經歷探究發現驗證訓練思維推理能力*
——以人教版七年級下冊“平行線的性質”（第1課時）為例

☉貴州省道真自治縣玉溪鎮中心學校　胡　軍

☉貴州省道真自治縣上壩中學胡昌應冉勝植

經歷探究發現驗證訓練思維推理能力*
——以人教版七年級下冊“平行線的性質”（第1課時）為例

☉貴州省道真自治縣玉溪鎮中心學校胡軍

☉貴州省道真自治縣上壩中學胡昌應冉勝植

《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標》）把“推理能力”作為數學課程的十個核心概念之一.指出推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，包括合情推理和演繹推理.其內容范圍限于“數學發現與驗證”；目標層次為“能力—思維訓練”；過程展開為“合情推理和演繹推理”；結果提煉為“事實豐富、過程合理；論據充分、推理嚴謹”.本文以“平行線的性質”（第1課時）為例，就教學內容和內容解析、學情分析及問題診斷、教學目標及重難點在教學過程中如何經歷“操作—發現”、“類比—分析”、“驗證—推理”等環節的教學活動探究進行相關分析，與同行進行探討.

一、內容和內容解析

（一）內容

人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊“平行線的性質”第1課時.

（二）內容解析

教科書由平行線的判定引入，設置一個“探究”，讓學生通過畫圖、測量、猜想等活動，探究發現兩條平行線被第三條直線所截形成的同位角的數量關系，通過操作確認，直觀推理驗證得出平行線性質1《.課標》要求了解平行線性質的證明，教科書將“兩直線平行，同位角相等”放在九年級“圓”一章中用反證法證明，這有別于《課標》（實驗稿）將其定位為“基本事實”，通過“操作確認”來獲得，這是《課標》的一處重要變化.一個“思考”，利用性質1推理得出平行線的性質2、性質3，這一過程體現了由實驗幾何到論證幾何的過渡，滲透了簡單的推理，突出了數學在培養良好思維品質方面的價值；包含了研究幾何圖形的基本內容、套路和方法，對今后學習其他圖形有“示范”的作用.從“命題”角度分析，本節所涉及的命題與上節剛好互為逆命題，呈現了命題“因”“果”的辯證轉化，為下一節學習命題、定理、證明的推理有著承前啟后的作用.

二、目標和目標解析

（一）目標

（1）理解平行線的性質，并會進行簡單的推理.

（2）經歷平行線性質的探究過程，從中體會研究幾何圖形的一般方法.

（二）教學目標解析

達成目標（1）的標志是：①知道平行線性質的內容：明確它們的條件是什么、結論是什么；②已知兩條直線平行，應立刻想到同位角、內錯角相等，同旁內角互補，并能在給定的圖形中找出這些相等的角或互補的角；③防止誤認為“同位角”、“內錯角”總是相等的，“同旁內角”總是互補的；④會運用性質進行簡單的推理，在給出的推理中，能夠說出推理的依據.

達成目標（2）的標志是：①學生通過實驗探究、操作確認獲得性質1；②借助已有相關知識，通過推理得到另外兩個性質；③知道平行線的判定和性質的異同；④能用自已的語言敘述獲得性質的過程.

三、教學重、難點

重點：探究發現平行線性質及驗證推理過程；

難點：平行線的性質2、3的推理過程的邏輯表述.

四、學情分析及問題診斷

平行線的性質是學生對圖形性質的第一次系統研究，對于研究過程和研究方法都是陌生的，所以學生需要在老師的引導下類比研究平行線的判定的過程來構建平行線性質的研究過程.對于作為培養學生推理能力的內容——性質2和性質3的得出，學生可以做到說理，但把推理過程從邏輯上敘述清楚存在困難，需要教師先做示范，然后進行摸仿.推理過程的符號化，對于剛剛接觸平面幾何的七年級學生而言，具有一定的難度.為此，在推理過程符合邏輯的前提下，對學生在證明過程中使用文字語言還是符號語言進行表述不作限制，更多關注學生對推理本身的理解.

五、設計理念

以《課標》“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”的基本理念為依據；以“操作—發現”、“類比—分析”、“驗證—推理”為主線設計課堂教學活動；以學生看得到、感受得到的基本生活素材創設問題情境，循序漸進地引導學生認真思考分析，初步感知簡單的推理，構建言之有理、有依有據的基本思維方式，養成“事實豐富、過程合理；論據充分、推理嚴謹”的思維習慣.

六、教學過程實錄及評析

活動1：創設情境，設疑激思.

例1如圖1，在建道安高速公路（貴州省高速公路規劃“678”網的第三縱線）時，在我縣境內某前方遇到一座高山，為了降低施工難度，工程設計師決定繞過這座山，如果第一個彎是左拐30°（圖2），那么第二個彎應朝什么方向.才能不改變原來的方向？

圖1

圖2

圖3

師：在這個問題中包含了什么數學問題？怎樣將它轉化成數學問題？

學生議論紛紛，但表達不清楚.

師：上節課我們學習了平行線的三種判定方法，分別是什么？

學生：思考后回答（過程略）.

師（多媒體演示，幾何畫板動畫演示圖1～圖3的變化過程）這個問題包含了兩條平行線被第三條直線截得的有關角的數學問題，我們已學習了用角的數量關系來確定線的位置關系，反過來，怎樣用線的位置關系來確定角的數量關系呢？這就是我們本節課要研究的平行線的性質（板書：課題平行線的性質）.

評注：活動1用“例1”展示在建道安高速公路時的施工情境，讓學生經歷生活數學，從現實生活情境中發現數學問題，感知數學源于生活，服務于生活；借助幾何畫板演示，使學生認識幾何圖形是從實際生活情境中抽象出來的；“如果第一個彎是左拐30°，那么第二個彎應朝什么方向？”讓學生處于一種“似懂非懂”、“似會非會”、“半生不熟”的狀態，感到解決問題的困難.從復習平行線的判定，聯想到由角的數量關系確定線的位置關系，教師設問“反過來，怎樣用線的位置關系來確定角的數量關系呢？”實現了“用線的位置關系確定角的數量關系”的思路，有效滲透了數形結合思想，喚起了學生的解決問題意識，激發了學生強烈的求知欲望，調動了學生的學習積極性.

活動2：實驗操作，探究性質.

探究1：兩條平行線被第三條直線所截得的同位角會具有怎樣的數量關系？

實驗探究：教師要求，學生任意畫出兩條平行線（a∥b），畫一條截線c與這兩條平行線相交，標出8個角（統一采用阿拉伯數字標角）（如圖4）.請同學們“操作—發現—驗證”圖4中的同位角有怎樣的數量關系？

找一找：圖4中，哪些是“同位角”？

量一量：準確地量出圖4中“同位角”的度數.

猜一猜：通過度量，你發現怎樣的猜想？

圖4

試一試：如圖4，變換截線c的位置至d，經歷再度量的過程，你發現了什么結論？

拼一拼：將圖4中的同位角任選一組剪下后拼一拼，疊合后的結果與你的猜想發現一樣嗎？

演一演：教師用幾何畫板，拖動截線位置直觀演示驗證上述猜想（過程略）.

議一議：將你探究發現的結論與小組同伴交流，并類似平行線的判定，用自已的語言歸納概括猜想結論.

學生通過以上活動，由操作確認，從而得出平行線的性質1.

教師板書：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等（簡單說成：兩直線平行，同位角相等）.

師：你能將“兩直線平行，同位角相等”用圖形準確地表示出來嗎？再根據圖形能寫出符號語言嗎？

學生畫圖，并根據自己所畫圖形寫出符號語言，教師巡視并了解學生的學習情況，對部分學生個別輔導，然后集中講評（過程略）.

評注：數學發現的一個重要手段就是觀察與實驗，實驗的過程，就是提出猜想結論的過程.為了探索發現問題的結論，活動2利用學生熟悉的三線八角，“找一找”圖中的同位角，明確探究對象；“量一量”圖中同位角的度數，直覺發現“兩直線平行，同位角相等”的事實；“猜一猜”兩直線平行，同位角的數量關系，提出合理的猜想，感性認識“兩直線平行，同位角相等”；在“試一試”、“拼一拼”的學習活動中通過觸覺、視覺等多種分析器官共同參與的多種操作活動驗證猜想，確認“兩直線平行，同位角相等”的真實性；特別是教師利用幾何畫板的直觀演示，用兩塊三角板的平行移動，讓學生觀察“移動過程中的不變量”，滲透了觀察能力的培養，為抽象的數學思維提供了直觀的模型，拓展了學生的思維動態想象空間，給學生提供了更為充分的歸納推理環境，突出了歸納推理的過程.小組合作“議一議”讓學生有條理地思考，理性概括探究發現的結論，并會用數學語言和符號語言敘述，“水到渠成”得出平行線性質1.整個過程讓學生經歷了平行線性質1的發現驗證的思維過程，學生的思維活動被激活了，受到了數學思想方法乃至數學觀念的訓練，體驗到在數學理論的產生過程中，數學不僅有嚴密的邏輯推理，抽象的演繹論證，也有直觀、猜想、非邏輯性，而且也有合情推理.

活動3：類比思考，推導性質.

思考1：類比上一節課利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內錯角相等，兩直線平行”的方法，同學們能由性質1推出兩條平行線被第三條直線所截得的內錯角（∠2與∠3）又有什么數量關系呢？

師：（引導學生分析）如圖5，由性質1，直線a∥b，可得什么結論？

眾生：∠1=∠2.

師：依據是什么？

生：兩直線平行，同位角相等.

師：圖5中的∠1與∠3是什么角？

生：（迫不及待）對頂角，對頂角相等，可得∠1=∠3.

圖5

師：由∠1=∠2，∠1=∠3推出什么？

眾生：∠2=∠3.

師：上面的分析過程實際上就是已知直線a∥b，推出∠2=∠3.

師：想一想，誰來用數學語言簡要表述推理過程.

生：如圖5，直線a∥b，c是截線，根據“兩直線平行，同位角相等”，得到∠1=∠2，又∠1與∠3是對頂角，由對頂角相等得到∠1=∠3，所以∠2=∠3.

師：類比性質1，你能用文字語言表述上面的結論嗎？

學生答教師板書：平行線的性質2：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.

師：你能將“兩直線平行，內錯角相等”的圖形準確畫出來嗎？你能結合圖5用符號語言表述性質2嗎？

生：如果a∥b，那么∠3=∠2.

思考2：如果兩條平行線被第三條直線所截，那么同旁內角又有什么數量關系呢？

學生分組討論，師生共同交流.

師：誰先來說說你的想法？

生：（思考、議論后回答）如圖5，因為a∥b，所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等），又∠1與∠4互為鄰補角，所以∠1+∠4=180°（鄰補角定義），所以∠2+∠4= 180°.

師：誰能用文字語言表述上面的結論？

生搶答師板書：平行線的性質3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.

評注：類比是思維過程中由特殊到一般的推理，是合情推理的主要形式之一.活動3設置2個思考題，引導學生類比平行線的判定，用說理的方式由性質1推導性質2、3.對于推理，由于學生還比較陌生，不知道應由什么，根據什么，得出什么，特別是推理所用的三段論的形式——由小前提得到結論，以大前提作為理由，一下子也很難適應.因此，逐步深入地讓學生學會說理，是本章的一個難點.此環節學生在老師的引導下通過類比為學生創設“最近發展區”，引導學生將新內容、新問題與相關的舊內容、舊問題進行比較，由條件或形式類似，猜想結論或解決的途徑類似，從而產生積極的認知活動，逐步構建研究思路，循序漸進地引導學生根據性質1推導性質2，通過互動交流，說理訓練，學生也能對推理的理由、三段論的表達形式有進一步的認識，這樣用前一步為后一步做準備，逐步提高，慢慢教會克服困難的辦法，有效突破了從“說理”向“簡單推理”過渡這一教學難點，并且滲透從特殊到一般的思想，遂步從合情推理過渡到演繹推理.

活動4：理性思考，理解性質.

例2判斷下列說法是否正確.

①兩直線平行，同旁內角相等；②兩直線平行，內錯角互補；③同位角互補，兩直線平行.

例3如圖6，直線a、b不平行，被直線c所截，同位角∠1與∠2、內錯角∠2與∠3還相等嗎？同旁內角∠2與∠4還互補嗎？

圖6

生：（思考后）同位角∠1與∠2、內錯角∠2與∠3不相等，同旁內角∠2與∠4不互補.

師（強調）：只有在兩直線平行的條件下才有同位角、內錯角相等，同旁內角互補，這是我們本節課學習的平行線特有的性質，并不是所有三線八角中的同位角、內錯角都相等，同旁內角都互補.

評注：活動4讓學生充分理解平行線性質結論的前提是“兩條直線平行”，通過3個判斷和圖形的變式，既突出了兩直線平行的位置關系的實質，又抓住了同位角、內錯角、同旁內角的數量關系的核心和關鍵，在理性上感知平行線性質1的特征.

活動5：知識應用，鞏固新知.

例4如圖7，平行線AB、CD被直線AE所截.

（1）從∠1=110°，可以知道∠2是多少度嗎？為什么？

（2）從∠1=110°，可以知道∠3是多少度嗎？為什么？

（3）從∠1=110°，可以知道∠4是多少度嗎？為什么？

圖7

師生活動：教師首先引導學生分析，學生獨立解答例題中的問題，同組學生相互補充，然后教師根據學生的解答板書準確的解題形式（過程略）.

鞏固練習：

1.如圖8，直線a∥b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？為什么？

2.如圖9，AB∥CD，AE∥CF，∠A=39°，則∠C是多少度？為什么？

3.如圖10，在△ABC中，D是AB上一點，E是AC上一點，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.

①DE和BC平行嗎？為什么？

②∠C是多少度？為什么？

圖8

圖9

圖10

學生獨立練習后教師講評，過程略.

評注：鞏固練習的第1、2題直接利用平行線的性質來計算，目的是鞏固平行線的性質；第3題先應用判定再應用性質，強化二者的區別和聯系，為下一環節歸納總結平行線的性質和判定的區別教學作準備；這一環節教師首先引導學生分析例4，幫助學生根據圖7理解“平行線AB、CD被直線AE所截”（文字語言）的含義是AB∥CD，AE是截線，∠1與∠3是同位角，∠1與∠2是內錯角，∠1與∠4是同旁內角，然后根據平行的三個性質分別得到∠2、∠3、∠4的度數，目的是鞏固平行線的三個性質，然后通過“為什么”訓練學生學會文字語言符號化，已知條件圖形化，促進文字語言、符號語言、圖形語言之間的相互轉化訓練，培養了學生的邏輯推理能力，有效地突破了“推理過程的邏輯表述”這一教學難點.

活動6：歸納理解，回歸現實.

師生活動：教師要求學生先說出平行線的判定與性質的條件、結論，然后小組討論，平行線的判定與性質之間有什么區別？

師（概括）：“平行線的判定”研究的是兩條直線與第三條直線相交所得的角（同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補）的數量關系確定兩直線的位置關系（平行）.“平行線的性質”研究的是兩條平行（位置關系）直線被第三條直線所截時，就一定有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補（數量關系）.

師（追問）：你們能敘述研究平行線性質的過程和方法嗎？

學生：（你一言，我一語）根據板書過程回憶本節課研究平行線性質的過程和方法（過程略）.

師（歸納）：借助于一條直線與另外兩條平行直線相交所成的角，通過觀察、度量、猜想、驗證等活動歸納出平行線的性質1，并用“簡單推理”，由性質1推導出性質2、3，研究了平行線的性質.

師（追問）：通過學習，你能不能用本節課所學知識解決課前提出的例1呢？第二個彎應朝什么方向？依據是什么？

眾生：第二個彎是右拐30°方向.依據是：兩直線平行，同位角相等.

師：請課后思考解決下面的的問題：

如圖11，一自行車運動員在一條公路上騎車，兩次拐彎后，和原來的方向相同（即拐彎前后的兩條路互相平行），若測得第一次拐彎的∠B是142°，則第二次拐彎的∠C應是多少度才合理？為什么？

圖11

評注：活動6通過回顧，幫助學生梳理本節課所學內容，掌握本課核心內容——平行線的性質；讓學生討論歸納思考平行線的“判定”和“性質”的區別，由此得出平行線的判定討論的是確定兩直線平行需要什么條件，平行線的性質討論的是平行線有怎樣的特性；學生“敘述研究平行線性質的過程和方法”進一步體驗研究幾何圖形性質的基本內容、套路和方法，對今后學習其他圖形起到“示范”的作用.最后，教師追問“你能不能用本節課所學知識解決課前提出的例1呢”及課后思考從解決實際問題的需要出發，以實際問題為出發點和歸宿，再次讓學生經歷生活數學，感受到數學來源于生活現實，服務于現實生活，培養了學生應用所學知識解決實際問題的意識和能力.

七、總評

本節課，教師根據初中一年級學生的思維處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉折時期的特點，引導學生在獲得了平行線性質的過程中，獲得關于推理的一些直接經驗，形象直觀，有操作、有想象、有分析、有歸納，有序訓練了思維推理能力，并具有如下特點：

（1）問題情境——在課的開始，教師通過例1，創設了一個經過學校附近的在建高速公路的施工現實情境，提出思考問題“不改變原來的方向”在數學中理解應是什么？在這個問題中包含了什么數學問題？怎樣將它轉化成數學問題？使學生知其然而不知其所以然，想求明白而感到困難，想說又說不明白，從而產生一種想說清楚的欲望和心理上的推理需求，起到了問題情境的“憤”、“悱”效果，喚起了學生推理意識，自然導入新課.

（2）性質的發現——借助實驗操作“找一找、量一量、猜一猜”等探究活動，通過動手、動眼、動腦等多種感覺器官共同參與憑借經驗和直覺發現“兩直線平行，同位角相等”的合理性.

（3）性質的驗證——經歷“試一試、拼一拼”和現代信息技術從圖形的運動變化過程中去發現其中不變的位置關系和數量關系，通過觸覺、視覺等多種分析器官共同參與多種操作確認獲得的感性認識，合情合理驗證“兩直線平行，同位角相等”的真實性.

（4）性質的歸納——通過小組合作“議一議”讓學生以學習經驗為基礎理性概括探究發現性質，并用數學語言和符號語言敘述.這一過程實際上是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納概括等推斷“兩直線平行，同位角相等”的本質特征.有效地發展了學生的合情推理能力.

（5）歸納類比，推導性質——類比上一節課利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內錯角相等（或同旁內角互補），兩直線平行”的方法，會區分命題的條件和結論，探索并證明平行線的性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等（或同旁內角互補）.逐步深入地讓學生學會說理，即從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發，把“說理”和“簡單推理”作為“數學發現與驗證”的自然延續，結果提煉為“事實豐富、過程合理；論據充分、推理嚴謹”的有序訓練，實現了由實驗幾何到論證幾何的過渡.

（6）理性思考，辨析性質——通過判斷和圖形變式讓學生理解平行線性質結論的前提是“兩條直線平行”，結論是“同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補”，既突出了兩直線平行的位置關系的實質，又抓住了性質的核心和關鍵是同位角、內錯角、同旁內角的數量關系，為學生“能力—思維訓練”提供依據.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.李海東.滲透幾何研究方法，做好從實驗幾何到論證幾何的過渡［J］.中學數學教學參考（中），2013（1-2）.

3.胡興余.培養學生猜想能力的幾條有效途徑［J］.中國數學教育（初中版），2014（1-2）.

*本文屬于2012年貴州省基礎教育科學研究教育教學實驗課題——“中學數學課堂教學案例研究”（課題編號：2012B078）的研究成果之一.