金屬橡膠非線性隔振系統混沌特性

李玉龍　白鴻柏　何忠波　曹鳳利　路純紅

軍械工程學院,石家莊,050003

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金屬橡膠非線性隔振系統混沌特性

李玉龍白鴻柏何忠波曹鳳利路純紅

軍械工程學院,石家莊,050003

對金屬橡膠非線性隔振系統的混沌特性進行了研究。推導了系統振動的狀態方程，計算了系統的Lyapunov指數，并根據給定的參數繪制了系統的時間歷程圖、相軌跡圖，證明了系統存在混沌運動。通過系統響應頻譜圖的分析,說明了金屬橡膠非線性混沌振動在線譜控制中的重要作用。用數值方法分析了激勵參數與隔振器參數對金屬橡膠隔振系統動力學特性的影響，依據系統隨各參數變化的分岔圖，指出了系統產生混沌運動時各參數的取值范圍，從而得到了金屬橡膠非線性隔振系統產生混沌振動時各參數選取的一般方法，為金屬橡膠非線性隔振系統的混沌特性應用打下了基礎。

金屬橡膠;非線性隔振系統;李雅普諾夫指數;動力學特性;混沌

0　引言

金屬橡膠是一種具有重要工程應用價值的新興材料,被廣泛應用于航空航天、汽車、船艦等工業領域,對延長設備的壽命、提高可靠性有較大的作用[1]。

金屬橡膠隔振系統是一個典型的具有遲滯非線性性能的系統,在工程中的應用表現出明顯的非線性動力學特性，但金屬橡膠非線性隔振系統能否產生混沌響應，其產生混沌響應的參數條件怎樣確定,是本文試圖研究的問題。目前對金屬橡膠非線性隔振系統混沌響應特性的研究成果很少,文獻[2]通過數學方法推導了金屬橡膠隔振系統產生混沌的解析條件,但該推導建立在預設系統的一次諧波解上,而非線性系統的響應卻存在多諧波頻率成分[3],僅用一次諧波解來分析系統混沌容易產生較大的誤差。盡管對金屬橡膠隔振系統混沌振動的研究成果很少，但對非線性隔振系統的混沌研究已有許多成熟的理論可以借鑒。例如,金俐等[4]針對非光滑動力系統,研究了Lyapunov指數譜的計算方法,為lyapunov指數判定混沌運動打下了理論基礎;葉建軍等[5]研究了含二次項和三次項的非線性系統的次諧軌道和異宿軌道;樓京俊等[6]研究了多頻激勵軟彈簧型Duffing系統中的混沌運動;李鴻光等[7]研究了帶間隙的雙線滯回系統的非線性振動;唐果等[8]從理論上研究了單自由度被動隔振體產生混沌的參數條件;牛玉俊等[9]研究了非光滑周期擾動與有界噪聲聯合作用下受迫Duffing系統的混沌預測；劉樹勇等[10]對準周期激勵下的非線性隔振系統進行研究,應用Melnikov方法確定了系統的參數區域;Yu等[11]研究了多自由度非線性隔振系統的混沌及分岔;浣石等[12]用數值計算的方法證明了隨著系統從周期分岔逐漸進入混沌運動狀態，線譜也由單一頻譜變為寬頻譜結構;黃志偉等[13]采用數值積分法分析了雙層隔振系統產生混沌運動的頻率范圍。從上述對非線性隔振系統的混沌研究成果可以看出，對非線性隔振系統混沌的研究主要是通過理論或數值的方法展開分析,主要針對產生混沌運動的條件進行討論,以得到非線性系統產生混沌的判據及其激勵參數或隔振器參數的選取范圍。許多文獻指出，混沌狀態下系統的振動具有單頻輸入寬頻輸出的特性，可以大幅度隔離結構噪聲中的線譜成分，在消除線譜激勵方面具有明顯的優勢，對提高船艦的隱身性能具有重要的意義[12-14]，因此，在船艦減聲降噪技術研究領域，諸多學者對非線性系統混沌特性進行了研究。

本文針對單自由度金屬橡膠非線性隔振系統的動力學特性展開研究。

1　金屬橡膠非線性隔振系統模型

金屬橡膠材料具有良好的可塑性，可以根據工程需要制備成不同形狀的元件,因此,金屬橡膠隔振器的種類也多種多樣[15]。但本文只針對圖1a所示的單自由度隔振器結構組成的隔振系統展開研究,這類系統結構簡單，但最具有代表性，是研究金屬橡膠隔振系統混沌振動的最基本類型。

(a)隔振器(b)力學模型圖1　單自由度金屬橡膠隔振器及其系統力學模型

對于單自由度金屬橡膠隔振系統，一般作以下假設:①剛性設備被單向金屬橡膠隔振器支撐;②僅有垂直方向的單個自由度的振動，且激勵為作用在剛性設備質心的簡諧激勵F(t)=F0cosωt(F0為激勵幅值,ω為激勵頻率,t為時間)。因此，可將系統簡化為一個單自由度的簡單模型,如圖1b所示。

圖1b中，m為被隔振設備的質量；x(t)為設備隨時間變化的位移，與在剛性基礎上隔振器的變形量相等；金屬橡膠隔振器有明顯的遲滯非線性特性，其本構關系為

(1)

其中,G(t)為隔振器的恢復力,k01為一次線性剛度系數,k3為三次非線性剛度系數,c01為黏彈阻尼系數,c3為三次非線性黏彈阻尼系數，它們形成與位移有關的彈性力和與速度有關的黏性阻尼力,通常被認為是無記憶恢復力；z(t)是金屬橡膠變形過程中干摩擦引起的記憶恢復力,由于該記憶恢復力的存在,金屬橡膠隔振系統一般表現出明顯的滯后非線性性能,其中,zs表示滑移極限,ks表示滑移剛度,且有ks=zs/xs,xs是開始滑移時的變形量。將記憶恢復力用雙折線模型表示[16],如圖2所示。

圖2　雙折線遲滯關系模型

圖2中,xm是最大變形量。為了簡化分析,用等效線性化法對干摩擦滯遲環節進行等效線性化，可得

(2)

將記憶環節進行線性等效,即包含變化的線性剛度項keq和變化的黏性阻尼項ceq,則金屬橡膠隔振器在隔振系統中的本構關系可表示為

(3)

令k1=k01+keq,c1=c01+ceq,并假設隔振器的質量很小,可以忽略不計,則圖1b所示的單自由度金屬橡膠非線性隔振系統的微分方程可寫成

(4)

化簡式(4),得

(5)

2　Lyapunov指數判定系統的混沌振動

由于混沌運動對系統的初始條件具有敏感性,即使原來相互之間比較接近的兩條相軌跡,它們之間的距離也會隨著時間的增加而變得越來越大。因此，可以用能夠刻畫這種相鄰相軌跡逐漸遠離特征的數值來識別系統的混沌運動。Lyapunov指數能夠描述系統相鄰相軌跡之間距離的發散性。為判定金屬橡膠非線性隔振系統的混沌運動，本文首先計算系統的Lyapunov指數[6],以判定系統能否產生混沌振動。

(6)

(7)

則由式(7)可確定一個三維非自治系統，即

(8)

其中,x=[x1x2x3]T是三維狀態變量。給定兩條相軌跡，它們對應的初始條件分別是x0和x0+Δx0,Δx0為初始條件的微小差異。則在某一時刻t,兩條相鄰相軌跡之間的距離可以用變分‖δx‖來表示，即

δx=x(x0+Δx0,t)-x(x0,t)

(9)

將式(8)在x0處線性化,得

(10)

其中,常數矩陣A是3×3雅可比矩陣，其元素ai j為

(11)

可得

(12)

將得到的δx表示成線性方程:

(13)

式(13)的解為

δx=δx0eλ t

(14)

式(14)兩端取范數后,再取自然對數得到Lyapunov表達式：

(15)

基于以上預設的參數,采用四階龍格-庫塔法求解式(6),可得被隔振設備的位移時間歷程(即系統的響應)圖和相軌跡,分別如圖3、圖4所示。

圖3　位移時間歷程

圖4　相軌跡

圖5　頻譜圖

由于被動聲吶在現代水聲對抗中發現、跟蹤和識別水下裝備的主要特征和水下裝備聲隱身性能的主要考核指標就是結構振動的線譜，故改變水下裝備的線譜成分，使其轉化為類似于隨機振動的線譜成分，以提高在傳播過程中的衰減程度，增大聲吶探測難度是國內外學者的研究熱點。而本節證明金屬橡膠非線性隔振系統具有混沌響應特性，使金屬橡膠在艦艇等水下設備及其他需要控制系統線譜的特殊裝備的減聲降噪技術領域具有重要的推廣應用價值。

3　激勵及系統參數對系統的動力學影響

由于系統產生混沌的本質是系統輸入項和耗散相互競爭的結果[12],故在系統混沌振動產生與否應視激勵和隔振器的參數而定：即在一定的激勵環境下,要使系統產生混沌就必須選擇合適的非線性隔振系統參數；對于一定的非線性隔振系統,要使系統產生混沌響應就必須調整激勵的頻率或幅值。因此，需要對激勵參數及隔振器參數對系統的動力學影響展開討論。

3.1激勵頻率與幅值對系統動力學特性的影響

簡諧激勵通常用激勵和幅值兩個參數來表示，而一般的非簡諧激勵也可以通過Fourier級數展開后用多個諧波成分疊加來近似表示。因此，本文主要討論簡諧激勵的幅值和頻率對金屬橡膠非線性隔振系統動力學特性的影響。

由于上節已經證明，在預設的參數下已經確定系統發生混沌振動,故可按上節參量數值分別給定其他參數，再單獨研究激勵頻率ω或激勵幅值參量f的變化對系統動力學特性的影響,并結合式(7)討論激勵實際的頻率和幅值的影響。采用數值方法分別繪制系統隨激勵頻率和幅值變化的分岔圖,如圖6、圖7所示。

圖6　系統隨激勵頻率變化的分岔圖

圖7　系統隨激勵力幅值變化的分岔圖

從圖6可以看出，激勵頻率ω在0～15 rad/s,Δω=0.1 rad/s范圍內出現多次分岔現象，且在不同頻率段有不同的響應特性：在2～4.5 rad/s,7.6～8.2 rad/s范圍內只存在周期振動,而在0～2 rad/s,4.2～7.5 rad/s范圍內出現混沌現象,8.2 rad/s以上出現多種周期成分的振動現象。從圖7也可以看出,系統隨激勵幅值參量(f=F0/m)在0～10,Δf=0.1范圍內,出現多次分岔:在0～4.6范圍內只存在周期振動或多種倍周期振動，在4.6～8.5范圍內出現混沌現象，在8.5以上存在多種周期振動。

可見,對于已定的金屬橡膠非線性系統，激勵的頻率和幅值只有在某一較小的范圍內產生混沌振動。因此，在利用系統混沌狀態進行隔振時，應當首先通過數值仿真計算，確定激勵參數的大概范圍，然后進行多次試驗，挑選合適的激勵幅值和頻率，使系統處于混沌狀態。

3.2隔振器參數對系統動力學特性影響

在某一指定的環境下(激勵一定)，其激勵的頻率和幅值已經固定，如果利用金屬橡膠隔振器進行隔振，則需要討論隔振器參數對系統動力學特性的影響。按照以上分析，同理可分別單獨討論隔振器一次剛度、三次剛度，一次阻尼和三次阻尼的變化對系統動力學特性的影響。結合式(7)分別調整參數范圍，利用數值方法繪制系統隨各參數變化的分岔圖，如圖8～圖11所示。在每討論完一個量綱一系數產生混沌的最優取值后,討論下一個參數時預先設定的參數取值根據討論過的最優取值而重新設定。

圖8　系統隨ξ1變化的分岔圖

圖9　系統隨ξ3變化的分岔圖

從圖8、圖9可以看出，對于一次剛度參量ξ1(ξ1=k1/m),當f=7.5,ω=4.8 rad/s,ξ3=1,μ1=0.05,μ3=0.001時,ξ1取0～0.1,Δξ1=0.0001數值范圍內，系統響應產生多次分岔，出現了周期、多種倍周期振動，且在ξ1取0.05～0.063范圍內的值時系統產生混沌現象；對于三次剛度參量ξ3(ξ3=k3/m),當f=7.5,ω=4.8，ξ1=0.055,μ1=0.05,μ3=0.001時,ξ3取0～0.1,Δξ3=0.001數值范圍內,系統響應產生多次分岔，出現了周期、多種倍周期振動，且在ξ3取0.25～0.45、0.85～1.15、1.3～1.42等范圍內的值時系統產生混沌現象。

圖10　系統隨μ1變化的分岔圖

圖11　系統隨μ3變化的分岔圖

從圖10、圖11可知，當f=7.5，ω=4.8 rad/s,ξ1=0.055,ξ3=1，一次阻尼參量(三次阻尼參量)μ1(μ1=c1/m)和三次阻尼參量μ3(μ3=c3/m)僅在較小的數值范圍內(μ1<0.3,μ3<0.012)產生分岔和混沌現象，在取較大的數值時，系統為周期振動，且可以看出，一次阻尼參量和三次阻尼參量越小,系統響應分岔越明顯，因此，為使系統進入混沌運動狀態，應該減小隔振器的阻尼。

由于圖8～圖11中討論的參數均為相對應的隔振器物理參數與被隔振設備質量的比值，對于固定質量的被隔振對象，隔振器的實際物理參數僅需要根據式(7)換算即可獲得；若被隔振設備質量可以調節，隔振器的參數整體有所偏差，難以找到合適的產生混沌的參數區間時，改變隔振器質量(增加配重質量或減小設備質量)也可能使系統進入混沌振動狀態。

4　結語

本文對金屬橡膠非線性隔振系統的混沌響應特性進行了研究。首先，計算了給定激勵參數、隔振器參數和初值情況下系統的Lyapunov指數，由于指數中存在正值，證明了在給定的參數和初值條件下，系統產生混沌運動，并用龍格-庫塔法計算了系統初值微動時響應的時間歷程曲線和相軌跡圖，通過對比進一步說明了系統處于混沌運動狀態。然后對時間歷程圖進行Fourier變換得到了系統響應的頻譜圖，頻譜圖中頻率成分的連續性，證明了其單頻輸入寬頻輸出的特性,說明了金屬橡膠非線性隔振系統混沌振動對線譜控制的有效性。最后重點討論了激勵頻率、激勵幅值、隔振器一次剛度、三次剛度、一次阻尼和三次阻尼對系統的動力學特性影響,繪制了系統響應隨各參數變化的分岔圖，從分岔圖可以看出，系統產生混沌運動時的參數取值范圍，為金屬橡膠非線性隔振系統的混沌應用提供了理論指導。

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(編輯陳勇)

Chaotic Characteristics of Nonlinear Metal Rubber Vibration Isolation System

Li YulongBai HongbaiHe ZhongboCao FengliLu Chunhong

Ordnance Engineering College,Shijiazhuang,Hebei,050003

The chaotic characteristic of nonlinear metal rubber vibration isolation system was studied herein.The system state equation was derived,the Lyapunov exponent was calculated,the displacement time history diagram and the phase track diagram were draw out,it proved that the system was in the chaotic state under the conditions of the given parameters.Through the analysis of the system response spectrum diagram,the metal rubber nonlinear vibration isolation system chaos was illustrated in the important role of line-spectrum control.The parameters of the excitation and the vibration isolator’s impacts on system dynamics characteristic were analyzed by using numerical methods.The parameter scopes in the chaotic state were confirmed based on the bifurcation diagram changed with the parameters of the excitation and the vibration isolator.The general selection method of the parameter was got,which could make the system be in the chaotic state,and it lays a foundation for the applications of the nonlinear metal rubber chaotic vibration.

metal rubber;nonlinear vibration-isolation system;Lyapunov exponent;dynamics characteristic;chaos

2014-09-26

武器裝備“十二五”預先研究項目(51312060404)

V214.9;TH17;TH113DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.14.006

李玉龍,男,1987年生。軍械工程學院車輛與電氣工程系博士研究生。主要研究方向為振動與沖擊防護、金屬橡膠材料及其應用、非線性隔振系統動力學。白鴻柏,男,1964年生。軍械工程學院車輛與電氣工程系教授、博士研究生導師。何忠波,男,1968年生。軍械工程學院車輛與電氣工程系教授、博士研究生導師。曹鳳利,男,1978年生。軍械工程學院車輛與電氣工程系講師、博士。路純紅，女，1971年生。軍械工程學院車輛與電氣工程系副教授、博士。