然而，變壓器結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，難以根據(jù)表面現(xiàn)象判斷故障原因。目前最常用的方法就是根據(jù)變壓器油中提取的5種氣體的含量信息進(jìn)行融合診斷。這5種氣體分別為:H2，CH4，C2H6，C2H4，C2H2。因此，可將這5種氣體作為證據(jù)，而根據(jù)變壓器最常見的故障類型將識(shí)別框架定義為:Θ=｛T1，T2，T3，D1，D2，PD｝，此識(shí)別框架的基元分別代表:低溫過(guò)熱、中溫過(guò)熱，高溫過(guò)熱、低能放電、高能放電、局部放電［11］。

根據(jù)文獻(xiàn)［7］提供的電力變壓器DGA數(shù)據(jù)，應(yīng)用以上數(shù)據(jù)處理方法，得到數(shù)據(jù)樣本的參數(shù)，如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)樣本的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差

如某電廠變壓器油中檢測(cè)到的5種特征氣體（H2、CH4、C2H6、C2H4、C2H2）含量分別為: 35.61，97.25，21.46，152.47，0.9，單位為μL/L，將上述信度函數(shù)分配的構(gòu)造方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可得到每條證據(jù)在識(shí)別框架下的信度密度值M（xij），在表格中簡(jiǎn)單記為Mi，將其列于表2中。

在得到各信度密度值之后應(yīng)用上述提出的信度函數(shù)分配構(gòu)造方法及聯(lián)合規(guī)則得到的中間結(jié)果和最終結(jié)果列于表3中。信度函數(shù)分配mi（uj）在表格中簡(jiǎn)單記為mi，表中“融合12”代表第1、2種氣體信度函數(shù)的融合結(jié)果，以此類推。

由融合診斷結(jié)果可知，變壓器的故障類型為高溫過(guò)熱，與文獻(xiàn)［7］提供的診斷結(jié)果一致，并且降低了不確定度，說(shuō)明了該方法的有效性。

日本的月岡、大江等人［12］提出當(dāng)熱點(diǎn)溫度高于400℃時(shí)，估算熱點(diǎn)溫度的經(jīng)驗(yàn)公式為:

計(jì)算得出熱點(diǎn)溫度為799℃。

當(dāng)故障點(diǎn)或故障部分的溫度處于600～800℃之間時(shí)，故障多為鐵芯多點(diǎn)接地［12］。故障點(diǎn)具體位置的查找目前多采用電氣測(cè)試法。

由表3中的計(jì)算結(jié)果可知，隨著證據(jù)的加入，某一模式的融合結(jié)果逐漸增大并成為最終融合結(jié)果中的最大值，再一次說(shuō)明了融合診斷結(jié)果比單一診斷結(jié)果的可靠性要高。

5 結(jié)論

提出了一種基于D-S證據(jù)理論的信度函數(shù)分配的構(gòu)造方法，并將其應(yīng)用于變壓器故障診斷中。通過(guò)中間融合結(jié)果和最終融合結(jié)果的比較可知，當(dāng)證據(jù)越多時(shí)，計(jì)算結(jié)果越可靠，但會(huì)增加計(jì)算量。為了得到較為精確的結(jié)果，應(yīng)盡量使用原始數(shù)據(jù)，減少中間結(jié)果的使用次數(shù)。

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Method of Constructing Confidence Function Distribution Based on Typical Sample

Wang Xia，Tian Liang
（School of Control and Computer Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

The value of D-S evidence theory of belief function assignment is the key to get accurate fusion results，while traditional methods，such as the belief function assignment got through the usage of the membership function and the normal distribution，tend to be more subjective.In order to make the belief function assignment more objective.This paper puts forward a method constructing belief function assignment after combining other methods and analyzing the typical samples.First，samples were collected for each target mode，and which probability distributions the evidence of each mode obeys was judged.Then，the probability density of each piece of evidence was calculated by using corresponding probability formula.Finally，normalized processing was carried on，and the union rule was used to obtain the fusion results.The example shows that using this method can get more accurate results of fusion，and this method can not only improves the accuracy of the result of discrimination，but also reduce the uncertainty.In addition，it proves that the fusion diagnosis has a higher reliability than a single data.

evidence theory；typical sample；probability density；belief function

TK223

A DOI:10.3969/j.issn.1672-0792.2015.05.003

2015-03-26。

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）（2012CB215203）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（2014MS145）。

王霞（1990-），女，碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘與信息融合，E-mail:1016228976@qq.com。