基于隨機子空間法和固有頻率法的線路故障定位

張 凱

（山東省電力公司濰坊供電公司，山東濰坊261061）

基于隨機子空間法和固有頻率法的線路故障定位

張 凱

（山東省電力公司濰坊供電公司，山東濰坊261061）

輸電線路發生故障后，進行準確快速的故障距離判斷在實際生產運行中具有很大的意義。線路故障后，將產生一系列的故障暫態行波，且從頻域的角度看，行波可看作為諧波形式。提出基于隨機子空間法和行波固有頻率法相結合的方法進行線路故障定位。首先通過相模變換得到輸電線路中的模電流分量，然后基于隨機子空間算法進行辨識得到行波固有頻率，進而計算此頻率下的行波波速和模阻抗導納矩陣，最后可求得故障距離。在PSCAD中搭建兩端系統仿真模型，經過仿真驗證表明，此方法可有效進行線路故障定位，且準確度較高。

故障定位；隨機子空間；固有頻率法；行波

0 引言

輸電線路是電力系統中最容易發生故障的地方，準確的故障定位進而進行故障清除可有效縮短故障時間，很大程度上提高了電力系統穩定性。如何準確的故障定位，是故障清除的基礎，也是維持電力系統穩定性的基礎。對輸電線路故障定位方法的研究最早可追溯于20世紀30、40年代［1］。線路故障定位的方法有很多，按照變量信息獲取的方式，可分為單端法和雙端法；按照計算故障距離的原理不同，亦可分為故障分析法、行波法、阻抗法和電壓法［2］。其中行波測距方法是目前應用發展比較廣泛的方法，但提取故障行波波頭具有較大的困難［3］，主要是由于行波色散問題導致的波頭捕捉較為困難［4］。單端行波測距的難點在于能否準確區別出故障反射行波和其他線路反射行波，雙端行波測距的難點在于準確測量出第一個行波波頭到達時間［5，6］。

鑒于此，可采用行波固有頻率［7～10］的故障定位方法來進行故障測距。當線路發生故障時，在輸電線路中會形成很多故障暫態行波，并在頻域上表現為諧波形式，其本質即為行波在線路兩端多次反射和有限長度線路的延時效應共同作用的結果，被稱之為固有頻率。采用固有頻率法進行故障定位的基礎是對線路暫態行波的固有頻率進行準確辨識，常用方法是利用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）［11～13］來對故障電流或電壓進行頻譜分析。但FFT的頻域分辨率較低，無法準確提取行波的固有頻率。文獻［14］提出利用Prony算法提取故障電流中的暫態行波固有頻率，但Prony進行辨識時，對系統階數擬合較為困難，尤其是目前的大電網系統中，容易引發“維數災”問題。文獻［8］提出復小波對故障后電流或電壓信號進行連續小波變換，進而對小波參數進行后處理以提取主自然頻率，但小波變換中存在小波基波選取困難的問題。

鑒于此，文中提出采用隨機子空間法（Stochastic Subspace Identification，SSI）［15，16］來分析故障電流中暫態行波的自然頻率。SSI通過構造Hankle矩陣，進行SVD分解，使之算法本身具有一定的抗噪能力，在實際電網中更能準確辨識出暫態頻率參數。文中首先采用PSCAD/EMTDC搭建簡單三相長距離輸電線路，并在一定距離內施加三相接地短路故障，進一步根據相模變換得到線路的模電流，然后采用Matlab軟件編寫SSI辨識程序，以辨識出故障模電流中的固有頻率，進而可準確算得行波波速和故障距離。

1 基本原理

由于行波在輸電線路中從頻率的角度考慮即為諧波形式，故而可將行波固有頻率的辨識看做諧波頻率的準確辨識。

電力系統中的諧波信號可擬合為:

式中:Ri為幅值；fi為角頻率；φi為初相；σi為衰減因子。

1.1 隨機子空間理論

SSI核心是把“將來”的輸出行空間投影到“過去”的輸出行空間，投影結果是保留了“過去”的全部信息，并用此預測“將來”。SSI復雜度低，因為只運行一次SVD分解，故而運算效率高。

對于白噪聲激勵的線性系統，隨機狀態空間模型可以表示為

式中:yk∈Rl×l為第l個測點，在第k（k∈N）個采樣間隔（Δt）的輸出向量；xk∈Rn×l為系統的狀態向量，n為系統的階數；A∈Rn×n為系統矩陣；C∈Rl×n為輸出矩陣；wk∈Rn×l為系統噪聲污染；vk∈Rl×l為測量噪聲；wk和vk互不相關。

根據系統輸出yk構造Hankel矩陣H

式中:Y0/2i-1的下標0/2i-1表示Hankel矩陣第一行塊和最后一行塊；下標p和f分別表示“過去”和“將來”。

定義輸出yk自協方差矩陣Ri為

由協方差序列組成的Toeplize矩陣T1/i為

對矩陣T1/i進行奇異值分解，秩為非零的奇異值個數，即為系統階數。

式中:S1∈Rli×n；V1∈Rn×n；D1∈Rli×n；n表示系統階數，階數可用SVD分解法確定。通過SVD分解可得到奇異值，根據奇異值突變確定系統模態階數，若取得階數過大，會出現過擬合現象，生成虛假模態，降低了模態辨識的準確性；若取得階數過小，有可能出現漏辨識現象，丟失重要模態信息。

Tq/i可分解為

式中:Oi為可觀矩陣；Γi為反轉隨機可控矩陣。

根據上式可得到系統矩陣A和C。

對系統矩陣A做特征值分解

式中:Λ=diag［λ1，λ2，…，λ1…，λn］∈Cn×n，λi為系統特征值；Ψ=［ψ1，ψ2，…，ψn］∈Cn×n為系統特征向量矩陣；n表示系統階次。

可通過式（10）計算出諧波的角頻率和衰減系數

進而通過最小二乘得到各次諧波的幅值和相角對于N個采樣數據存在

其中

式中:n表示得到的諧波個數。

則P的最小二乘解為

則各變量的幅值Ri和相角φi可求得為

由此已經求得各諧波量的幅值、頻率、相角。

1.2 行波固有頻率

線路上的故障行波信號具有從低頻到高頻的連續波譜，其中某些頻率分量與故障行波傳播的路徑及其邊界條件有一定關系，稱之為故障行波的固有頻率［9］。由文獻［10］知，輸電線路中暫態行波的固有頻率為

式中:Γ1和Γ2分別為測距端和故障端的反射系數，大小均由測距端和故障端的阻抗決定；θ1和θ2分別為Γ1和Γ2對應的幅角；d表示故障點到測距點的距離；v表示暫態行波在固有頻率下的傳播速度。且存在

其中，k=0，±1，±2，…。

則固有頻率大小為

衰減系數為

則故障測距可由式（18）表示為

由此可知，只要辨識出行波固有頻率，并計算得到固有頻率下的行波速度、測距端和故障端的反射系數的幅角即可準確計算出故障距離。

1.3 故障測距

實際交流輸電線路一般為有損的三相電路，各項之間存在耦合，需進行電壓、電流的解耦，常用的解耦方式為相模變換，即

式中:Tu和Ti分別為電壓和電流的變換矩陣；Um和Im分別為電壓和電流相模變換后的量，即模量。

由于交流三相輸電線路是對稱線路，故一般可取Tu=Ti，可取變換矩陣為

式中:變換矩陣中的列向量分別表示0，β和α模變換向量。對于輸電線路在固有頻率f下的導納矩陣Z和阻抗Y矩陣亦需進行相模變換，變換后的模導納矩陣Zm和模阻抗矩陣Ym可表示為。

則輸電線路的模特征阻抗矩陣可表示為

由文獻［17］知，行波的模波速為

則在行波固有頻率下測距端和故障端的反射系數即其幅角可表示為

式中:I表示單位矩陣；Z1表示系統本段等效阻抗矩陣；Yf表示故障點導納矩陣。假設系統等效阻抗矩陣呈感性且為三角對陣矩陣，則在行波固有頻率f下可表示為

對于模信號的選取，三相接地短路和相間短路可采用β模電流分量作為辨識信號。

2 仿真分析

為驗證文中所采用方法的有效性，在PSCAD/EMTDC軟件中搭建兩端220 kV輸電線路，拓撲結構圖如圖1所示。

圖1 拓撲結構圖

圖1中，EA和EB是兩個理想電壓源，電壓等級分別為220∠50 kV和218∠30 kV，A和B端的系統阻抗分別為

A與B之間采用架空輸電線，線路類型選用TOWER:3H5桿塔，線路長度為500 km，采用四分裂導線，完全換位，參數采用PSCAD中的默認設置，系統頻率為5 0 Hz。PSCAD軟件中設置的采樣頻率為20 kHz。

系統穩定運行至0.5 s時，在距離A端50 km發生三相接地短路故障，故障持續時間0.1 s。測距端在A端。在線路中測得電流參數并經過相模變換得到β模電流，波形圖如圖2所示。

圖2 β模電流仿真圖

將β模電流利用SSI方法進行辨識，去SSI辨識階數為10階，辨識結果如表1所示。

表1 SSI分析結果

由表1知，幅值最大的頻率為系統基頻，除此之外，2 444.13 Hz頻率為除基頻外幅值最大的頻率，即為輸電線路中行波的固有頻率。

通過PSCAD中的.out文件可以得到在此固有頻率下的線路阻抗矩陣和導納矩陣分別為

由式（24）和式（25）可求得模阻抗矩陣和模導納矩陣分別為

則輸電線路的模特征阻抗矩陣為

固有頻率下的等效阻抗矩陣為

進而可由式（28）和式（29）求得測距端和故障端的反射系數矩陣。

進一步可求得測距端和故障端反射角矩陣分別為

可由式（27）求得行波波速為

最后可由式（20）求得故障距離為

最后求得故障距離為50.4 km，誤差只有0.97%，準確率較高，可有效辨識出故障距離。

3 結論

通過SSI算法可有效地辨識出故障線路中行波的固有頻率，進而根據固有頻率法可以準確判斷出故障位置。在Matlab軟件中編寫SSI程序，在PSCAD中搭建兩端系統模型，在輸電線路中施加三相接地短路故障，通過SSI算法和固有頻率法相結合可有效計算出故障位置。且采用SSI算法辨識時，系統階數不需要取很多即可準確辨識出固有頻率，具有很大的實際應用價值。

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Fault Location of Transmission Lines Based on Stochastic Subspace Identification Method and Travelling Wave Natural Frequency

Zhang Kai
（Weifang Power Supply Company，Shandong Electric Power Corporation，Weifang 261061，China）

The question of how to judge fault distance accurately and rapidly has great significance in the actual production run when a short circuit fault of transmission lines happens.When faults happen they produce transient state travelling waves.The frequency spectra of travelling waves are a fundamental characteristic frequency.This paper research on fault location is based on stochastic subspace identification and the natural frequency of traveling waves.Firstly，we use module current component based on phase-mode transformation，secondly we identify the natural frequency of traveling waves based on stochastic subspace identification.Then we calculate the wave velocity and module impedance admittance matrix at the natural frequency.Finally，we arrive at the distance to fault. Building the two-terminal system using PSCAD program，the simulation’s result show the way to find fault location with high accuracy.

fault location；stochastic subspace identification；natural frequency；traveling wave

TM773

A DOI:10.3969/j.issn.1672-0792.2015.05.010

2015-01-29。

張凱（1977-），男，工程師，主要從事輸電線路運行檢修及帶電作業方面工作，E-mail:zk_0536@163.com。